精品解析：河南省南阳市兴宛学校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度高三上学期数学期中考试卷 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求得答案. 【详解】依题意，. 故选：A 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性与临界值比较的值，从而得解. 【详解】因为，即， ，即， 所以. 故选：D. 3. 过抛物线：的焦点作互相垂直的两条直线，使得其中的一条与相交于，，另外一条与相交于，，设，分别是线段，的中点，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线的斜率为，联立直线的方程与抛物线方程，求坐标，同理求坐标，表示的面积，再求其最值. 【详解】设直线的斜率为，则的斜率为， 则直线的方程为， 由 消去并整理，得. 设，， 则，所以， 同理， 所以 ， 因为 ， 所以 的面积， 当且仅当时，等号成立，故的面积的最小值为4 . 故选：C. 4. 在中，是边上一点，若是直角三角形，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理分别求出，再按和分类，借助正弦定理求解. 【详解】在中，，由， 得，则，由余弦定理得， 由是边上一点，且是直角三角形，得或， 当时，，解得； 当时，在中，由正弦定理得， ，，， 所以的长为或. 故选：D 5. 已知数列满足，对，，都有，为数列的前n项乘积，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，先令，可得，再令，结合，可得，进而判断出数列是以首项为，公比为的等比数列，最后结合等比数列的通项公式即可求值. 【详解】因为对，，都有， 所以令，有，则有， 令，有， 又因为，所以， 因为， ，且， 所以，即， 所以， 则，所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以 ， 故选：A. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由共轭复数的概念及复数的乘法运算即可求解. 【详解】， . 故选：A. 7. 若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题化为函数与函数恰有两个交点，利用导数的几何应用求临界情况下的切线方程，应用导数研究的性质，画出大致图象，数形结合确定参数范围. 【详解】令，即， 依题意，函数与函数恰有两个交点， 所以，令或，解得或，而，， 所以在，处的切线方程分别为，， 当，则，即在上单调递增， 当，则，即在上单调递减， 所以函数的大致图象如下： 由图知，的取值范围是. 故选：C 8. 已知“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性规划的几何意义，分别作出和表示的平面区域，即可判断出答案. 【详解】设点满足，则点所在的平面区域为如图所示的正方形区域（包括边界） ， 设满足，则点所在的平面区域为如图所示的圆面区域， 由此可知成立，不一定成立； 成立时，一定有成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 4是的一个周期 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用，，及是偶函数，经过等量代换可推出，可得为偶函数，判断A选项；推出可判断B选项；由的周期性可求解C选项；利用可求解D选项. 【详解】由，用代入，得， 又，两式相加得， 由是偶函数，得，代入上式，得， 可得，所以，即， 因为，则， 所以，所以为偶函数，A选项错误； 由，得， 又，两式相减得， 所以，因此，即4是的一个周期，B选项正确； 由，可得，所以， 由可得，所以， 由，，可得， 由，，可得. 所以，C选项正确； 由上面推导可知， 因为奇数的平方可表示为，所以奇数的平方除以4的余数为1， 同理可得偶数的平方除以4的余数为， 所以，D选项正确. 故选：BCD. 10. 已知奇函数的定义域为，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 的一个周期为 【答案】AD 【解析】 【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断. 【详解】由函数为奇函数，则，A选项正确； 又，即，则函数关于直线对称，B选项错误； 由可知， 即，函数的一个周期为，C选项错误，D选项正确； 故选：AD. 11. 设抛物线的焦点为，抛物线的准线过点．若点满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点在以为圆心，为半径的圆上 C. 若点在抛物线上，则 D. 抛物线上恰好存在两个满足题意的点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义、两点间距离公式等知识逐项计算即可. 【详解】对于A：因为抛物线的准线为，所以，A错误； 对于B：，设，则. 因为，所以， 化简得，即. 所以点在以为圆心，为半径的圆上，即点在以为圆心，为半径的圆上，B正确； 对于C：由，得，即，解得， 所以，所以，C错误； 对于D：根据C求出的点有两个，或，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分） 12. 在展开式中，的系数为，那么实数_____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式计算可得结果. 【详解】由，所以通项公式. 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：2 13. 在平面直角坐标系中，点为圆上的动点，点的坐标为，其中为常数且． （1）若，则=_____， （2）若的最大值为，此时的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，得到的坐标，求得的值，设，利用向量的数量积的坐标运算公式，求得，结合的最大值为，求得，代入即可求解. 【详解】由圆，可得圆心 又由，可得点的坐标为，即， 所以，则； 因为点为圆上的动点，可设， 又因为点的坐标为，可得， 则， 因为，所以当时，取得最大值， 则，解得， 因为，所以，此时的最小值为. 故答案为：；. 14. 已知函数则_____. 【答案】 【解析】 【分析】代入计算出，相加即可. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知函数（是自然对数的底数） （1）求函数在上的单调增区间； （2）若为的导函数，函数，求在上的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，令，求得增区间； （2）对函数求导，判断单调性求出最值. 【小问1详解】 由题可得，， 令，即，因为，所以， 即，所以， 又，则，所以，即. 所以函数的单调递增区间是. 【小问2详解】 由题，，则， 由，， ， 因为，所以，，所以，仅在和时，， 所以函数在上单调递增， 故， 所以函数在上的最大值为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面，则， 因为，即， 因为，平面，平面， 故平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式求解即可； 法二：利用等体积法求得D到平面距离为，在中，由余弦定理得，进而求出，利用等面积法求得为点到交线的距离，设平面与平面的夹角为，求出，进一步求出，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：平面，， 以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以、、、、， ，，，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：因为， 所以， 又，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为， 而，所以， 故，即D到平面距离为. 依题意，计算可得，在中，，，， 由余弦定理，得， 因为，所以， 又， 设为点D到交线的距离，则， 设平面与平面的夹角为， 所以，所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，线段的垂直平分线与轴交于点，当是直角三角形时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意求得，代入即可求解； （2）由题意可得，分直线斜率不存在，直线斜率为，直线斜率存在三种情况，结合韦达定理列式计算可解. 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在轴上， 因为椭圆的一个顶点为，所以， 因为离心率为，则，解得， 所以， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意可知，若是直角三角形，则只能，即， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 将代入计算可得，取， 此时线段的垂直平分线与轴交于点， 则， 因为，所以不是直角三角形，不符合题意舍去； 当直线斜率为时，此时线段在轴上， 由对称性可知，线段的垂直平分线为轴，故点位置不确定，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，， 直线与椭圆联立方程可得，得， 因为在椭圆内，所以直线与椭圆一定有两个交点，则， 则，， ， ， 线段的中点坐标为， 所以线段垂直平分线方程为， 令，则，即， ， 则， 即， 即， 化简可得，解得， 所以，即或. 18. 已知椭圆，圆是圆上任意一点． （1）证明：直线是圆的一条切线． （2）若，直线与交于两点，求． （3）过点作圆的切线与交于两点，若，证明：过4个定点． 【答案】（1） 由圆，则圆心，半径为，且， 所以圆心到直线的距离， 所以直线是圆的一条切线. （2） （3） 由（1）直线是圆的一条切线，将点代入得， 所以点在直线上，即为过点圆的切线， 所以，设，， 联立，消去，整理得， ，，， 所以， 由，得，即， ， ，即， ，即， 上式对任意的均成立，故，即， 所以椭圆的方程可化为，即， 由可得， 所以椭圆必过个定点：，，，. 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离与圆的半径比较，得证； （2）联立直线和椭圆方程，利用弦长公式求解； （3）联立切线、椭圆方程，结合韦达定理及，化简得到，从而得到，进而可解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，椭圆，设，， 联立，消去，整理得， ，，， . 【小问3详解】 略 19. 在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示. 2 3 5 3.5 4.5 5.5 （1）当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式. （2）若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：） （3）请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量. 【答案】（1）， （2） 考虑①，由， 可得，而 ， 可得模型①是“理想函数模型”； 考虑②，由，可得 而， 所以模型②不是“理想函数模型”； （3）（百万个 【解析】 【分析】（1）根据代入法、平方法，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）结合代入法，结合题中理想函数模型的定义分类讨论进行求解即可； （3）结合（2）的结论，利用代入法进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 由图表数据可得， ，， 联立上式，解方程可得，， 则； 当时，， 由图表数据可得， 联立上式，解方程可得， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得时， （百万个 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三上学期数学期中考试卷 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 过抛物线：的焦点作互相垂直的两条直线，使得其中的一条与相交于，，另外一条与相交于，，设，分别是线段，的中点，则的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，是边上一点，若是直角三角形，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知数列满足，对，，都有，为数列的前n项乘积，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 4是的一个周期 C. D. 10. 已知奇函数的定义域为，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 的一个周期为 11. 设抛物线的焦点为，抛物线的准线过点．若点满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点在以为圆心，为半径的圆上 C. 若点在抛物线上，则 D. 抛物线上恰好存在两个满足题意的点 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分） 12. 在展开式中，的系数为，那么实数_____． 13. 在平面直角坐标系中，点为圆上的动点，点的坐标为，其中为常数且． （1）若，则=_____， （2）若的最大值为，此时的最小值为_____． 14. 已知函数则_____. 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 已知函数（是自然对数的底数） （1）求函数在上的单调增区间； （2）若为的导函数，函数，求在上的最大值. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，线段的垂直平分线与轴交于点，当是直角三角形时，求直线的方程. 18. 已知椭圆，圆是圆上任意一点． （1）证明：直线是圆的一条切线． （2）若，直线与交于两点，求． （3）过点作圆的切线与交于两点，若，证明：过4个定点． 19. 在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示. 2 3 5 3.5 4.5 5.5 （1）当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式. （2）若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：） （3）请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $