精品解析：湖南张家界市永定区2026-2027学年九年级上学期期中教学质量监测数学试题

永定区2026年秋季学期九年级期中教学质量监测试卷数学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中） 1. 如果，那么下列各式中正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ） A. 4，5，6，7 B. 3，4，6，9 C. 8，4，4，2 D. 5，10，10，15 3. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 如图1，在线段上找一点，点把线段分为和两段，其中是较小的一段，若，则点就叫做线段的黄金分割点．如图2是正五角星图案，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若为锐角，，则 D. 在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 9. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使．按照此规律，线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 12. 已知是锐角，若，则的值为______． 13. 已知，如图，在中，，若，则______． 14. 为测量池塘边两点A，B之间的距离，小明设计了如下的方案：在地面取一点O ， 使交于点O ， 且． 若测得，米，则A ，B两点之间的距离为_____米． 15. 如图，点为中边上一点，且，连接，交的中线于，若，则的长为______． 16. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则斜坡的坡比为___________． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 在中，，分别是，，的对边． （1）已知，，求； （2）已知，，求． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． （2）判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 20. 如图，是的边上的一点，连接，已知，，， （1）证明； （2）求线段的长． 21. 综合与探究：已知：如图，在中，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为， 解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）点，同时出发，为何值时，以、、为顶点的三角形与相似． 22. 如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． （1）求坝高； （2）求水库坝底宽的长． 23. 消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． （1）当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． （2）某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 24. 和的顶点重合，，，，． （1）特例发现：如图，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是_______． （2）探究证明：如图，将图中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由； （3）拓展运用：如图，将图中的绕点顺时针旋转，点在外部，连接、，当时，请你利用第（2）题的结论，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定区2026年秋季学期九年级期中教学质量监测试卷数学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中） 1. 如果，那么下列各式中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质验证等式变形，结合比例的意义判断具体取值的正误． 【详解】解：∵， ∴， ∴A错误，B正确； ∵满足的取值不唯一，且时， ∴C、D错误． 2. 下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ） A. 4，5，6，7 B. 3，4，6，9 C. 8，4，4，2 D. 5，10，10，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选C． 3. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 4. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 5. 如图1，在线段上找一点，点把线段分为和两段，其中是较小的一段，若，则点就叫做线段的黄金分割点．如图2是正五角星图案，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 利用黄金分割的定义列出比例式即可求出的长． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 或（舍去）， 故答案为：C． 6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，解答即可． 【详解】解：， ， ，，， 解得． 7. 如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若为锐角，，则 D. 在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义和性质，需根据三角函数的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：A、三角函数的度数不能直接相加，A错误； B、α为锐角时，，所以当时，，B错误； C、，设对边为，邻边为，则斜边为，所以，C正确； D、在中，等于角A的邻边与斜边的比值，当两边都扩大5倍时，另外一条直角边也扩大了5倍，比值不变，所以不变，D错误． 故选：C． 9. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵， ∴， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，不符合题意； D、∵，夹角和不一定相等， ∴不能证明，符合题意． 10. 如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使．按照此规律，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、图形类规律探索，正确归纳推出一般规律是解题关键．先解直角三角形可得，，，再归纳推出一般规律，（为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 依此类推：，（为正整数）， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】若线段a，b，c，d满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断即可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，其中，，， ∴； ∴； 解得， 故答案为：． 12. 已知是锐角，若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13. 已知，如图，在中，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 为测量池塘边两点A，B之间的距离，小明设计了如下的方案：在地面取一点O ， 使交于点O ， 且． 若测得，米，则A ，B两点之间的距离为_____米． 【答案】60 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米． 故答案为：60． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定． 15. 如图，点为中边上一点，且，连接，交的中线于，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，根据相似三角形的判定得到，则，根据点是的中点，，得到，根据得，根据，推出得到，则，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 点是的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则斜坡的坡比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过作平行于桌面，根据正方形和平行四边形的性质，得出，再根据图1上部的空白长方体体积和图2上部的空白三棱柱的体积相等，求出，求出，即可得解． 【详解】解：如图2，过作平行于桌面，则，， 图2中，正方形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，即， 棱长为，， 图1中，， 图1上部的空白长方体体积和图2上部的空白三棱柱的体积相等， ， 图2中，， ， 斜坡的坡比为． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 在中，，分别是，，的对边． （1）已知，，求； （2）已知，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知直角边和斜边的长，可以利用的余弦即可求解； （2）根据余弦是邻边与斜边的比，已知斜边的长，由比例的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，，， ∴， 根据特殊角的三角函数可知，； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵，，即， ∴． 【点睛】本题主要考查利用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． （2）判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】（1）解：①如图，为所作， ②如图，为所作， （2）是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【解析】 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 20. 如图，是的边上的一点，连接，已知，，， （1）证明； （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定， （1）已知，，根据两组对应角相等的三角形相似证明结论； （2）利用相似三角形对应边成比例先求出的长，再算出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，解得， ∴． 21. 综合与探究：已知：如图，在中，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为， 解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）点，同时出发，为何值时，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】（1） （2）当或时，以、、为顶点的三角形与相似 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求出斜边的长度，再根据动点的运动速度表示出线段、，结合建立方程求出的值； （2）以作为公共角，分两种相似情况讨论，分别依据相似三角形对应边成比例列方程，结合t的取值范围进行检验，求出符合条件的的值． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：由题意知：，， 当，则， ， ， ，，符合题意； 当，则， ， ， ，符合题意； 当或时，以、、为顶点的三角形与相似． 22. 如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． （1）求坝高； （2）求水库坝底宽的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而得米，米，再根据斜坡的坡度求出，在中，解直角三角形求出，最后根据线段的和差求解． 【小问1详解】 解：∵斜坡米，坡角，， ∴（米）， 即坝高为米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵斜坡的坡度， ∴（米）， ∵坡角，，米， ∴（米）， ∴米， 答：坝底宽的长为米． 23. 消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． （1）当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． （2）某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 【答案】（1） （2）解：该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 理由：当米，时，云梯顶端可以达到最大高度，如（1）图， 由（1）知：四边形是矩形， ∴，， 此时， 在中，， ∴（米）（米）， ∴该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先在中求出，再根据可得答案； （2）先计算当长米且时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∴， 由题意知：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴云梯消防车最高点距离地面的高度的长为米； 【小问2详解】 略． 24. 和的顶点重合，，，，． （1）特例发现：如图，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是_______． （2）探究证明：如图，将图中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由； （3）拓展运用：如图，将图中的绕点顺时针旋转，点在外部，连接、，当时，请你利用第（2）题的结论，求的值． 【答案】（1），垂直 （2）结论成立 理由：， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用含角直角三角形的边长性质，求出、，再计算、，得到线段比值并判断直线与直线的位置关系； （2）由旋转得到相等夹角，结合边长比例证明，利用相似的性质推导线段比值与垂直关系，验证结论是否仍然成立； （3）借助第（2）问的结论，结合四点共圆、等弦对等角判定矩形，得到直角，再利用勾股定理求出的值． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 在中，，， ， ，， ，此时； 【小问2详解】 解：证明过程见答案处； 【小问3详解】 解：， ， 又， ，，，四点共圆， ， ， 又， ，即， 四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、四点共圆、矩形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形判定与旋转的边角规律是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $