精品解析：湖南省张家界市永定区2025--2026学年上学期九年级期中教学质量监测数学试卷

永定区2025年秋季学期九年级期中教学质量监测试卷 数学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 已知反比例函数下列结论中不正确的是： A. 图像经过点（－1，－1） B. 图像在第一、三象限 C. 两个分支关于原点成中心对称 D. 当x＜0时，y随着x的增大而增大 2. 一元二次方程的一次项系数是( ) A. 2 B. C. D. －3 3. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 6. 如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示．则血液中药物浓度不低于微克/毫升的持续时间为（　　） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 8. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点为的中点，交的延长线于点，交于点，若平行四边形的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若，则________． 12. 若点和点都在反比例函数的图象上，则 ______ ．（用“”“”或“”填空） 13. 若关于的方程是一元二次方程，则___________． 14. 若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a= 15. 反比例函数的图象如图，点M是该函数图象上一点，轴于N，若，则k的值为______ ． 16. 如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______ 17. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 18. 观察思考 结合图案中“★”和“◎”的排列方式及规律，则第 _________个图案中“★”的个数比“◎”的个数的3倍少35个． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）； 20. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 21. 已知a：b：c=2：3：4，且a+3b-2c=15 (1)求a、b、c的值； (2)求4a-3b+c的值． 22. 如图，在中，点D，E分别是边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23. 直福购物逐渐走进了人们的生活，某电商在料者上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件． （1）当每件小商品的售价为50元时，日销售量为______件； （2）若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？ 24. 阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则_____，______； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 25. 已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． 26. 如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，与双曲线相交于点，轴于点，且，点的坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）求双曲线的解析式； （3）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定区2025年秋季学期九年级期中教学质量监测试卷 数学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 已知反比例函数下列结论中不正确的是： A. 图像经过点（－1，－1） B. 图像在第一、三象限 C. 两个分支关于原点成中心对称 D. 当x＜0时，y随着x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【详解】当x=-1时，y=-1， ∴A是正确的； ∵k=1＞0，反比例函数在第一、三象限， ∴B是正确的； 根据反比例函数的图象性质，它是中心对称图形， ∴C是正确的； 当x＜0时，y随着x的增大而减小， ∴D是错的. 故选：D. 2. 一元二次方程的一次项系数是( ) A. 2 B. C. D. －3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键． 3. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 5. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 【答案】D 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A.，故此选项不符合题意； B.，故此选项不符合题意； C.，故此选项不符合题意； D.，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 6. 如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意可得： A．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． B．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． C．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与相似． D．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 7. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示．则血液中药物浓度不低于微克/毫升的持续时间为（　　） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．先分别设出正比例函数以及反比例函数的解析式，代入点坐标，求出解析式；再令分别得出的值，进而得出答案． 【详解】解：当时，设直线解析式为：， 将代入得：， 解得：， 故直线解析式为：， 当时，设反比例函数解析式为：， 将代入得：， 解得：， 反比例函数解析式为：； 当时，令，则； 当时，令，； ∴（小时）． 故选：B． 8. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 9. 关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 结合选项可得出C选项正确． 故选C． 10. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点为的中点，交的延长线于点，交于点，若平行四边形的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线的性质；由题意易得，进而可得，，则有，然后根据相似比与面积比的关系可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平行四边形的面积为， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵和同高不同底， ∴， 故选C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据比例的性质解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质． 12. 若点和点都在反比例函数的图象上，则 ______ ．（用“”“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴令，则； 令，则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键． 13. 若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值． 【详解】∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，且a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 14. 若关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3，则a= 【答案】-1 【解析】 【分析】把x=3代入一元二次方程即可求出a． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2 +ax-6=0的一个根是3， ∴9+3a-6=0， 解得a=-1． 故答案为：-1 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程方程的解又叫一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的意义是解题的关键． 15. 反比例函数的图象如图，点M是该函数图象上一点，轴于N，若，则k的值为______ ． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：=3，| k|=6，∵k＜0，∴k=－6. 故答案为－6. 点睛：本题关键利用反比例函数k的几何意义解题. 16. 如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______ 【答案】18. 【解析】 【详解】∵在△ABC中，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． ∵， ∴， ∴． 故选：18． 17. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决． 【详解】解：（米）， ∴AB∥DC． （米）． 故答案为：3 【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键． 18. 观察思考 结合图案中“★”和“◎”的排列方式及规律，则第 _________个图案中“★”的个数比“◎”的个数的3倍少35个． 【答案】7或10 【解析】 【分析】本题考查了规律探索，一元二次方程的应用，利用枚举法，确定“★”的规律；再确定“◎”的规律，根据题意，列出方程解答即可． 【详解】根据题意，得 第1个图案中的个数为：1； 第2个图案中的个数为：； 第3个图案中的个数为：；…， 所以第n个图案中的个数为：． 第1个图案中的个数为：； 第2个图案中的个数为：； 第3个图案中的个数为：；…， 所以第n个图案中的个数为：． 由题知，， 解得或， 故答案为：7或10． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可． （2）利用配方法计算即可． 本题考查了配方法，直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵, ∴， ∴或， 解得，． 【小问2详解】 解：∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 20. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数增减性与比例系数的关系，比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知反比例函数图象增减性以及经过的象限与比例系数的关系． （1）反比例函数图象经过第二、四象限，那么比例系数小于0，据此求解即可； （2）根据题意可得在每个象限内，y随x增大而增大，根据点的坐标可知点A和点B都在第二象限，由此可得答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∵点是该反比例函数图象上的两点，， ∴点A和点B都在第二象限， ∴． 21. 已知a：b：c=2：3：4，且a+3b-2c=15 (1)求a、b、c的值； (2)求4a-3b+c的值． 【答案】（1）a=10，b=15，c=20；（2）15. 【解析】 【分析】（1）设a=2k，b=3k，c=4k，代入求出k，即可求出答案； （2）把a、b、c的值代入，求出即可． 【详解】解:(1)设, ∵a+3b-2c=15， ∴2k+9k-8k=15， ∴k=5， ∴a=10，b=15，c=20. （2）∵a=10，b=15，c=20. ∴4a-3b+c=4×10-3×15+20=15 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便． 22. 如图，在中，点D，E分别是边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ． （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，通过两组角对应相等证明两三角形相似，进而根据相似三角形对应边成比例进行求解是解题的关键． （1）由，，得出，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，得到，进而得到的长，最终得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，，， ， ， ． 23. 直福购物逐渐走进了人们的生活，某电商在料者上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件． （1）当每件小商品的售价为50元时，日销售量为______件； （2）若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？ 【答案】（1）40 （2）54元 【解析】 【分析】本题考查的是列式计算，一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程是解本题的关键． （1）由原销售量20件加上增加的销售量即可得到答案； （2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元，由销售量乘以每件的利润，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当每件小商品的售价为50元时，日销售量为（件）； 【小问2详解】 解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元， 日销售量为：（件）， 依题意得：， 解得：， ， 又∵商家想尽快销售完该款商品， ∴ ， 答：每件售价应定为54元． 24. 阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则_____，______； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可． 【小问1详解】 由题意得：a，b是的两个根， ， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，得：， 即， 解得； ， ， ， 当时，，解得：， ， ， ； 当时，，解得：， ， ， ； 综上：或． 25. 已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． 【答案】(1) 2或3秒 (2) t=2 （3）设经过x秒以后△PBQ面积为8， ×（5﹣x）×2x=8 整理得：x2﹣5x+8=0 △=25﹣32=﹣7＜0 ∴△PQB的面积不能等于8cm2． 【解析】 【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解． （2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可； （3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2． 【详解】解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6 ×（5﹣x）×2x=6 整理得：x2﹣5x+6=0 解得：x=2或x=3 答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ; （2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2， ∴（5﹣t）2+（2t）2=52， 5t2﹣10t=0， t（5t﹣10）=0， t1=0（舍去），t2=2， ∴当t=2时，PQ的长度等于5cm． （3） 略 【点睛】考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键． 26. 如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，与双曲线相交于点，轴于点，且，点的坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）求双曲线的解析式； （3）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或， 【解析】 【分析】（1）把坐标代入直线解析式求出的值，确定出直线解析式； （2）把代入直线解析式求出的值，确定出坐标，代入反比例解析式求出的值，即可确定出双曲线解析式； （3）设，代入反比例解析式得到，分两种情况考虑：当时；当时，由相似得比例求出的值，进而确定出的值，即可得出坐标． 【小问1详解】 把代入中，求得， 故一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 由，把代入中，得，即， 把代入得：， 则双曲线解析式为； 【小问3详解】 设， 在上， ， 当时，可得，即， ，即， 解得：或（舍去）， ； 当时，可得，即， 整理得：， 解得：或（舍， ，． 综上，或，． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $