河南南阳市2026-2027学年高三上学期期中质量评估数学试题

2026年秋期高中三年级期中质量评估 数学参考答案 评分说明： 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制定相应的评分细则. 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 c D A B B A D c 1.【解析】设：=a+bi(a,b∈R),由z+2z=3-2i得a+bi+2(a-b)=3-2i,即 3a-bi=3-2i,.a=1,b=2,.z=√5，故选C. 2.【解析】当a≤0时，A=☑，符合题意；当a>0时，由题知(0，a)三[0,1]，∴.0<a≤1， 综上，a的取值范围为(-o,1],故选D. 3.【解析】当等差数列的公差为0时，m,S,P,t为任意正整数，故选A. 4.【解析】由题知，f(x)是以4为周期的周期函数，由f(0)=0得a=1,所以f(2026)=f(2)=f(0)-0, 故选B. 5.【解析】因为PA+AB+BC=PC,则PA+AB+BC=PC=-V6+(6√2=63，故选：B. 6.【解析】由4=1，a+1=2a,+n-1,得4+1+n+1=2(a,+m),所以数列{a+n川是以2为首项，以2为 公比的等比数列，故a,+n=2”,a,=2”-n,所以a4。=210-10=1014,故选A 7.【解析】在△1BC中，AB=4,BC=2V5,osB=5 由余弦定理可知： C2-4B+BC-2.AB.BC.cosB=16+12-2x4x23x3-12,AC=2 5,8D=16+3-2x4K5x 所以o5A=5」 =11,BD=V1,故选D. 8.【解析】由题可将平面向量ā放在坐标系内研究（如图）， 易知△OPA中，OA=√3，∠OPA=60°从而可知点P的 D 轨迹是在5，马为圆心，1为半径的圆上（由对称性可只 a+B 60° 2 高三数学答案第1页（共7页） 研究x轴上方部分)，平移该圆使圆心坐标为( 22 则数形结合可知： 当b=OP时，|2a-b1有最大值， 当b=O7时，2a-b有最小值， x (23.0) 此时最小值为： 故选C 二、选择题 题号 9 10 11 答案ABC BD BCD 9【解折1因为+1-24=0到-≥0恒成立，故A正确：对于B逅现因为x-+分行0。 从而有+1>树+号恒成立，即不等式(+)>y+) 成立，故B正确：由x2≥0，则 x2+ 241*2,+013,当且仅当+=4.即x=时，等号成立.放 x2+1 C正确：当tanx=-l时，有tanx+ -=-2<2,故不等式不一定成立，故D错误：故选：ABC 10.【解析】设t=cosA+sinA,则t=1+2 cosAsin A,因为t∈ 1V2 2’2 所以<t-1+2cos4sin4s 4 2 符到-2s4m4水子可狗4任小 从而△ABC一定是钝角三角形，故A错误，B正确；再设 y=cosA-s血A,则y<0,因为=1-2=2-2,所以y=-2-,其中r∈月. (42' 所以 万6 ,故c错误：由<2 coAsin4≤-)行 3 22 4下os4:m5分即}24s1 得3-2 cosA sin A<-1 41+tam2A21 即4≤tanA+ tanA一3由对勾函数的单调性易知，解anA+L 1 8 < ≥-4可得，即由tamA+4tanA+1≤0， tan 可得tanA≥-2-√3，故D正确：故选BD 11.【解析】不妨设AB=2,对于A选项，取AD中点M,取BC中点N,连接PM,N,EN,易知BC⊥ 平面PN,BC⊥平面PMN,故P,M,N,E四点共面.在等边△PAD中 0 PM=√3，同理EN=√3，又N=AB=PE,故四边形PMNE为 高三数学答案第2页（共7页） 平行四边形；所以PE‖MN‖AB,即P,A,B,E四点共面，从而几何体只有5个面，故A错误；又O∈平 面PMW,O,∈平面PN, 所以O,O2⊥BC,故B正确；又在平行四边形PNE中， PW=5,m=V5,PH,=26 3 所以cosa= √6 3’cosp=2V2 3 故cos∠0P0,=cosa+m=6x255l 33333 ,故C正确：设球O与平面PABE相切与H, 易知AH=V5+5_45球O,的半径为6，于是40与平面PB服所成角的正切值为5故D正确： 3 3 6 8 综上，故选BCD. 三、填空题 12.√10 14.4 12.【解析】由题1a-=a+万-2ab=4+3-2a-6=4,得a-6=3 2 故1a-26P=a2+462-4a.6=4+12-6=10,即a-2b=V10 3π 32cos元n石2 2 π 13.【解析】sin sin3 0°101010= 5 5 sin COS- 10=1 1010 2 cos 10 4cogπ 4cos 4co8π4 10 10 10 14.【解析】由题知4=1,44=4·，即 1=上. 设 1 的公差为d, a 则(1+3d)=1+d)-1+7d),解得d=1或d=0(舍去)， d1an,a分做aa安法 =++}+1+L1 一灰而a02132435461石2 折行中中白白黑不等板院立只子号 1 k=1 高三数学答案第3页（共7页) 即元≥9，则实数入的最小值是？ 4 四、解答题 15.【解析】(1)由题f(x)=3(sin axcos+cos asin)=3sin(ax+p),（1分) 因为f的最小正周期为元，所以=元.故0=2.(3分) 以网=2x+列，电题设停5，府如餐+p-5, 2 故弩+0=2r或g0-+2e2.(5分) 3 3 因为网<号解得9=0或9=胥面f0)=38in0>0,所以p号(7分) ②0加0-3a2+骨到、因为高数y=smx的年消滋减K间为对[后+2a经+2低e).(9分) 由+2版≤2x+号经+2， 32 +m≤x≤7匹+m,(I1分) 1 12 所以)的单调速减区间为[吾±径+e.(（1B分） 7元 16.【解析】令f(x)=2+22--m=0,得2+22--m=0,即2+22-=m,(1分) 方法一：令1=2，则2+22-m=0,即1+4-m=0,-M+4=0>0,(3分) t △=m2-16>0 则一元二次方程2-mt+4=0t>0)有两个正根，那么 +4=m>0，解得m>4. 所以，m的取值范围是(4，+∞).（7分) 方法：设g)=2+2=2+,令1=2，则0=1+1>0，(3分) 由于h(t)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 故g(x)在(-0，)上单调递减，在(L,+o)上单调递增，且g(1)=4, y=g(x) 根据函数图象可知，函数f(x)有两个零点，则m的取值范围是(4，+o).(7分) 方法三：因为f(x)=(2*-22-x)h2,令f"(x)=(2-22-x)n2=0, 得x=1,易知函数y=f(x)在[1，+o)上单调递增，在(-∞，)上单调递减， 且x→+0，f(x)→+0；x→-0，f(x)→+0，作出函数图形如图所示，则只需f1)=4-<0,故>4. (2)由题意可知，只需2f(x)ax≤1即可，(9分) 由(1)知f(x)在(-o,)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，(11分) 高三数学答案第4页（共7页） 且/0=5-m1)-7-m,4分) 从而有17-2≤1，解得m≥8.(15分) an+1=an+3b+6 17.【解析】(1)由 b+1=3an+b+3 得a+1+b+1=4(a.+bn)+9,（2分) .a+1+bm+1+3=4(an+bn+3),(4分) 又41+b,+3=5,所以数列{an+bn+3}是以5为首项，以4为公比的等比数列.（(6分) (2)由(1)得4，+b.+3=5×41①（7分) a1=an+3b+6 又由 b1=3a+6,+3得am-b.=-2a,-b)+3,(10分) ∴.4+1-b+1-1=-2(a-bn-1),且41-b1-1=-1, 所以数列{a,-b,-1是以-1为首项，以-2为公比的等比数列，（13分) ∴4-bn-1=-(-2)”-1②（14分) 由0*②得：a=x4_-2-1=5x2+(-2y-1.15分) 5 2 2 18【解】折@证明：由四边形ABCD在以AC为直径的圈周上，放ADC-号即ADL IC, 由PA⊥平面PCD,CDc平面PCD,得PA⊥CD,(3分) 又ADOPA=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD,故CD⊥平面PAD,(4分) 又CDC平面ABCD,故平面PAD⊥平面ABCD.(5分) (2)作PH⊥AD,由平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, PHC平面PAD,可得PH⊥平面ABCD,(6分) 记四楼鞋P-4BCD的体积为，则r-号PHam号P7(Sm+8e, 而sm-AD-cD-2x25=4, 又在RtAPAD中，PA+PD=AD=8, 于是PA:PD<P4+PD=4,当且仅当PA=PD=2时，取等号，(8分) 2 由心号以m号40m,号阳动， 2 由题在Rt4BC中，AB2+BC2=AC2=16, J是S专40sCs48;BC 2 =4,当且仅当AB=BC=2√2时，取等号， 2 高三数学答案第5页（共7页） 故r-背PH(Sc+9m)s5x8-8y5,10分) 3 3 3 故四楼锥P-ABCD体积的最大值为8,5.(11分) 3 (3)法一：不妨设点B到平面PCD的距离为h,直线PB与平面PCD所成角为O. 由（②）知，当四棱锥P-ABCD体积最大时，侧面PAD为等腰直角三角形，底面ABCD为正方形，即 AB‖CD,所以点B到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等，又PA⊥平面PCD,PA=2, h25 故h=2,此时PB=√22+(2√2)2=23，从而可知sin6= PB 23 3 即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 .(17分) 3 法二：由(2)知，当四棱锥P-ABCD体积最大时，侧面PAD为等腰直角三角形，底面ABCD为正方形， 取AD中点H,连接PH,HO,建立以HO为x轴，HD为y轴，HP为二轴的空间直角坐标系，如图， 则B(2√2，-√2,0)，P0,0,√2)，C(2√2，√2,0)，D(0,√2,0)， 于是PC=(22,V2,-V2),DC=(2W2,0,0),PB=(2V2,-V2,-V2), .PC=0 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则 n.DC=0 22x+V2y-V2z=0 即 2V2x=0 ,不妨取n=(0,1,1), 则cos<PB,n= -2W2 5 √2xV8+2+2 3 设直线PB与平面PCD所成角为8，故sin6= 3 即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 3 .(17分) 19.【解折10由腿f()-+1,放了0=2，而f0=h1+2=3, 故所求切线方程为：y-3=2(x-1),即y=2x+1.（3分) (2)根据题意，不妨令h(x)=g(x)-af(x),由于e=e++,（5分) 所以h(x)=er+x+1-a(lnx+x+2),令t=lnr+x+l,x>0, 由(1)易知t=nx+x+1在(0，+o)上单调递增，则t∈R,（6分) 高三数学答案第6页（共7页） 从而可得h(t)=e-a(t+): 则h(t)=e-a,由于a>0,令h(t)=e-a=0,则t=lna,(7分) 当t<lna时，h(t)<0,h(t)在(-oo,lna上单调递减， 当t>lna时，h(t)>0,h(t)在(na,+oo)上单调递增， 故h(t)的极小值也即最小值为h(ha)=em-alha-a=-alha,(8分) 故h(t)≥h(lna)=-adna,要使g(x)≥af(w)恒成立，只需-ana≥0， 解得0<a≤1.(9分) (3)法一：设h(x)=g(x+b)-g(x)-b=(x+b)e+b-xe+-b, H(x)=g'(x+b)-g(x)=ebH+(x+b)e1-(eH+xet)=eH[(x+b+1)e-(x+1)],(11分) 当b>0时，x+b+1>x+1,e>1,故(x+b+1)e-(x+1)>0,即h()>0,(12分) 所以h(x)在(-1，+o)上单调递增，而h(-1)=(b-1)(e-1), 只需h(-1)=(b-1)(e°-1)≥0即可满足题意，解得b≥1；（13分) 当b=0时，有h(0)=-b=0,不满足题意，舍去；(14分) 当b<0时，有(x+b+1)e-(x+1)=(x+1)(e-1)+be<0,即h(x)<0,所以h(x)在(-1，+o)上单调递减， 而h(-b)=b(e-b-1)<0,不满足题意，舍去：(16分) 综上所述：b≥1.（17分) 法二：当x>-1时，g(x+b)-g(x)>b,可化为g(x+b)-(x+b)>g(x)-x,(13分) 不妨令F(x)=g(x)-x=xe+1-x,且x>-1,则F'(x)=g'(x)-1=(x+1)eH-1, 令p()=F'(x),则p'(x)=(x+2)e1>0,故(x)=F'(x)在(-1，+o)上单调递增， 又F(-1)=-1<0,F'(0)=e-1>0,所以3x∈(-1,0)，使得F'()=0,（15分) 故F(x)在(-1，x)上单调递减，在(x,+0)上单调递增，且F(-1)=F(0)=0，（16分) 要满足F(x+b)>F()恒成立，数形结合可知：满足条件的实数b的取值范围是b≥1.（17分) 高三数学答案第7页（共7页）2026年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 架 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或 碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效， 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 製 1.已知复数之满足之+2之=3一2i,则|之= A.√2 B.2 C.√5 D.5 2.已知集合A={x0<x<a},B={x|x2-x≤0}，若A二B,则实数a的取值范围为 A.(0,1) B.(0,1] C.（-∞，1) D.(-∞，1] 3.数列{an}为等差数列，m,s,p,t∈N·,则“m十s=p十t”是“am十a,=ap十a,”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.定义域为R的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(一x),当x∈[0,1]时，f(x)=log2o2s(x十a), 则f(2026)= A.-1 B.0 C.1 D.2 : 5.如图，已知PAL平面ABC,垂足为点A,∠ABC=受，PA=AB =BC=6,则|PA+AB+BC= 阳 B.63 ☒ A.6√2 C.12 D.14 6.在数列{an}中，a1=1,am+1=2an十n-1,n∈N°，则a1o= A.1014 B.1024 C.2037 D.2048 7.已知△ABC中，AB=4,BC=25,cos∠ABC=号，D为AC中点，则BD的长为 A. B. c.2四 3 2 D.√ 3 高三数学 第1页（共4页） 8.已知平面向量a,b满足1a=√3，(a+b,b)=号，则12a-b1的最小值为 A.√7-1 B.√7+1 C.√19-1 D.19+1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列不等式一定成立的是 A.x2+1≥2|x B.la(r+1)>ln(1x+2) C.r+41≥8 4 D.tanz+,l≥2 tanx 10在AABC中，<osA十sinA≤号，则 A.△ABC可能是锐角三角形 B.△ABC一定是钝角三角形 CcoA-snA的取位范固起[-停，-) D.tanA的最小值是-2一√3 11.我们把棱长都相等的正四棱锥称为等边正四棱锥.已知等边正四棱锥P一ABCD的内 切球球心为O1,正三棱锥P一BCE的内切球球心为O2,若两几何体的面PBC可以完全 重合从而组合成新几何体，则对于该新几何体下列结论正确的是 A.新几何体有7个面 B.O1O2⊥BC C.cos∠0，PO,= 3 、D.AO,与平面PBE所成角的正切值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=√3，a一b|=2,则|a一2b|= 3r二 13.求值sin0sin语- 14.已知数列{a,}是首项为1的单调数列，且a2,a4,a成等比数列，数列(}为等差数列. 若对Vn∈N+,不等式之a4a+:<a1a,恒成立，则实数入的最小值是 高三数学第2页（共4页） :※※※※※ %% 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 18.(本小题满分17分) ※※※※※ 15.(本小题满分13分) 已知四棱锥P一ABCD的底面四边形ABCD的四个顶点在以AC为直径的圆上， ※※※※※ 已知函数f(x)=3 sin+3 c,w>0,lp<受，f(x)的最小正周期为x, AD=CD=2√2，PA⊥平面PCD. ※※※兴※ (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD; ※※※※※ 且f)=35, =2,f(0)>0. (2)求四棱锥P一ABCD体积的最大值； ※※※※※ (1)求w、p的值； (3)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. ※※※※※ (2)求f(x)的单调递减区间 ※※※※※ %% ※※※※※ ※※※※※ ※※※ 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2十22-x一m,m∈R (1)若函数y=f(x)有两个零点，求m的取值范围； (2)若对任意x1,x2∈[0,3]，不等式f(x1)十f(x2)≤1恒成立，求m的取值范围 19.(本小题满分17分) X.X 已知函数f(x)=lnx十x十2，g(x)=xe+1 9X (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a>0时，g(x)≥af(x),求实数a的取值范围； (3)当x>一1时，g(x十b)一g(x)>b,求实数b的取值范围 17.(本小题满分15分) ※※※※※ am+1=an十3bn+6 %%% 已知数列{an}和{bn},a1=b=1,且满足 b+1=3a+b+3. X%X (1)证明：数列{am十bn十3}是等比数列； ※※※※ 米 ※※※※※ (2)求数列{an}的通项公式 ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ :兴必※※兴 高三数学第3页（共4页) 高三数学第4页（共4页） :※※※※※