精品解析：黑龙江哈尔滨市第六中学校2026-2027学年高二上学期11月期中测试数学试题

哈尔滨市第六中学校2025级上学期期中测试 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共73分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 某职工食堂周五供应5种不同的主食和10种不同的菜品，小李这天从该食堂选择1种主食和3种不同的菜品，则不同的搭配方案有（ ） A. 50种 B. 60种 C. 120种 D. 600种 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，不同的搭配方案有种． 2. 圆心为，且经过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得所求圆的半径，进而求得圆的标准方程，得到答案. 【详解】由圆心为和点，可得圆的半径， 则圆的标准方程为． 故选：C. 3. 展开式中的常数项是（ ） A. -540 B. -20 C. 20 D. 540 【答案】A 【解析】 【详解】 展开式的通项公式是， 令 ，得， 所以. 4. 已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） 3 4 6 7 20 40 60 A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由表格可得， 因样本中心点满足回归方程， 故有，解得. 当时，， 此时残差为. 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用两直线平行关系求出m，然后利用条平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 则直线与直线之间的距离是. 故选：C 6. 随着雨季的来临，甲，乙两地每天下雨的概率分别为，，且两地同时下雨的概率为，则雨季的某一天在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，则，，， 因此甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率即为. 7. 已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对直线的斜率的取值范围进行分类讨论，利用倾斜角与斜率的关系可得出的倾斜角取值范围. 【详解】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 8. 一口袋里有大小形状完全相同的10个小球，其中红球与白球各2个，黑球与黄球各3个，从中随机取3次，每次取3个小球，且每次取完后就放回，则这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，根据题意，先计算每次所取的3个小球颜色各不相同的概率，然后设所取的3个小球颜色各不相同的次数服从二项分布，直接计算即可. 【详解】每次所取的3个小球颜色各不相同的概率为：， 由已知，所取的3个小球颜色各不相同的次数服从二项分布， ∴这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为： . 故选：C. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种 C. 甲、乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A利用捆绑法可求，对于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题即解. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确， 对于B，最左端排甲时，有种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种,故不正确， 对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有种，故正确， 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故正确． 故选：ACD． 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的方差，则 B. 若随机变量且，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 已知随机变量的分布列为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的方差的性质可判断A；由正态分布求解判断出B；由二项分布即可判断选项C；由概率分布列的性质求出，进而求出判断D. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，随机变量且， 所以， 所以，故B正确； 对于C，根据二项分布的概念可知随机变量，故C正确； 对于D，，，，故D正确． 11. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出点A，B的坐标，可判断选项A的正误；判断两条直线的位置关系可判断选项B的正误；根据基本不等式链可判断选项C，D的正误. 【详解】由，得． 因为，所以，得． 由，得． 因为，所以，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 现有4道四选一的单选题，一名学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案．该学生从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由全概率公式求解即可. 【详解】. 13. 已知点，若直线与线段相交，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得直线过定点，然后利用两点斜率公式，结合图象求出斜率范围即可. 【详解】直线，即，所以直线过定点， 如图，． 因直线l与线段相交，则由图可知或， 即k的取值范围是． 故答案为： 14. 把放置在平面直角坐标系中，点在直线的上方，点在边上，平分，且点都在轴上，直线的方程为，直线的斜率为，则点的坐标为__________；直线在轴上的截距为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意确定的方程，进而确定方程，数形结合求直线，再结合点关于线的对称点即可求解. 【详解】 由题意：直线的方程与直线的方程联立得， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 由，得直线的斜率为0， 由及的斜率为，结合上图，易得，又， 所以直线的方程为，与联立得. 设直线与轴交于点，点关于直线的对称点为， 则点在直线上，所以，且. 联立解得代入，得， 所以直线在轴上的截距为. 故答案为：， 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据下列条件，求直线的一般方程． （1）过点，且与直线平行； （2）与直线垂直，且与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两条平行线的关系设出直线方程，然后代入点求解即可； （2）根据两条线垂直的关系设出直线方程，再求出与坐标轴的交点列出等式解出来即可. 【小问1详解】 与直线平行的直线，可设为， 将代入得，解得， 所以直线为：. 【小问2详解】 与直线垂直的直线可设为， 当时，当时，， 因为与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4， 所以，解得， 所以直线为：. 16. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示． 售价（元/件） 48 49 50 51 52 月销售量（千件） 10 9 9 7 5 （1）求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）； （2）建立关于的线性回归方程，并估计当售价为53元/件时，该商品的月销售量为多少千件？ 参考公式：① ② ③ 参考数据： 【答案】（1），与有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合 （2），4.4千件 【解析】 【分析】（1）由表中数据易计算得到，再利用相关系数公式计算得到相关系数，然后通过题目中给的条件来判定相关性的强弱，来决定是否用线性回归模型拟合. （2）直接使用斜率和截距的最小二乘估计公式来进行计算求出线性回归方程，当时，代入线性回归方程，计算得出月销售量的估计值. 【小问1详解】 由已知得，， 则样本相关系数为， 因为，所以与有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合. 【小问2详解】 由题意得，所以， 所以关于的经验回归方程：， 当时，， 故估计当售价为53元/件时，该商品的月销售量为4.4千件. 17. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为． （1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； （2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值． 附，． α 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 （2）能，理由：经计算 （3）的分布列为： X 0 1 2 P 的期望值. 【解析】 【分析】（1）根据抽到喜爱打篮球的学生的概率求出喜爱打篮球的人数，从而可求出不喜爱打篮球的人数，然后结合列联表中的数据可将列联表补充完整； （2）根据列联表中的数据，结合公式求出，然后根据临界值分析判断即可； （3）根据题意可知喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与均值. 【小问1详解】 在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为， 则喜爱打篮球的有人，则不喜爱打篮球的有人， 所以列联表补充如下： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 【小问2详解】 零假设为：喜爱打篮球与性别无关， 计算得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜爱打篮球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问3详解】 喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2. 所以，，， 故的分布列为： X 0 1 2 P 所以的期望值. 18. 某企业举行招聘考试，共有人参加，分为初试和复试，初试成绩总分分，初试通过后参加复试． （1）若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于分的人数；（精确到个位数） （2）复试共三道题，每答对一题得分，答错得分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为，求的分布列及期望. 附：若随机变量服从正态分布，则： ，，． 【答案】（1） （2） 期望为 【解析】 【分析】（1）分析可知，计算出的值，乘以可得结果； （2）分析可知随机变量的取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 解：因为学生初试成绩服从正态分布，其中，， 则， 所以 ， 所以估计初试成绩不低于的人数为人. 【小问2详解】 解：的取值分别为、、、， 则， ， ， . 故的分布列为： 所以数学期望为. 19. 某自来水厂消毒系统原有4台消毒装置，为确保饮用水微生物安全性，该自来水厂进行了设备升级，又引进了2台新型消毒装置.据已有数据记录，原消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.2%，新消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.8%，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升. （1）若从该厂6台消毒装置中随机选择3台进行检测，记为这3台装置中新型装置的台数，求的分布列； （2）经原消毒系统处理后，设一升水中大肠杆菌的个数为X，求的概率（结果保留3位小数）及X的数学期望； （3）经新消毒系统处理后，试用泊松分布近似计算，一升水中大肠杆菌个数不超出2个的概率（结果保留3位小数）. 附：①泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见的离散型概率分布，是适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.若随机变量的分布列为，，1，2，…，（其中为自然对数），则称随机变量服从泊松分布. ②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布.即，其中. 参考数据：，，，. 【答案】（1） 的分布列为： 0 1 2 （2）；4 （3） 【解析】 【分析】（1）确定的取值，求得对应概率即可求解； （2）求得每个大肠杆菌的存活率为，则，即可求解； （3）设经新消毒系统处理后，一升水中大肠杆菌个数为，由，即可求解. 【小问1详解】 由题意的取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 【小问2详解】 由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为， 设一升水中大肠杆菌个数为，则， ， 【小问3详解】 经新消毒系统处理后，一升水中大肠杆菌个数为， 由题意，，其中且， 所以，其中. 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2025级上学期期中测试 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共73分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 某职工食堂周五供应5种不同的主食和10种不同的菜品，小李这天从该食堂选择1种主食和3种不同的菜品，则不同的搭配方案有（ ） A. 50种 B. 60种 C. 120种 D. 600种 2. 圆心为，且经过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 展开式中的常数项是（ ） A. -540 B. -20 C. 20 D. 540 4. 已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） 3 4 6 7 20 40 60 A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 随着雨季的来临，甲，乙两地每天下雨的概率分别为，，且两地同时下雨的概率为，则雨季的某一天在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 一口袋里有大小形状完全相同的10个小球，其中红球与白球各2个，黑球与黄球各3个，从中随机取3次，每次取3个小球，且每次取完后就放回，则这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种 C. 甲、乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的方差，则 B. 若随机变量且，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 已知随机变量的分布列为，则 11. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（ ） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 现有4道四选一的单选题，一名学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案．该学生从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为__________． 13. 已知点，若直线与线段相交，则k的取值范围是______． 14. 把放置在平面直角坐标系中，点在直线的上方，点在边上，平分，且点都在轴上，直线的方程为，直线的斜率为，则点的坐标为__________；直线在轴上的截距为__________. 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据下列条件，求直线的一般方程． （1）过点，且与直线平行； （2）与直线垂直，且与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4． 16. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示． 售价（元/件） 48 49 50 51 52 月销售量（千件） 10 9 9 7 5 （1）求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）； （2）建立关于的线性回归方程，并估计当售价为53元/件时，该商品的月销售量为多少千件？ 参考公式：① ② ③ 参考数据： 17. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为． （1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； （2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值． 附，． α 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 某企业举行招聘考试，共有人参加，分为初试和复试，初试成绩总分分，初试通过后参加复试． （1）若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于分的人数；（精确到个位数） （2）复试共三道题，每答对一题得分，答错得分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为，求的分布列及期望. 附：若随机变量服从正态分布，则： ，，． 19. 某自来水厂消毒系统原有4台消毒装置，为确保饮用水微生物安全性，该自来水厂进行了设备升级，又引进了2台新型消毒装置.据已有数据记录，原消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.2%，新消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为99.8%，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升. （1）若从该厂6台消毒装置中随机选择3台进行检测，记为这3台装置中新型装置的台数，求的分布列； （2）经原消毒系统处理后，设一升水中大肠杆菌的个数为X，求的概率（结果保留3位小数）及X的数学期望； （3）经新消毒系统处理后，试用泊松分布近似计算，一升水中大肠杆菌个数不超出2个的概率（结果保留3位小数）. 附：①泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见的离散型概率分布，是适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.若随机变量的分布列为，，1，2，…，（其中为自然对数），则称随机变量服从泊松分布. ②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布.即，其中. 参考数据：，，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $