精品解析：黑龙江牡丹江市第三高级中学2026-2027学年高二上学期期中数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．每小题选项只有1个符合题目要求． 1. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据空间直角坐标系的定义，点关于轴对称的点的坐标为， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 2. 已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆的方程为， 解方程组即得解. 【详解】设圆的方程为， 把点，，代入得 ， 解得，，， 所以圆的方程是． 故选：D． 【点睛】方法点睛：求圆的方程，一般利用待定系数法，先定式（一般式和标准式），再定量. 3. 直线和圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切或相交 C. 相交 D. 相切 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线所过的定点的坐标，判断点与圆的位置关系，由此可判断出直线与圆的位置关系. 【详解】直线过定点， ，则点在圆内， 因此，直线和圆相交. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A，假设存在唯一的实数对，使得， 可得，解得，所以向量共面， 所以不能构成空间的一个基底，所以A不符合题意； 对于B，假设存在唯一的实数对，使得， 可得，此时方程组无解，所以不共面， 所以可以作为一个空间的基底，所以B符合题意； 对于C，假设存在唯一的实数对，使得， 可得，解得，所以共面， 所以不能作为一个空间的基底，所以C不符合题意； 对于D，假设存在唯一的实数对，使得， 可得，解得，所以共面， 所以不能作为一个空间的基底，所以D不符合题意； 5. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，由两点斜率公式得； 已知，，同理得. 直线过定点，当绕点旋转时，若直线与线段相交， 结合图象分析可得：或，即或. 6. 已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率公式得，再利用渐近线公式即可得到答案. 【详解】由双曲线的离心率为2，得 ，解得， 则双曲线的渐近线方程为，即. 7. 已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. (x≤－1) 【答案】D 【解析】 【分析】设动圆圆心M坐标为（x，y），半径为r，由题意可得|MC2|﹣|MC1|＝2＜|C1C2|，可得点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支．根据2a＝2，c＝3，求得b值，即可得点M的轨迹方程． 【详解】设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r， 由动圆M与圆C1和圆C2均外切可得|MC1|＝r+1，|MC2|＝r+3， 相减可得|MC2|﹣|MC1|＝2＜|C1C2|， 故点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支． 由题意可得 2a＝2，c＝3，∴b＝， 故点M的轨迹方程为 x2﹣＝1（x≤﹣1）， 故选：D. 【点睛】本题主要考查两圆相外切的性质，考查双曲线的定义、性质和标准方程，属于基础题． 8. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过点引的外角平分线的垂线，垂足为，且点与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】延长交的延长线于点，连接， 由题意知:， 所以，则点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 所以与短轴顶点的最短距离为， 所以，所以，则. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，设，，，则下列向量中与不相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为平行六面体，所以是AC的中点，故 . 所以与不相等的向量是A、B、D. 10. 方程表示圆，则的可能取值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 3 【答案】AC 【解析】 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，根据半径大于0，即可求出参数的范围，从而判断正确选项. 【详解】解：方程，即为 ， 它表示圆，需满足， 故选：AC. 11. 设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，为原点，的最大值为，椭圆的离心率为，则（ ） A. B. 若，，则的内切圆面积为 C. 若轴，则 D. 若的面积为，则为直角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】利用点在短轴顶点处时最大可确定A;利用等面积法可求的内切圆半径确定B；轴时，则代入可得，进而可求确定C； 由的面积为得到，接着即可判断的形状. 【详解】易知当点在短轴顶点处时最大，为，此时，，则，所以，A正确； 由A知，当时，，设内切圆半径为，则，则，则的内切圆面积为，B错误；，若轴，则，代入椭圆方程得，则，所以，C错误； 由，得，代入椭圆方程得，则，所以轴或轴，D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分． 12. 已知一束光线从点射出，经y轴反射后，反射光线所在直线与直线垂直，则反射光线所在直线l的方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反射的性质，结合互相垂直的直线的性质进行求解即可. 【详解】因为反射光线所在直线与直线垂直， 所以可设反射光线所在直线方程为：， 点关于y轴对称的点的坐标为，显然点在直线上， 所以，即， 故答案为： 13. 已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据椭圆方程列方程，解得结果. 【详解】因为椭圆的长轴在轴上，焦距为4， 所以 故答案为：8 【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）求； （2）求； （3）求在方向上的投影向量． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用空间向量数量积的坐标运算公式计算数量积即可； (2)利用模的平方运算来求模长； (3)利用投影向量公式来计算即可. 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 因为向量，所以， 则； 【小问3详解】 由在方向上的投影向量为. 16. 已知圆C过点，，圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）若D在直线上，过点D作圆C的切线，求切线长的最小值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由题意设圆的圆心，半径为r，则有，建立方程，求解可得圆的圆心坐标和半径，由此可得圆的标准方程； （2）过点D向圆C作切线，有，要使得切线长最短，即使得最短，的最小值为点C到直线的距离.根据点到直线的距离公式可求得答案. 【小问1详解】 解：由题意设圆的圆心，半径为r， ∵，∴，解得，∴圆心，半径， ∴圆C的方程为. 【小问2详解】 解：过点D向圆C作切线，如图， 则，要使得切线长最短，即使得最短，的最小值为点C到直线的距离. 点C到直线的距离为. ，∴切线长的最小值为5. 17. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） 在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由椭圆焦点在轴上得，将点代入方程求． （2）设，联立椭圆方程，由韦达定理表示，利用求，验证判别式，写出直线方程． 【小问1详解】 椭圆的焦点在轴上，所以． 将点代入方程，得，即，所以． 因此椭圆的方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时， 与椭圆交于，此时共线，不符合题意． 当直线的斜率存在时， 设，交点为． 将代入，整理得． 由韦达定理得． 又， 所以． 由得，于是． 代入韦达定理的结果，得，即． 令，得，即，所以，即． 因此或，此时， 直线的方程为或． 19. 已知双曲线的离心率为，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线过且与双曲线交于两点，求直线l的斜率k的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的倾斜角为，点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）的取值范围是 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用离心率得到，再将已知点代入双曲线方程求出参数，得到标准方程. （2）设出过定点的直线方程，和双曲线联立，转化为一元二次方程，结合二次项系数不为、判别式大于求解斜率范围. （3）先由倾斜角写出直线方程，联立双曲线求出弦长，设，求出点到直线的距离，利用三角形面积公式列方程求解. 【小问1详解】 由离心率，得. 又，代入得，所以. 双曲线方程化为，将点代入， ，解得，. 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， 联立， 消去，整理得. 因为直线与双曲线交于两个点，所以 由，得. 由， 得. 综上所得，的范围是. 【小问3详解】 直线倾斜角为，斜率， 直线：，整理为. 联立， 代入化简得，即. 设，， ，. 所以 . 设，点到直线：的距离 . ， 得，. 解得或. 所以坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．每小题选项只有1个符合题目要求． 1. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 直线和圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切或相交 C. 相交 D. 相切 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 7. 已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. (x≤－1) 8. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过点引的外角平分线的垂线，垂足为，且点与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，设，，，则下列向量中与不相等的向量是（ ） A. B. C. D. 10. 方程表示圆，则的可能取值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 3 11. 设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，为原点，的最大值为，椭圆的离心率为，则（ ） A. B. 若，，则的内切圆面积为 C. 若轴，则 D. 若的面积为，则为直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分． 12. 已知一束光线从点射出，经y轴反射后，反射光线所在直线与直线垂直，则反射光线所在直线l的方程为_________． 13. 已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________. 14. 已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）求； （2）求； （3）求在方向上的投影向量． 16. 已知圆C过点，，圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）若D在直线上，过点D作圆C的切线，求切线长的最小值. 17. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 18. 已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程． 19. 已知双曲线的离心率为，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线过且与双曲线交于两点，求直线l的斜率k的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的倾斜角为，点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $