精品解析：浙江省温州市森马协和国际学校2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷

2024-2025学年浙江省温州市森马协和国际学校九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（ ） A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 3. 的半径长为4，若点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 4. 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( ) A. 158° B. 58° C. 64° D. 116° 5. 将二次函数的图象向左平移2个单位，得到的新图象对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴只有1个交点，则m的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知是的直径，、是半圆上两点，且满足，，则弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，据书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，测量锯口深和锯道长，便可得径为几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯去锯这木材，测量锯口深和锯道长，可以算出圆的直径．“现有一木材和锯如图所示，测得寸，寸，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径是（ ） A. 10寸 B. 15寸 C. 17寸 D. 20寸 10. 设二次函数（是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 2 n 2 p … 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则以下a的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 二次函数的顶点坐标是 ____． 12. 已知一个正多边形的内角是，它是______边形． 13. 有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于_________． 14. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为______．（结果保留） 15. 一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数表达式为，那么小球到达地面时的时间是__________秒． 16. 如表是实验中结果A出现的频率统计表，请估计A在这次实验中结果出现的概率为 _________． 试验次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 125 350 540 740 950 1140 频率 17. 已知二次函数，当时，y的取值范围是 _____． 18. 如图，正六边形的边长为，点M，N分别是的中点，将正六边形绕点E顺时针旋转一定角度后，点A的对应点刚好落在直线上，则此时的长度为 _____． 三、解答题（共有4小题，共46分） 19. 在一个不透明的袋子里，装有2个红球、1个白球，它们除颜色外都相同． （1）从布袋里任意摸出一个球，求摸到白球的概率． （2）在布袋里任意摸出一个球后不放回，再摸出一个球．请用列表或树状图求两次摸到的球是一红一白的概率． 20. 如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到，其中点A和点C的对应点分别是和． （1）在网格内画出． （2）写出点的坐标_________；写出点的坐标_________． （3）写出线段在旋转过程中扫过的面积为_________． 21. 如图，已知为的直径，是弦，于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的直径． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中． （1）求二次函数的表达式，并求出点B的坐标． （2）连接，现将抛物线图象向下平移m个单位，使得顶点落在线段上，请求出m的值． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低元千克进行降价销售． 素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天） 1 2 3 10 日销售量（千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 24. 如图，直径为10的与y轴交于A、B两点，与x轴交于点，的延长线与圆E交于点G，点M是线段上一个动点，作与y轴交于点N，连接． （1）求点E的坐标； （2）设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数表达式；并探索的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）连接得四边形，直接写出当四边形为菱形时的长：_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省温州市森马协和国际学校九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：，可得到答案． 【详解】解：A.是二次函数，故A正确； B.二次函数都是整式，故B错误； C.是一次函数，故C错误； D. 二次函数都是整式，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握函数是二次函数是解题的关键． 2. 在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（ ） A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据盒子中棋子的情况判断事件类型即可． 【详解】解：在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是必然事件． 3. 的半径长为4，若点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较实施判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，点到圆心的距离为3， 由可知，点在的内部， 故选：A． 4. 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( ) A. 158° B. 58° C. 64° D. 116° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理可求得∠BOC的度数，再根据邻补角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的度数的一半是解答此题的关键． 5. 将二次函数的图象向左平移2个单位，得到的新图象对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：将的图象向左平移2个单位，得到新函数表达式． 6. 在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴只有1个交点，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数图象与x轴只有一个交点时，对应的一元二次方程根的判别式等于0，利用判别式列方程求解即可得到m的值． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有1个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根，根的判别式， 将，，代入得：， 化简得，解得． 7. 如图，已知是的直径，、是半圆上两点，且满足，，则弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，得到，，利用勾股定理即可解答，熟练运用相关知识是解题的关键． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 故选：B． 8. 已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三点到对称轴的距离即可得到结论． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴对称轴为直线， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离， 点到对称轴的距离， ，即， ∴点到对称轴的距离，， ， ． 9. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，据书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，测量锯口深和锯道长，便可得径为几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯去锯这木材，测量锯口深和锯道长，可以算出圆的直径．“现有一木材和锯如图所示，测得寸，寸，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径是（ ） A. 10寸 B. 15寸 C. 17寸 D. 20寸 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设的半径为r，在中，，，，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接， 设的半径为r寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 由题意得，寸， ∴寸， 在中，， ∴， 解得， ∴的直径为17寸． 10. 设二次函数（是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 2 n 2 p … 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则以下a的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格中函数值相等的两点确定二次函数对称轴，得到系数关系，再结合“三个数中只有一个正数”的条件列出不等式，求出a的取值范围，即可判断选项. 【详解】∵当和时，y值都为2， ∴二次函数的对称轴为直线， 由对称轴公式，可得， ∴二次函数解析式为， ∵点和关于对称轴对称， ∴， ∵中只有一个正数， ∴， 将代入解析式，得， ∴，解得， 对比选项，只有A选项，符合条件． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 二次函数的顶点坐标是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接可得顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式为， ∴顶点坐标为． 12. 已知一个正多边形的内角是，它是______边形． 【答案】9##九 【解析】 【分析】对变形的内角和公式可以表示为，又因为所给多边形的每个内角均相等，故又可以表示为，列方程即可求解． 【详解】解：设正多边形的边数是，由内角和公式，得， ， 解得：， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根据多边形的内角和公式求多边形的边数，解答时，要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 13. 有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率． 【详解】解：从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是偶数的可能性有2种可能性， ∴从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 14. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．接代入弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，扇形的弧长为：． 故答案为：． 15. 一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数表达式为，那么小球到达地面时的时间是__________秒． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，当得，解方程，即可求解． 【详解】解：当时， ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 16. 如表是实验中结果A出现的频率统计表，请估计A在这次实验中结果出现的概率为 _________． 试验次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 125 350 540 740 950 1140 频率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，观察表格中频率的变化趋势，找到频率稳定的数值即可估计结果A出现的概率． 【详解】解：由统计表可知，随着试验次数不断增加，结果出现的频率逐渐稳定在附近， 因此估计结果在这次实验中出现的概率为． 17. 已知二次函数，当时，y的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 将代入得， ∴当时，y的取值范围是． 18. 如图，正六边形的边长为，点M，N分别是的中点，将正六边形绕点E顺时针旋转一定角度后，点A的对应点刚好落在直线上，则此时的长度为 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】将正六边形绕点E顺时针旋转一定角度后形成的图形分成两类情况分别讨论，①如图1所示时，，利用边长为可先求出，再作于点P，用勾股定理可得．再在直角三角形中，由勾股定理得，从而．②当正六边形绕点E顺时针旋转如图2所示时，根据即可求． 【详解】解：①当正六边形绕点E顺时针旋转如图1所示时， ∵正六边形的边长为， ∴， 连接， ∴． 作于点P， ∵点M，N分别是的中点， ∴， 连接，可得为等边三角形， ∴， 由勾股定理可得． 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴． ②当正六边形绕点E顺时针旋转如图2所示时， 在直角三角形中，由勾股定理得： ∴， 又， 故． 综上可得，的长为或． 三、解答题（共有4小题，共46分） 19. 在一个不透明的袋子里，装有2个红球、1个白球，它们除颜色外都相同． （1）从布袋里任意摸出一个球，求摸到白球的概率． （2）在布袋里任意摸出一个球后不放回，再摸出一个球．请用列表或树状图求两次摸到的球是一红一白的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表或树状图求概率，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式直接计算即可； （2）画出树状图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率． 【小问1详解】 解：袋子里装有2个红球，1个白球， 一次摸到白球的概率； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可知，所有等可能的结果数为6，两次摸到的球是一红一白的结果数为4， （摸得一红一白）． 20. 如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到，其中点A和点C的对应点分别是和． （1）在网格内画出． （2）写出点的坐标_________；写出点的坐标_________． （3）写出线段在旋转过程中扫过的面积为_________． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，，． 【小问3详解】 解：由勾股定理得，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为． 21. 如图，已知为的直径，是弦，于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的直径． 【答案】（1） 证明：为的直径，是弦，且于点E， ， ； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理和圆周角定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理和圆的性质，等弧的圆周角相等，即可求证； （2）根据垂径定理求出，设的半径为R，根据勾股定理及圆的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， 为的直径， ， ， ，即， 解得， ， 的直径为8． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中． （1）求二次函数的表达式，并求出点B的坐标． （2）连接，现将抛物线图象向下平移m个单位，使得顶点落在线段上，请求出m的值． 【答案】（1）；B点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，找到对称轴，根据对称求解即可． （2）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，则用待定系数法可得直线的解析式为，根据平移的性质解得即可． 【小问1详解】 解：（1）将和代入中， 得， 解得， ∴函数解析式为； 对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知：B点的坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由（1）可知：， 设直线的解析式为：， 代入B、C的坐标得：， 解得： ∴直线的解析式为， 由题意可知：平移后的顶点为：， 将平移后的顶点代入直线的解析式得：， 解得：． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低元千克进行降价销售． 素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天） 1 2 3 10 日销售量（千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 【答案】任务1：超市卖柚子到第30天了；任务2：；任务3：在销售旺季里利润最大是第20天，最大的利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合是解题的关键． 任务1：由题意得，第柚子的价格为：，即可求解； 任务2：由待定系数法即可求解； 任务3：当时，则，当时，则，分别求出最大值，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得，第天柚子的价格为：， 则， 解得：， 即超市卖柚子到第30天了； 任务2：由表格知，日销售量（千克）是时间（天的一次函数， 设函数的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 故一次函数的表达式为：； 任务3：设销售旺季里利润为元， 当时，则， 当时，的值为（元； 当时，则， 则函数的对称轴为， ∵该二次函数二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 故当时，函数取得最大值为元， ∵ ∴综上所述，当时，函数取得最大值为元， 即在销售旺季里利润最大是第20天，最大的利润是元． 24. 如图，直径为10的与y轴交于A、B两点，与x轴交于点，的延长线与圆E交于点G，点M是线段上一个动点，作与y轴交于点N，连接． （1）求点E的坐标； （2）设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数表达式；并探索的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）连接得四边形，直接写出当四边形为菱形时的长：_____． 【答案】（1）点E的坐标为 （2），存在最大值，最大值为， 理由如下： 对配方， 得， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 又， 故当时， y有最大值为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据点，可得．过点E作于点P，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，，即可得E点坐标； （2）由，所以，作于点Q，连接，可得．根据．从而得到和的长，进而根据列表达式，最后配方求此函数的最值； （3）当四边形为菱形时，与必互相垂直平分，由图可证明必垂直平分，则只需即可．根据，，得到，所以，所以． 【小问1详解】 解：∵点，则． 过点E作于点P，连接，如图1所示， 由垂径定理可知， 由直径为10， 则， 由勾股定理可得． ∴， 故点E的坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， 又点M是线段上一个动点， 故， 即． 如图2所示，作于点Q，连接， 可得， 故， 从而． 又， ∴，， ∴， 故， 故y关于x的函数表达式为：； 【小问3详解】 解：如图3所示， 连接得四边形，连接， 当四边形为菱形时， 与必互相垂直平分， ∵， ∴． ∴必垂直平分， 则只需即可． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $