四川省成都市第七中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试卷

参考答案与评分细则 一．单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D B D C B B 二．多项选择题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 BCD AC ACD 三．填空题（每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分） 题号 12 13 14 答案 ； 四．解答题（共77分） 15．（13分） （1）该校高二年级共（人），抽样比为． 故样本中男生人数为（人），女生人数为（人）． （4分） （2）这名学生成绩的平均数为 即这名学生成绩的平均数为分． （7分） （3）由（1）（2）知，，，，，，，，于是 故这名学生成绩的样本方差为； 用样本方差估计总体方差，可估计该校高二年级全体学生体能测试成绩的方差约为． （13分） 16．（15分） （1）圆的圆心为，半径． ①当切线斜率不存在时，过点的直线为，圆心到该直线的距离为，故是一条切线． ②当切线斜率存在时，设切线方程为，即． 由圆心到切线的距离等于半径，得 即，整理得，解得， 故另一条切线为，即． 所以两条切线的方程为与． （4分） 设切点为，则，且，故， 即，化简得． 由代入，得， 解得或，对应切点为与．于是． 即． （8分） （2）设圆心到直线的距离为．因为与圆交于两个不同的点，所以， （10分） 由勾股定理得．于是 （13分） 当且仅当，即时取等号．此时直线的方程可为（该直线过，圆心到它的距离为，与圆交于两个不同的点）． 故面积的最大值为． （15分） 17．（15分） （1）因为，，为的中点，所以． 设的外接圆方程为，则 解得 所以的外接圆方程为，即． （5分） （2）在中，，，故，即． 设为点在上的射影，则为的中点，，且． 翻折后，且；又平面平面，交线为，平面且，故平面． 以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过且垂直于平面向上的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，． ①由上述坐标得，， 于是，，即，． 又，、平面，故平面． （10分） ②由、、得，，于是，，． 设点在直线上的射影为，则，由勾股定理得点到直线的距离 即点到直线的距离为． （15分） 18．（17分） （1）由过点得，故； 由过点得，即，故． 所以的方程为． （4分） （2）①由在上得． 直线的方程为，记，代入得． 由韦达定理，而， 故 进而． 同理，由直线：可得，．于是 （其中用到）．代入点可得直线的方程为． 所以直线的方程为． （9分） ②因为且过点，而的法向量为，故的方向向量为，其方程为 ，即 （12分） 点为直线与的交点，联立与． 两式分别乘、后相加，并利用及，得 两式分别乘、后相减，同理得，故点的坐标为． （14分） 于是，即点恒在椭圆上． 该椭圆的长半轴，短半轴，故半焦距，其焦点恰为点与．由椭圆的定义得． 又，且由知点不在直线上，存在． 故的周长为，是定值． （17分） 19．（17分） （1）因为平面，故点在平面内的射影为，从而在平面内的射影为，就是直线与平面所成的角． 在中，，故，即直线与平面所成角为． （4分） （2）由条件得，，，设（，且不与、共线）． ，，，由得 即，两边平方并整理，得，即 所以轨迹为椭圆，去掉与两点． （8分） 又，而由轨迹方程得，故，于是 当时取到，故三棱锥体积的最大值为． （10分） （3）作平面，交平面于点，、， ，，，，． 在中，，故； 在中，， 所以点恒在以为球心、为半径的球面上，也在以为球心、为半径的球面上，即在两定球的交圆上． 又，设交圆圆心为、半径为、，则，解得，，即；且，，故点也在此圆上． 于是．当，时， 点在该平面上的射影为，等号成立． 故点到平面距离的最大值为． 17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上期高2028届期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；作答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，则等于（ ） A． B． C． D． 3．已知动点到两个定点、的距离之和等于，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，设，，．点为棱的中点，点为线段的中点，则（ ） A． B． C． D． 5．设，是椭圆：的两个焦点，点在上，且，则（ ） A． B． C． D． 6．已知空间四点，，，，若、、、四点共面，则（ ） A． B． C． D． 7．已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：，点，是上两点，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校随机抽取名学生的数学成绩（单位：分），分成，，，，五组，绘制成频率分布直方图如图所示．则下列说法中正确的是（ ） A． B．估计样本的平均数为分 C．估计样本的中位数为分 D．估计样本的第百分位数为分 10．在正方体中，点、分别为棱、的中点，则下列说法中正确的是（ ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．异面直线与所成的角为 C．平面与平面的夹角余弦值为 D．平面截该正方体所得截面的形状为正方形 11．已知两点，，记方程（其中，）所表示的曲线为，则下列说法中正确的是（ ） A．曲线表示以为直径的圆 B．曲线上异于、的点与、连线的斜率之积为 C．曲线关于直线对称的充要条件是 D．对任意、，曲线中所有斜率为的平行弦的中点都在直线上 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知事件，相互独立，且，，则________． 13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于、两点．若为正三角形，则的离心率为________． 14．已知线段的长为，端点、分别在轴、轴上滑动，为线段的中点，则点的轨迹方程为________；已知点，点为直线：上的动点，则的最小值为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某校高二年级有男生人、女生人，现按性别进行分层随机抽样，从中抽取容量为的样本．对这名学生的一次体能测试成绩（单位：分）进行统计，得到男生样本的平均数为、方差为，女生样本的平均数为、方差为． （1）求样本中男生、女生的人数； （2）求这名学生成绩的平均数； （3）分层随机抽样的样本方差可按下式计算： 其中为样本容量，、分别为两层的样本量，、与、分别为两层的样本平均数与样本方差，为总样本平均数．求这名学生成绩的样本方差，并据此估计该校高二年级全体学生体能测试成绩的方差． 16．（15分）已知圆：，点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． （1）求这两条切线的方程，并求的长； （2）过点的直线与圆交于、两点，求面积的最大值． 17．（15分）在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点分别为，，，，点为边的中点． （1）求的外接圆的方程； （2）将沿直线翻折到的位置（点的对应点为），使得平面平面． ①证明：平面； ②求点到直线的距离． 18．（17分）已知椭圆：经过两点，． （1）求的方程； （2）已知点，，设点在上，直线、分别与交于另一点、． ①求直线的方程（用，表示）； ②过点作的垂线，交直线于点，试问的周长是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 19．（17分）在三棱锥中，平面，，．点在平面内运动（不与、共线），在运动过程中始终保持．记平面为． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）以为原点、为轴正方向、为坐标平面建立空间直角坐标系，求点在内的轨迹的方程，并求三棱锥体积的最大值； （3）求点到平面距离的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $