浙江省宁波市六校联盟2026-2027学年高二上学期11月期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2026学年第一学期宁波六校联盟高二期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.空间直角坐标系中，点P(1,-2,3)关于xOy平面对称的点的坐标是 A.（-1,-2,3) B.(1,2,3) C.(1,-2,-3) D.(-1,2-3) 2双曲线父-上=1的渐近线方程为 26 A.3x±y=0 B.V5x±y=0 C.x±V3y=0 D.x±3y=0 3.“a=0”是“直线{：(a+1)x+a2y-3=0与直线l2:2x+ay-2a=0平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，在空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=2MA,BN=NC,则MN= A.-2a+-b+ic B._2a-Lb+Lc 3 2 2 3 2 2 c1a-2,1 2-3+2 D.1a-21 20-3-2 L- (第4题图) 5.已知直线1：+by+r2=0,点A(a,b)是圆C:x2+y2=r2内一点，若过点A的圆的最短弦所在直 线为，则下列说法正确的是 A.1与圆C相交，且1⊥m B.1与圆C相切，且1∥m C.1与圆C相离，且1⊥m D.1与圆C相离，且l∥m 6.已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点都不共线，O为平面ABC外一点，CM=xOA+yOB, 若M,A,B,C四点共面，则x+y= A.-1 B.0 C.1 D.2 高二数学学科试题第1页（共4页） 7.已知直线l:-y+4=0与2：x+y-3=0的交点P的轨迹为曲线T,过点C(-1,0)作曲线T的 切线，则切线方程为 A.x=-1或9x+40y+9=0 B.x=-1或9x-40v+9=0 C.y=0或9x+40y+9=0 D.y=0或9x-40y+9=0 8.已知椭圆C:x2+四2=1(>0，n>0)的上焦点F(0,c),点T(0,4C)在椭圆外，点P、9在椭 圆上，且满足P=西，若直线P℉与P吧的斜率之积为-2，则椭圆C的离心率为 A.2 1 2 D.3 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知曲线方程。，+广=1，则下列结论正确的是 a-39-a A.该曲线可能表示圆 B.若a=10,该曲线表示实轴长为2√7的双曲线 C.若3<a<9,该曲线表示焦点在x轴上的椭圆 D.若a<3,该曲线表示焦点坐标为(0，±2√3)的双曲线 10.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，点F满足AF=AB,则 A.当=1时，四棱锥F-ABCD外接球的表面积为12π B.当=0时，AC⊥平面BDF C.任意入∈[O,],三棱锥A-BDF的体积是定值 D.存在1∈[0，]，使得AC与平面BDF所成的角为云 11.己知曲线C:x2+y2=1-y,设点P(,)为曲线C上一点，O为坐标原点，则下列选项正确 的是 A.点(1，-1)在曲线C上 B.y0≠2 C.曲线C关于x轴对称 D.OP的最大值为√2 高二数学学科试题第2页（共4页） 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 14题图 12.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,1),B(1,0),C(5,3),则AC边上的中线所在的直线方 程为 13.已知椭圆C:号+号1的左、有焦点分别为月、名，P为椭圆上一点，且∠RPR-行则 。十 △FPF,的面积为 14.如图，已知平面四边形ABCD,AB=BC=AC=4,AD=√3CD=2V5,沿直线AC将△ACD 翻折成△ACD',则直线AC与BD'所成角的余弦值的取值范围是 四、解答题本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，圆台的下底面圆心为O,轴截面ABCD为等腰梯形，AB、DC分别是上、下 底面的直径，且AD=AB=1DC=2,E为弧CD的中点，F为母线BC的中点. (1)求证：BD∥平面OEF: (2)求点C到平面OEF的距离， 16.(15分)在平面直角坐标系xOy中，己知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4) (1)过点A且倾斜角为二元的直线与圆M的另一个交点为B,求AB的长： (2)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程. 高二数学学科试题第3页（共4页） 7Q5分)已知双曲线C:1(a>0,6>0)的两条近线互相垂直，且经过点(2V② (1)求双曲线C的标准方程： (2)若直线l:y=+1与双曲线相交于A、B两点. (i)求实数k的取值范围； ()若-行求O丽0丽的值， 18.(17分)在三棱柱ABC-ABC1中，四边形A4BB与BB,CC都是边长为1的正方形， ∠ABC=90°，E,F,G分别是棱AB,BC,BB,上的动点，且AE=BF=BG (1)求证：AF⊥C1G; C (2)若平面EC,G与平面A4BB的夹角的余弦值为，求BF的长. 9(17分)已知椭圆C,+;1的右焦点为P, (1)若P为椭圆上任意一点，Q为曲线E:x2+y2-6x-4y+12=0上任意一点，求PQ-PF 的最小值： (2)设A、B分别为椭圆C的左、右项点，过F作直线1与椭圆交于M、N两点（与A、B 不重合)，设直线AM与BN的斜率分别是k、2,且直线AM与BN交点为T. (i)证明： 是定值： k (ii)求△TN重心的横坐标的取值范围. 高二数学学科试题第4页（共4页）2026学年第一学期宁波六校联盟高二期中联考 高二年级数学学科参考答案 题号 1 2 3 以 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A D B A c AB ABC 题号 11 答案 ABD 12.y=2x-2 13. 55 3 14 「万1 142 15.解：(1)因为O是下底面圆心，所以O为CD的中点： 又因为F为母线BC的中点， 所以OF是△BCD的中位线，故OF∥BD ....3分 又因为OFC平面OEF,BD文平面OEF, 所以BD∥平面OEF..... 5分 (2)以0为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系0-必.......6分 则各点坐标为： 00,0,0),C0,2,0),B0,1,V3, E1,0,0), 0 2 7分 则0E=(2,0,0), 设n=(x,y,z)为平面OEF的法向量， [2x=0 i.0E=0 则： i.0F=0 得3， y+ 2 3=0 取y=1,得法向量及其模长：=(0,1，-5)，|n上V02+1P+(←√5)2=2，..10分 又0c=0,2.0,故点c到平面obF的距离为：d=10c1_10-0+2-1+0-(_2=1, 2 所以，点C到平面OEF的距离为1.....13分 (如用传统法酌情给分) 高二数学学科答案第1页（共5页） 16.解：(1)由题意，直线AB的斜率k=-1,其方程为y=-(x-2)+4=-x+6, 整理为一般式：X十y-6=0,.2分 圆M的方程为(x-62+(y-7)2=25, 所以圆心为M(6,7),半径R=5, 利用点到直线的距离公式：4=l6+7-67_72 P+122 4分 由勾股定理，半弦长为√R2-d2, 所以：18卧2R-G=25-9 2 7分 所以弦AB的长度为√2 (1)圆M:(x-6)2+(y-7)2=25,圆心M(6,7),半径5. 因为圆心N在直线x=6上，设N(6,),................9分 因为圆N与x轴相切，所以半径为m,圆N的方程为(x-6+(0y-=n.·.11分 又圆N与圆M外切，则n>0, 所以7-=n+5,解得n=1...14分 故圆N的标准方程为(x-62+(y-12=1.....15分 (如用数形结合法直接得到答案得全分) 17.解：（①）双曲线C的渐近线为y=±x. a 因为两条证线五相莲直，所以治（8）1，即e公-， 又击线经过点红，所子京1， 代入a2=b2,解得a2=b2=2. 所以双曲线C的标准方程为一上=1. ..............。5分 22 (2)(i)由y=kx+1与x2-y2=2联立，得1-k2)x2-2kx-3=0. 因为直线！与双曲线交于A、B两点，所以该方程有两个不相等的实根. ①当1-k2=0即k=+1时，直线与双曲线只有一个公共点，不符合题意；...7分 高二数学学科答案第2页（共5页） ②当1-k:t0即k士1时，A=4+121-k码)=12-8：>0，解得-6<k< 2 2 ...10分 综上，实数k的取值范围是-6<k< 2 且k≠士1， 2 ()当k=时，上述方程为32-x-3=0. 4 设A(xy)小B(xy2),则+5=兰 =4,12分 且=2+1,为=2+1： 所以： om丽+w=-行-+小月5*+-1(4+分 ”23 +1、10 3 所以0A.0B=-10 ..........…..,,..,.。15分 18.解：(1)证明：因为AABB与BB,CC都是边长为1的正方形， 所以BB⊥AB,B,B⊥BC,又∠ABC=90°，得BA、BB、BC两两垂直， 故以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，1分 设AE=BF=B,G=m,0≤m≤1， 则A(1,1,0),F(0,0,m,C(0,1,1),G(0,1-m,0),E(1-m,0,0), 所以AF=(←1，-1，m),CG=(0,-m,-1),5分 所以AF.CG=(-)×0+(-1)×(-m)+m×(-)=0+m-m=0, 故AF⊥CG,则AF⊥CG......….. 7分 (2)由(1)知，E1-m,0,0),所以EG=(m-1,1-m,0), 设n,=(x,y,z)是平面EC,G的一个法向量， 所以 ”EG=0,即xm-+y-0-m+0元0 n1·CG=0 (X0+y(m）+2(←)=0’9分 取y=-1,得z=m,x=-1, 所以平面EC,G的一个法向量为n,=(-1,-1,m), 又平面AA,B,B的一个法向量为m,=(0,0,1), 11分 因为平面ECG与平面AAB,B的夹角的余弦值 4 高二数学学科答案第3页（共5页） 所以cosm,n= m川_l-)0+(←)0+m11 mn V2+m2×1 .15分 解得m= V30 故BF=V30 17分 15 15 19.解：（①）由椭圆方程+号=1得a=2,b=5,故c=V后-5-1， 43 令椭圆的左焦点为F(-1,0), 由椭圆的第一定义得|PE|+|PF上2a=4,即PF=4-|PE, 所以|PQ-|PFHPO-(4-|P℉D=PQ+|PE-4,......3分 连接QE, 在△QPE中，由三角形两边之和大于第三边得：IPQ|+PFOF|, 当且仅当F、P、Q三点共线，且P在线段FQ上时取等号， 圆E的半径为r=1,圆心E(3,2), 点Q在圆E上，由点与圆的位置关系：IQF白EF|-r=EF|-1, 当且仅当Q在线段EF上时取等号，其中|EF卡√(3-（←1）2+(2-02=V16+4=25 综合上述两步： IPOI-IPFPQ+PFI-4F1-4EF1-1-4=2V5-5, 所以川Pg-PF|的最小值为25-5.… 。5个 (2)(1)连接BM,根据椭圆的第三定义可知kaM·k=- b23 4 7分 设过定点F(L,0)的直线MN:x=my+1, x=y+1 则 ￡+y=1'得3m+4y+6m-9=0, 43 -6m -9 由韦达定理得m+%F3+4'w3m+4 .9分 人M·k3=,-0 y》w-0 yM·yN 9 myy +1-2 myw +1-2 m2yuyy -m(ya+yx)+1 4' 则=kk-1 11分 k,kBM·k23 由0得之，则+2 ,得x=4, 13分 y=k2(x-2) 高二数学学科答案第4页（共5页） 根据（①）中韦达定理得yu+yw=3m2+4' -6m 由x=m+1得w+w=mw+w)+2=,8 4+3m2’ ………….15分 所以△TMN的重心G的横坐标为无。=++x=4 + 8 3 4+3m2 因为4+3m2∈[4，+0)， ……………17分 高二数学学科答案第5页（共5页）