湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

2026年秋季高一期中考试 数学参考答案 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A C B C B 二．选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 题号 9 10 11 答案 AD ABD ACD 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12． 13． 14． 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【解析】（1）由得，解得， 所以， 当时，， 所以， ． 6分 （2）命题是命题的必要条件，集合是集合的子集． 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 13分 16．【解析】（1）由题意得，， 则，解得， 所以实数的取值范围为． 6分 （2）由，化简得，即， 当时，对于不等式，解得； 当时，对于不等式，无解； 当时，对于不等式，解得． 综上所述，当时，关于的不等式的解集为； 当时，关于的不等式的解集为； 当时，关于的不等式的解集为． 15分 17．【解析】（1）采用策略①：购买的产品平均价格为． 3分 策略②：购买的产品平均价格为． 6分 （2）采用策略②比策略①更经济实惠．理由如下： 采用策略①，两次购买的数量均为，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的总数量为， 则两次的平均价格为， 因为，，于是， 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与策略②一样经济实惠； 当时，，采用策略②比策略①更经济实惠． 15分 18．【解析】（1）易知函数的定义域为， ，， 所以函数是定义域为的偶函数． 2分 任取， ， 因为是增函数，所以， 因为，， 所以， 所以在上单调递增． 4分 （2）易知函数的定义域为， 因为为偶函数， 所以对任意，有成立，即， 整理得， 所以． 6分 即， 所以， 由（1）知是在上单调递减、在上单调递增的偶函数， 由复合函数的单调性可知，是在上单调递减，在上单调递增的偶函数． 由，得， 所以，整理得， 解得， 所以原不等式的解集为． 10分 （3）， 由（2）知在上单调递增， ，， 所以在区间上的值域为． 又，， 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在区间上的值域为． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以， 解得， 所以实数的取值范围为． 17分 19．【解析】（1）由得， 所以，当且仅当时等号成立． 的定义域为，对任意，， ， 当且仅当时等号成立，所以， 则为上的下凸函数． 3分 的定义域为，对任意，， ，当且仅当时等号成立， 所以，为区间上的上凸函数． 5分 （2）证明：令，得或， 由已知得在处的切线方程为， 令，得． 在处的切线方程为， 令，得． 由（1）知为上的下凸函数，其大致图象如图所示， 结合函数图象得，，， ． 10分 （3）由得， 所以，① 设，易知在上单调递增， ①式即为， 所以， 所以． 由已知得，当且仅当时等号成立， 所以，解得． 所以实数的取值范围为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一期中考试 数 学 时量：120分钟 满分：150分 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1．已知命题：，，则命题的否定是 A．， B．， C．， D．， 2．已知，，则“”是“”的 A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3．已知幂函数的图象与轴没有公共点，则实数的值为 A． B． C． D． 4．函数的图象大致为 A． B． C． D． 5．《几何原本》卷的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示，点，在圆上，点在直径上，且，，于点，设，，该图形完成的无字证明．图中长度为的线段是 A． B． C． D． 6．生物体死亡后，它机体内原有的碳的含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（为原始量，为常数），大约每经过年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期．年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳残余量约占原始含量的，则可推断该生物死亡时间属于 附：①参考数据：；②参考时间轴如图： A．春秋战国 B．秦汉时期 C．魏晋南北朝 D．隋唐时期 7．已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．（★）已知函数，则方程的解的个数为 A． B． C． D． 二．选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．（★）下列说法正确的是 A．函数与函数表示同一函数 B．函数与函数表示同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．函数的定义域为 10．已知，，若，则 A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．双曲函数是数学中一类非常重要的函数，其中就包括双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（，为自然对数的底数）．下列关于与的说法正确的是 A．函数的图象关于原点对称 B．，都有 C．函数的值域为 D．，，都有 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．计算：________． 13．（★）已知集合，，则集合的子集个数为________． 14．已知函数的定义域为，且是奇函数，若函数与图象的交点为，，…，，则________． 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（★）（本小题满分13分） 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）设命题：，命题：，若命题是命题的必要条件，求实数的取值范围． 16．（★）（本小题满分15分） 设， （1）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 17．（本小题满分15分） 两次购买同一种物品，有两种不同的策略． 策略①：不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②：不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同． 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）若，，，，请分别计算策略①及策略②购买的产品的平均价格； （2）采用哪种策略购买更经济实惠？请说明理由． 18．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）用定义证明的奇偶性及在上的单调性； （2）若函数为偶函数，求实数的值，并解不等式； （3）在（2）的条件下，设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19．（本小题满分17分） 某同学在阅读高等数学时发现两则定义． 定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，，都有，则称为区间上的下凸函数． 显然下凸函数有如下性质：设是下凸函数图象上任意一点，则函数在点处的切线始终在函数图象的下方（不包含点）．如图． 定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，，都有，则称为区间上的上凸函数． 显然上凸函数有如下性质：设是上凸函数图象上任意一点，则函数在点处的切线始终在函数图象的上方（不包含点）．如图． 已知函数，． （1）判断并用定义证明与在定义域内是上凸函数还是下凸函数； （2）已知曲线在点处的切线方程为，且在上单调递减，在上单调递增，若方程有两个实根，，且，证明：； （3）已知曲线在点处的切线方程为，若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $