精品解析：浙江温州市南浦实验中学等4校2026－2027学年九年级上学期数学期中试卷

2026学年第一学期第一次测试试卷 九年级数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，细心答题，发挥最佳水平．答题时请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．祝你成功！ 卷Ⅰ 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 骰子的六个面上分别刻有到的点数，掷一次骰子，向上一面的点数是． B. 任意画一个三角形，其内角和为． C. 在一个只装着白球与黑球的不透明的布袋中摸球，摸出红球． D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数． 【答案】D 【解析】 【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，逐个判断即可． 【详解】解：A、骰子六个面的点数为到，掷一次向上一面的点数为一定不发生，是不可能事件； B、任意三角形的内角和为，是必然事件； C、布袋中只有白球和黑球，摸出红球一定不发生，是不可能事件； D、随意翻到一本书的某页，页码可能是奇数也可能是偶数，页码为偶数可能发生也可能不发生，是随机事件． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数图象和性质直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为． 3. 如图所示，四边形四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形对应角相等得出，再根据四边形内角和定理求解； 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， 由图可知，，， ， ∴， ∴． 4. 年春节档有多部影片上映，小明从《飞驰人生》、《风起大漠》、《惊蛰无声》、《年年有熊》四部影片中随机选择一部观看，恰好选中《风起大漠》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵从4部影片中随机选一部，共有4种等可能的结果，其中选中《风起大漠》的结果有1种， ∴恰好选中《风起大漠》的概率为． 5. 如图，，点，分别在线段，上，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，点，分别在线段，上， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6. 如图，和是位似图形，点是位似中心，若，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，且位似比等于对应点到位似中心的距离之比，利用相似三角形的周长比等于相似比进行计算即可； 【详解】解：和是位似图形，点是位似中心， ， ， 相似比为， 的周长的周长， 的周长为， 的周长． 7. 养殖户为了估计鱼塘中鱼的数量，随机从鱼塘中捞出条鱼，做好标记后放回鱼塘．在它们完全混合于鱼群后，再从中捞出条鱼，其中带有标记的鱼有条，那么估计鱼塘中有（ ）条鱼． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用带标记鱼在总体和样本中的占比相等列方程求解； 【详解】解：设鱼塘中共有条鱼， ∵鱼完全混合后，样本与总体中带标记鱼的占比相等， ∴， 解得 ， 故估计鱼塘中有200条鱼． 8. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合抛物线开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线， 点在对称轴上，故最大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴， ∴． 9. 小明想利用一块直角三角形硬纸板估测旗杆的高度．如图，他先从旗杆底部点出发，向西走步到达点，此时从点处观测到视线恰好经过点．接着他向东走步到达点，从点处观测到视线再次经过点，测量时斜边始终保持水平．已知小明的目高为，步长为，则估测旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点，证明求出，即可求出的长． 【详解】解：如图，设点， 由题意，，，，，， ∴， ∴， ， 又， ， ， ， ， ． 10. 已知二次函数，当时，该函数的最大值为，最小值为，且满足，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数配方，分两种情况，根据二次函数的性质，判断不可能的m值即可. 【详解】解：， ∵二次项系数为正， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点（最低点）坐标为，即函数最小值为2，在处取得， ①当包含对称轴时：此时最小值， 由得最大值， 令，解得，即或， 要让时函数最大值为6，区间的左右端点最多只能覆盖到和， 此时区间的最大长度为； ②当完全在对称轴左侧（或右侧）时：函数在上随的增大而减小（或增大而增大）， 当时，两端点的函数值差必然大于4，无法满足， 因此的取值不可能超过4，选项中5不可能， 故不可能． 卷Ⅱ 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数与轴的交点坐标为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】y轴上的点横坐标为0，将代入二次函数解析式求出对应值，即可得到与y轴的交点坐标． 【详解】解：∵y轴上的点的横坐标为0， ∴将代入函数解析式，得， ∴该二次函数与y轴的交点坐标为． 12. 小瑞在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，统计结果如下表： 投篮次数 投中次数 投中的频率 估计小瑞投一次篮，投中的概率是_________________（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】结合频率估计概率的原理，观察大投篮次数下的投中频率稳定值，按题目要求的精度确定概率估计结果； 【详解】解：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在对应概率附近， 观察表格中的投中频率，随着投篮次数从次增加到次，投中频率依次为、、、、、、， 当投篮次数较大时，投中频率在附近波动，结合题目要求精确到，可估计小瑞投一次篮投中的概率为． 13. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割.根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 14. 如图，点是的重心，，，则的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据三角形重心的性质求解． 【详解】解：延长交于点， ∵点是的重心， ∴是的中线，， ∵， ∴， ∴ ． 15. 已知在二次函数中，函数值和自变量的部分对应值如下表： … … … … 则方程的解为_________________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】根据表格中函数值相等的点确定二次函数对称轴，利用处的函数值求出的值，将所求方程转化为二次函数取特定函数值时的自变量问题，结合对称性求解． 【详解】解：∵和时的函数值均为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，，代入， ∴． ∵当时，， 根据二次函数的对称性，关于对称轴的对称点为， 即时，， 将代入方程， 得，即， ∵， ∴， 将代入，得，即， ∴所求方程的解为二次函数时对应的自变量的值，即，． 16. 如图，在四边形中，为边上的一点，连结，，，，且．若，，，则的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】由， 得出，​，证明，求出；由及平角定义得，推出四点共圆，由圆周角定理得出． 证明得出，则，证明，即可求解； 【详解】解：∵，  ∴， ∴​， ∵，且， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴； ，， ， 四点共圆， （同弧所对圆周角相等）． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴​，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 三．解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知线段，的长满足． （1）求的值． （2）若，线段是，的比例中项，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把直接代入代数式，化简计算即可； （2）先根据算出的值，再利用比例中项定义：若是的比例中项，则． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：， ， 线段是的比例中项， ， 代入得：， 又线段长度为正数， ． 18. 在一个不透明的布袋里放有个白球和个红球，它们除颜色外其余都相同． （1）从布袋里摸出个球，求恰好摸到红球的概率． （2）从布袋里摸出个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出个球，求两次都摸到白球的概率．（用画树状图或列表法说明） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个不透明的布袋里放有个白球和个红球，它们除颜色外其余都相同， ∴从布袋里摸出个球，求恰好摸到红球的概率为； 【小问2详解】 根据题意画图如下： ∵由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中两次都摸到白球的结果数有1种， ∴两次都摸到白球的概率是． 19. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把已知两点坐标代入解析式，解方程组求出． （2）先化成顶点式，找到开口方向、对称轴；再比较区间端点和顶点处的函数值，确定最值． 【小问1详解】 解：已知二次函数过点． ， ， 二次函数表达式： 【小问2详解】 解：， ，抛物线开口向下，对称轴：，顶点． 对称轴在范围内， 当时，． 当时：； 当时：， 在区间里，离对称轴越远函数值越小，离对称轴更远， ． 当时，． 20. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，是格点三角形（三角形的顶点都在格点上）． （1）与是位似图形，在图中画出位似中心． （2）在图中画出与相似且面积最大的格点三角形． 【答案】（1）如图1，连结两组对应顶点并延长，交点即为所求的位似中心． （2）如图2，即为所求与相似且面积最大的格点三角形． 【解析】 【分析】（1）位似图形的对应顶点连线都经过位似中心，连结两组对应顶点并延长，交点即所求； （2）设相似比为，把相似三角形三边长的平方写成、、，由格点距离的平方是整数与网格跨度限定的最大值，再按边长平方找出三个格点． 【小问1详解】 解：∵位似图形的对应顶点连线都经过位似中心， ∴连结图1中两组对应顶点所在的直线，两线相交于位似中心． 图略 【小问2详解】 解：设所求格点三角形与的相似比为． ∵三边长的平方依次为、、， ∴所求三角形三边长的平方依次为、、． ∵格点间距离的平方是整数， ∴、都是整数． ∵， ∴是整数，记为． ∵网格内两格点距离的平方不超过， ∴，即． ∵要能写成两个整数的平方和， ∴时、、、都不合要求；时含超过的数，也放不进网格． 当时，，． 由勾股定理，，． 又． ∴，相似比为． ∵的面积为， ∴所求最大面积为． 21. 如图，是边上的一点，．延长至点，使得． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）∵， ∴． ∵点、、在同一直线上，点、、在同一直线上， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）． 【解析】 【分析】（1）由得到等角，再用补角把与联系起来，配合题给比例证两三角形相似； （2）由得到，作到的垂线后用勾股定理求，再回用（1）的相似比求． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． 过作于点（如图）． ∵，， ∴． 设，则． ∵点在上，， ∴，． 在中，． 在中，． ∴，解得． ∴． 由（1）知， ∴． ∴，即． 22. 图是一座上承式拱桥．某综合实践小组进行拱桥模型设计，其示意图如图所示，桥拱近似为一条抛物线，跨度为，桥面与平行．立柱，与桥面垂直，长为，拱顶到桥面距离为．为了桥体的稳固，在桥面和桥拱之间需加设根立柱，加设后，所有立柱均平行，且相邻两根立柱的水平距离相等． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （2）求加设的最长立柱的长度． 【答案】（1）以点为原点、所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系（如图）． 抛物线的函数表达式为． （2）加设的最长立柱长为． 【解析】 【分析】（1）以为原点，把、分别作为坐标轴，由跨度与立柱长写出各点坐标，用顶点式设解析式，代入端点求系数； （2）由立柱总数把跨度等分，写出各加设立柱的横坐标，代入解析式求桥拱高度，再用桥面高度作差比较出最长的一根． 【小问1详解】 解：图略 ∵，，， ∴、、、，拱顶的纵坐标为，横坐标为． 设抛物线的表达式为． 把代入，得． ∴． ∴所求表达式为． 【小问2详解】 解：∵加设根立柱后共有根立柱，相邻两根的水平距离相等， ∴每相邻两根的水平距离为． ∴加设的立柱横坐标依次为、、、、． 把代入解析式，得． ∴该立柱长为． 把代入解析式，得． ∴该立柱长为． 把代入解析式，得，该立柱长为；由抛物线的对称性，横坐标为、的立柱分别与横坐标为、的立柱等长． ∴，加设的最长立柱长为． 23. 已知抛物线过点． （1）求该抛物线的对称轴． （2）求该抛物线与轴的交点坐标． （3）若，为该二次函数图象上不同的两点，且，求证：． 【答案】（1）直线 （2）， （3）证明： ∵抛物线与轴交于，， ∴抛物线解析式可写为（）. ∵在抛物线上， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵，是抛物线上不同的两点，且纵坐标相同， ∴两点关于抛物线的对称轴对称. ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴. 将代入，得 ， ∴，得证． 【解析】 【分析】（1）已知抛物线上一点，先代入求出的数量关系，再用对称轴公式求对称轴； （2）求与轴交点就是令，解一元二次方程； （3）、纵坐标相同，说明两点是抛物线上一对对称点，先把点坐标代入抛物线，再利用对称轴得到的关系式，等量代换完成证明． 【小问1详解】 解：把点代入抛物线： ， 解得， 抛物线解析式变为：， 对称轴公式：， 抛物线对称轴为． 【小问2详解】 解：令，即，， 两边除以：， 因式分解：， 解得：，， 抛物线与轴交点坐标为，． 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，是边上的中线，是上一点，过点作，交于点，连结，将绕点旋转至，交于点，连结．其中，，已知，，记． （1）用含的代数式表示的长． （2）求证：． （3）若，求线段的长． 【答案】（1）． （2）连结，如图， ∵，且是边上的中线， ∴，直线是的对称轴． ∵点在上， ∴． ∵将绕点旋转至， ∴． ∴，是等腰三角形． ∵， ∴． ∴，即是的中点． ∵， ∴． ∵点在上， ∴． ∵， ∴． ∵点在上， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴，即． （3）． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形底边中线与平行线得到相似三角形，用对应边之比把用表示； （2）利用对称轴与旋转把、、三条线段联系起来，再由等角条件证两个等腰三角形相似，用对应边成比例得到所求等式； （3）由与等角条件证，借已知比值求出，再回用（2）的比例与勾股定理求． 【小问1详解】 解：∵，是边上的中线， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：∵， ∴． 由（2）知，． ∵点在上， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． 由（2）的结论，得． ∵，，， ∴． ∴，即． 由（2）知，是的中点． ∴． ∵， ∴． ∴． 把代入，得． ∴， 解得． ∵， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期第一次测试试卷 九年级数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，细心答题，发挥最佳水平．答题时请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．祝你成功！ 卷Ⅰ 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 骰子的六个面上分别刻有到的点数，掷一次骰子，向上一面的点数是． B. 任意画一个三角形，其内角和为． C. 在一个只装着白球与黑球的不透明的布袋中摸球，摸出红球． D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，四边形四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 年春节档有多部影片上映，小明从《飞驰人生》、《风起大漠》、《惊蛰无声》、《年年有熊》四部影片中随机选择一部观看，恰好选中《风起大漠》的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点，分别在线段，上，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和是位似图形，点是位似中心，若，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 养殖户为了估计鱼塘中鱼的数量，随机从鱼塘中捞出条鱼，做好标记后放回鱼塘．在它们完全混合于鱼群后，再从中捞出条鱼，其中带有标记的鱼有条，那么估计鱼塘中有（ ）条鱼． A. B. C. D. 8. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 小明想利用一块直角三角形硬纸板估测旗杆的高度．如图，他先从旗杆底部点出发，向西走步到达点，此时从点处观测到视线恰好经过点．接着他向东走步到达点，从点处观测到视线再次经过点，测量时斜边始终保持水平．已知小明的目高为，步长为，则估测旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，该函数的最大值为，最小值为，且满足，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数与轴的交点坐标为_________________． 12. 小瑞在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，统计结果如下表： 投篮次数 投中次数 投中的频率 估计小瑞投一次篮，投中的概率是_________________（精确到）． 13. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号） 14. 如图，点是的重心，，，则的长为_________________． 15. 已知在二次函数中，函数值和自变量的部分对应值如下表： … … … … 则方程的解为_________________． 16. 如图，在四边形中，为边上的一点，连结，，，，且．若，，，则的长为_________________． 三．解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知线段，的长满足． （1）求的值． （2）若，线段是，的比例中项，求线段的长． 18. 在一个不透明的布袋里放有个白球和个红球，它们除颜色外其余都相同． （1）从布袋里摸出个球，求恰好摸到红球的概率． （2）从布袋里摸出个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出个球，求两次都摸到白球的概率．（用画树状图或列表法说明） 19. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，求的取值范围． 20. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，是格点三角形（三角形的顶点都在格点上）． （1）与是位似图形，在图中画出位似中心． （2）在图中画出与相似且面积最大的格点三角形． 21. 如图，是边上的一点，．延长至点，使得． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 22. 图是一座上承式拱桥．某综合实践小组进行拱桥模型设计，其示意图如图所示，桥拱近似为一条抛物线，跨度为，桥面与平行．立柱，与桥面垂直，长为，拱顶到桥面距离为．为了桥体的稳固，在桥面和桥拱之间需加设根立柱，加设后，所有立柱均平行，且相邻两根立柱的水平距离相等． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （2）求加设的最长立柱的长度． 23. 已知抛物线过点． （1）求该抛物线的对称轴． （2）求该抛物线与轴的交点坐标． （3）若，为该二次函数图象上不同的两点，且，求证：． 24. 如图，在中，，是边上的中线，是上一点，过点作，交于点，连结，将绕点旋转至，交于点，连结．其中，，已知，，记． （1）用含的代数式表示的长． （2）求证：． （3）若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $