四川南充市嘉陵第一中学、高坪中学等校2026-2027学年高二上学期期中联考数学试题

高二数学参考答案及评分意见 1.C【解析】由空间向量的运算法则，得DA+AC-DC=DC-CD=DC+DC=2DC.故选C. 2.B【解析】因为直线6x一2y-2=0与6x一2y十a=0之间的距离为√10， 所以a+21=√0，解得a=-22或a=18,即实数a的值为一22或18.放选B. √/62+22 3.C【解析】由30组随机数，采用三局两胜制得到B获胜的有698,959,887，共三组， 所以B获胜的概率为》-0放选C 4.A【解析】在空间直角坐标系Oxyz中，点M(2,3,1)关于平面xOz对称的点的坐标为(2，一3,1).故选A. 5.B【解析】因为P(1,1),A(3,一4)，B(-3,-2), A-m=3-1=2kpw-8y--2-13 所以kp4=A-y2=一4-15 xB-xp-3-14 因为过点P的直线1与线段AB相交，所以≤-或≥， 3 即直线1的斜率的取值范周为(-，一U[+∞放选B, 6.D【解析】若从2个红球2个白球中任取2个球，则样本空间2={2个红球，1红球1白球，2个白球). 对于A,事件“至少有1个白球”包含的样本点分别为“1红球1白球”和“2个白球”，则和事件“2个都是白球”可 以同时发生，所以不是互斥事件，故A错误； 对于B,“至少1个白球”和“至少1个红球”都包含样本点“1红球1白球”， 则两个事件可以同时发生，所以不是互斥事件，故B错误； 对于C,“恰有1个白球”（即1红球1白球）和“恰有2个白球”， 则两个事件不能同时发生，所以是互斥事件， 且存在“2个都是红球”的情况，则两个事件可以都不发生，所以不是对立事件，故C错误； 对于D,事件“至少有1个白球”包含的样本点分别为“1红球1白球”和“2个白球”，和事件“2个都是红球”不能 同时发生，且涵盖了所有样本点，必有一个发生，是对立事件，故D正确故选D. 7.D【解析】设点A关于直线1的对称点为A1(a,b), 、6 la= 5￥ 则 解得 即点A,的坐标为 63 22+2.61+2=0, -5’5 2 2 b=5' 由IPA=PA,则PA+IPB=PAl+PB≥AB=√(-9-1+（号+=2， 当且仅当A1,P,B三点共线时取等号，所以|PA|+PB|的最小值为√26.故选D. 8D【解析】以点A为坐标原点，AB,AD,AE的方向分别为x,y,之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系，则A(0,0,0),B(4,0,0),D(0,4,0),E(0,0,4),H(0,4,4) 数学答案第1页（共7页） 所以AB=(4,0,0),AD=(0,4,0),AE=(0,0,4). 则A户-A店+2A心+1A正-（40,0)+20,40)+(00,4)=(3,24)，所以点P的坐标为(32,4. 因为点P在正方体的内部，所以0≤t≤1.因为Bi=(-4,4,4),BP=(-1,2,4t), Bi=1(-1,11). 令a=B=(-1,2,4),w=Bi3 设点P到直线BH的距离为d, 则d=a-a=√16m+5》专x3+)=√-含)+. 所以当：-时，d取科最小位，为昌-号，所以点P到直骏BH的距离的最小宜为受放运D P x 9.AB【解析】非零空间向量a,b,因为a·b=|a|b|cos(a,b)=0,所以cos(a,b)=0,即a⊥b,故A正确； 因为0-O+号O+0,且日+日+日-1，所以PA,B,C四点共面，放B正确： 因为a十c=(a-b)+(b十c),所以a一b,b十c,a十c不能构成空间中的一组基底，故C错误； 因为直线1的方向向量与平面α的法向量的夹角为130°，所以它们所在直线的夹角为50°， 则直线l与平面a所成的角为90°-50°=40°.故D错误.故选AB. 10.ABC【解析】对于A,由于直线l2:ax一(2a-3)y-1=0,即a(x-2y)+3y-1=0, 2 则/2一2y=0, 解得 所以直线，恒过定点（行， ,故A正确； 3y-1=0, 1 对于B,由l1∥l2,得-(2a-3)X1=aXa,解得a=1或a=-3. 当a=1时，直线l1:x十y-1=0,直线l2:x十y-1=0,两直线重合，不符合题意； 当a=一3时，直线l1:x-3y+3=0,直线l2:一3x+9y-1=0,则l1∥l2,符合题意.综上，a=-3,故B正确； 对于C,由l1⊥l2,得1×a十a×(3-2a)=0,解得a=0或a=2,故C正确； 对于D,当a=一1时，直线l1:x一y+1=0,则直线l1在x,y轴上的截距分别为-1,1， 所以直线l1过第一、二、三象限，故D错误故选ABC 11.BC【解析】对于A,EF-EA=AF,则DD·(E京-EA)=DD·AF, 以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系. D 数学答案第2页（共7页） 则D0.0,0,A10,0D,0,01D.F01,}A10,1,EG1,0 则DD=00,10A京-（11,2) 11 所以DDi·A庐=0X(-1)+0X1+1×2=2≠0，故A错误； 对于B,如图，取B,C的中点Q,莲接A,Q,GQ,BC,则Q211 0 因为G,Q分别为BB1,B1C的中点，所以GQ∥BC1,因为E,F分别为BC,CC1的中点，所以EF∥BC1,所以 GQ∥EF.因为EFC平面AEF,GQ中平面AEF,所以GQ∥平面AEF 因为Ad=(211-1,0,1=（-号1,0A应-(21,010,0)=(21,0，所以AQ∥AE 又因为AEC平面AEF,A1Q中平面AEF,所以A1Q∥平面AEF. 因为GQ∩A1Q=Q,A1Q,GQC平面A1GQ,所以平面A1GQ∥平面AEF. 因为A1GC平面A1GQ,所以A,G∥平面AEF.所以点A1与点G到平面AEF的距离相等，故B正确； 对于C,由B,得AG∥平面AEF,且A1:平面AEF,A1G可以由平面AEF内的两个不共线向量A下，AE线性 表示，即存在实数入，μ使得A1G=入AF十4AE,故C正确； 对于D,由正方体的性质，得过点A1或点D的面对角线与直线A,D所成的角都为60°， 因为△A1BD为正三角形，所以A1B,BD与A1D所成角均为60°，同理，A1C1,DC1与AD所成的角也为 60°，共有4条.相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故D错误.故选BC. 12.(0,1,1)【解析】设向量a在向量b上的投影向量为c, 则c=a:b.6=2×0+0X1+2×1.(0,1,1) bTb√02+12+1 =(0,1,1), √02+12+12 所以向量a在向量b上的投影向量的坐标是(0,1,1). 13,12【解析】由和事件的概率公式，得P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB), 因为PCA)-2PGB)=号PAB)=子所以P(AUR)=名+日是-品 14.x-y+1=0【解析】因为△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(2,1),C(4,5), 所以△ABC的重心为G0+2+4,3+1+5,即点G的坐标为(2,3. 3 3 由于友号二名-1，则AB边上的商所在的直线的斜率为1， 则其方程为y-5=x-4,即x一y十1=0. 由于C=。-4=2,则AC边上的高所在的直线的斜率为-2， 则其方程为y-1=-2(x-2),即2x十y-5=0. 数学答案第3页（共7页） 2x+y-5=0, - 联立方程 解得 x-y+1=0, ,即△ABC的垂心为点H(信)引 7 y=3 7 3 3 则kGH= 4 =1,则直线GH的方程为y-3=x-2,故△ABC的欧拉线的方程为x-y+1=0. 23 10 15.解：(1)A(2,0,-2),B(1,-1,3),C(3,0,1), AC=(3,0,1)-(2,0,-2)=(1,0,3).…2分 又：|c|=√10，且c∥AC, .存在非零实数m,使得c=mAC-(m,0,3m).… …4分 .c|=√(m)2+0+(3m)=√/10，解得m=士1， …6分 C=(1,0,3)或c=（-1,0,-3).……8分 (2)a=AB=(-1,-1,5),b=AC=(1,0,3), a十kb=(-1,-1,5)十(k,0,3k)=(-1十k,-1,5+3k).…10分 ,向量a十kb与向量b互相垂直， 六(a十b)·b=-1++0+3(5+3k)=0,解得k=-7 “实数&的值为-号 …13分 16.(1)证明：因为(a+1)x+y+2-a=a(x-1)+x+y+2=0, 所以令2一1-0， x+y+2=0 解得2-1， y=-3, 所以直线l恒过定点（们，一3）.…3分 (2)解：当直线过原点时，2-a=0,解得a=2,所以直线l的方程为3x十y=0.…5分 当直线不过原点时，则直线的斜率为一1，即a十1=1，解得a=0, 所以直线l的方程为x十y十2=0.…7分 综上，直线1的方程为3x十y=0或x十y十2=0.…8分 (3)解：令x=0,则y=a一2<0，解得a<2;…9分 令y=0,则x-8子0，解得a>2或a<-1.综上a<-1.11分 所以s=a-28-号a+1+a1-6 =计北-1-9]≥+×2，-a-1·-6,当且仅当。=-4时等. 所以S的最小值为6，…14分 此时直线l的方程为一3x十y十6=0，即3x一y-6=0.…15分 数学答案第4页（共7页） 17.(1)证明：方法一：连接AC,交BD于点O,连接OE.…1分 因为ABCD为正方形，所以O为AC的中点. 又因为E为PC的中点，所以OE∥PA. 又因为PA中平面EDB,OEC平面EDB,所以PA∥平面EDB.… …4分 方法二：在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,AD,DCC底面ABCD, 所以PD⊥AD,PD⊥DC.因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC,即PD,AD,DC两量互相垂直.·2分 以点D为坐标原点，DA,DC,DP所在的直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设DC=2,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1), 所以PA=(2,0,-2),DB=(2,2,0),DE=(0,1,1).… …4分 (DB·m=2x1+2y1=0, 设平面EDB的法向量为m=(x1,y1,z1),则 D2·m=y1+z1=0, 令y1=-1,则x1=1,之1=1，所以m=(1,-1,1).… …6分 所以PA·m=2×1+0×(-1)+(-2)×1=2-2=0,所以PA⊥m. 又因为PA中平面EDB,所以PA∥平面EDB…8分 (2)解：在四棱锥P-ABCD中，因为PD⊥底面ABCD,AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD.因 为底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC,即PD,AD,DC两两互相垂直.…6分 以点D为坐标原点，DA,DC,DP所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设DC=2,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),C(0,2,0),CB=(2,0,0),PC=(0,2,-2). ……9分 CB·n=2x2=0, 设平面CPB的法向量为n=(x2,y2,之2)，则 PC·n=2y2-2z2=0, 令y2=1,则x2=0,之2=1，所以n=(0,1,1).…11分 因为DB=(2,2,0),DP=(0,0,2),CA=(2,-2,0), 所以DB.CA=2X2-2X2=0,DP.CA=0,即DB⊥CA,DP⊥CA」 ………………………12分 因为DB,DPC平面PBD,DB∩DP=D,所以CA⊥平面PBD, 即平面PBD的一个法向量为CA=(2,一2,0).… …13分 设平面CPB与平面PBD的夹角为a,则cosa=cosn,C京=n·C=I-2引=1」 n|CA√2×222' 所以平面CPB与平面PBD夹角的余弦值为2： …15分 18.解：(1)将甲、乙、丙三人投篮命中的事件分别记为A,B,C,且事件A,B,C相互独立. 所以P(A)=2,P(B)= 3P(C)= 4· …2分 记“3人都投篮命中”为事件M, 数学答案第5页（共7页） 则PM)=P(ABC)=PA),P(B)·P(C)X×- ×4-24 所以3人都投篮命中的概率为24 …6分 (2)记“3人中至少有1人投篮命中”为事件N,则3人各投篮一次，没有人投篮命中为事件N. 则P(N)=P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)] -()×)×-)-4 …9分 所以PN)=1-PW=1}-圣 所以3人中至少有1人投篮命中的概率为圣… …12分 (3)记“3人中恰有2人投篮命中”为事件T, P(T)=P(ABC)+P(A BC)+P(ABC) =P(AP(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) 1 所以3人中恰有2人投篮命中的概率为 4· …17分 19.(1)证明：AD⊥平面EFDC,DF,CDC平面EFDC,∴AD⊥DF,AD⊥CD.…1分 AB∥CD,∴.AD⊥AB. :BD=√AB2+AD=2√2，BC=√AD+(CD-AB)=2N2,∴.BC2+BD2=CD2,即BC⊥BD. 四边形EFDC为正方形，.DF⊥DC.…2分 ,AD∩DC=D,AD,DCC平面ABCD,∴.DF⊥平面ABCD.,BCC平面ABCD,.DF⊥BC. ,DF∩DB=D,DF,DBC平面FDB,BC⊥平面FDB.…4分 BCC平面BCE,平面FDB⊥平面BCE.…5分 (2)解：①以点D为坐标原点，DA,DC,DF所在的直线分别为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),F(0,0,4),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0), .AF=(-2,0,4),BC=(-2,2,0),AB=(0,2,0).…7分 设BP=入BC=(-2x,2λ，0)(0≤A≤1)， 则AP=AB+BP=(0,2,0)十(-2A,2λ，0)=(-2x,2十2x,0). 设平面PAP的法向及为m=Y,e,则-2x十4=0， n·AP=-2xx+(2+2a)y=0, 令x=2十2λ，则y=2λ，z=1十入，n=(2十2入，2入，1十入).…9分 由(1)得，BC⊥平面FDB, .平面FDB的一个法向量为BC=(-2,2,0).…I0分 设平面FAP与平面FBD的夹角为a,则cosa=|cosm,BC)1=n·BC到 nBC |-4-4λ+4λ √2 √(2+2λ)2+(2λ)2+(1+λ)×2√2√9λ2+10λ+5 :平面FAP与平面FBD夹角的余弦值为？， 数学答案第6页（共7页） 0平10m+污-得，即27a+301-18=0,解得=日或A=号（会去）. √2 √42 时-号C,即nP=BC-2g. 3 …12分 2 ②直线BE与平面FAP相交.… …13分 理由如下：由①得，E(0,4,4),B(2,2,0),则BE=(-2,2,4). “由①得入=号，平面FAP的-个法向量为n=(2+2x,2x,1+A)=(8,号，号】 3’3’3 ……15分 a…正-5+专+背-音≠0，即法向址n与向能应不垂直，∴直线BE与平面PAP不平行. 又BE中平面FAP,直线BE与平面FAP相交.…17分 数学答案第7页（共7页）高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.如图，在三棱锥A一BCD中，DA+AC-CD= A.0 B.2 CD C.2 DC D.AD 2.若直线3x一y-1=0与6x一2y十a=0之间的距离为√10，则实数a的值为 A.16 B.-22或18 C.6 D.12或-14 3.现A,B两人进行一局围棋比赛，若采用三局两胜制举行一次比赛，采用随机模拟的方法 估计B获胜的概率，先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1， 2,3,4,5,6,7表示A获胜；8,9表示B获胜.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数为 一组.产生30组随机数如下： 034743738636964736614698637162332616804560111 410959774246762428114572042533237322707360887 则B获胜的概率为 A号 1 11 D.30 4.在空间直角坐标系Oxyz中，点M(2,3,1)关于平面xO:对称的点坐标是 A.(2,-3,1) B.(2,3,-1) C.(-2,-3,-1) D.(-2,3,-1) 5.已知点A(3,一4)，B(一3，一2)，过点P(1,1)的直线1与线段AB相交，则直线1的斜率k 的取值范围是 A.F，- (,-u[+ 「531 C-24 6.若从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，则下列事件为对立事件的是 A.至少有1个白球和2个都是白球 B.至少有1个白球和至少有1个红球 C.恰有1个白球和恰有2个白球 D.至少有1个白球和2个都是红球 第1页（共4页） 7.已知点A(-2,-1),B(1,-4),直线：x+2y+2=0,在直线1上找-点P,使得1PA1七 IPB最小，则|PA|十|PB|的最小值为 A.3√2 B.4 C.5 D.26 8如图，正方体ABCD-BFGH的棱长为4，若点P在正方体内部且清足A-A店+ 号西+：正.则点P到直线BH的距离的最小值为 A号 B 唱 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9关于空间向量，则下说法正确的是 A.非零空间向量a,b,若a·b=0,则a⊥b B若对空间中任意-点O,有O丽-O时+号0丽+0C,则P,A,B,C四点共面 C.设{a,b,c}是空间中的一组基底，则{a-b,b+c,a十c}也是空间的一组基底 D,若直线1的方向向量与平面a的法向量的夹角为130°，则直线1与平面a所成的角 为50 10.已知直线l1:x十ay一a=0和直线l2:a.x一(2a一3)y一1=0，则下列说法正确的是 (21Y 的A.直线1，恒过定点3,3) B.若l1∥l2,则a=一3 款无，小圆 C.若l1⊥l2,则a=0或a=2 D.当a=一1时，直线l1始终不过第三象限 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD一A,B1C1D1中，E,F,G分别为BC,CC1,BB,的中 点.则下列说法正确的是 A.DD,·(EF-EA)=0 B.点A,与点G到平面AEF的距离相等 C.存在实数入，μ使得A,G=入A户+AE D,在正方体各面对角线中与直线A,D所成的角为60°的有4条 第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知空间向量a=(2,0,2),b=(0,1,1),则向量a在向量b上的投影向量的坐标为 1 3.在随机试验中，事件A,B满足P(A)三)，PB)二P(AB)则P(AUBP /子1脂 14数学家欧拉1765年在《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心 和重心都在同一直线上”，这就是著名的欧拉线定理后人称这条直线为欧拉线.已知 △ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(2,1),C(4,5),则△ABC的欧拉线的方程 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在空间中，已知点A(2,0,-2),B(1,-1,3),C(3,0,1),设a=AB,b=AC. (1)若|c|=√/10，且c∥AC,求向量c的坐标； (2)已知向量a十kb与b互相垂直，求实数k的值. 现定青，甲愈数啦出触丽小四产。《共，代分蓝处喜，思小毛共酸本限彩数， ,公尉确氧数言，代骑黔防益数代脂，公的风数法全农季巨密合纤 m月，人，5，年 的的问交香山一，.一用， 16.(15分)已知直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)证明：直线L恒过定点； (2)若直线L在两坐标轴上的截距相等，求直线1的方程； (3)若直线L交x轴正半轴于点A,交y轴负半轴于点B,设△AOB的面积为S,求S的 最小值，并求直线（的方程. 州角台罪不奖做类当，国一=。出 中馅d,门门，)收促代0，.3，中人通特民五1代的图位 显的澳玉顶可， A一1人3分.暖定书 关日图分式红人资已中共R以面个酒 第3页（共4页） 17.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC,E是PC的中点 (1)求证：PA∥平面EDB: (2)求平面CPB与平面PBD夹角的余弦值. 18.(17分)现有甲、乙、丙3名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为7，乙投篮命 中的概率为了，丙投篮命中的概率为}，每人只投篮一次，各运动员投篮结果互不影响。 (1)求3人都投篮命中的概率； (2)求3人中至少1人投篮命中的概率； (3)求3人中恰有2人投篮命中的概率. YSLU 19.(17分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形EFDC为正方形，AD⊥平面EFDC,AB∥ CD,且AB=AD=2,CD=4,P为棱BC上的点. (1)证明：平面FDB⊥平面BCE. (2)若平面FAP与平面FBD夹角的余弦值为@ 14 武帝数现.就科圆 ①求线段BP的长； ②判断直线BE与平面FAP的位置关系，并说明理由 劳的1市颜，交单9已然1,19之。 第4页（共4页）