浙江省宁波市北仑中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学（1班）试题

北仑中学2025学年第一学期高二年级期中考试数学试卷 （1班使用） 命题：王加白 审题：顾益军 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（     ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 2．在的展开式中，含项的系数是（     ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 3．某学校举办足球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支较强的球队被分在不同组的概率为（     ） A． B． C． D． 4．某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（     ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 5．如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右 四个方向自由移动，每次移动一个单位. 现机器狗从点 出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右 移动了2次的概率为（     ） A． B． C． D． 6．若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目. 已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格倒扣2分，且各项目是否合格相互独立. 设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（     ） A． B． C． D． 8．已知，分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9．已知，则（     ） A． B． C． D． 10．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球. 先从甲箱中取出2个球放入乙箱，再从乙箱中取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（     ） A． B． C． D． 11．函数的定义域为，若对任意，，都有，则称为“加成函数”. 下列判断正确的是（     ） A．是“加成函数” B．若是“加成函数”，则也是“加成函数” C．是“加成函数” D．若不是“加成函数”，则也不是“加成函数” 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．若直线与函数的图象相切，则 . 13．某项实验的随机误差为实验次数. 要求的概率低于，则至少需做 次实验. （注：若，则在该实验的误差估计中可认为） 14．如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 .    四、解答题(本大题共5小题，共77分) 15．（本小题13分）已知函数. (1) 若，求在区间上的最大值； (2) 讨论的单调性. 16．（本小题15分）已知的展开式中有一项是. (1) 求的值； (2) 问展开式中二项式系数最大的项是第几项？ (3) 问展开式中系数最大的项是第几项？ 17．（本小题15分）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是. (1) 现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2) 若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率. 18．（本小题17分）已知函数无零点，且有两个不同的极值点. (1) 求a的取值范围； (2) 求的取值范围. 19．（本小题17分）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷. (1) 若第1次从小明开始，设前4次游戏中小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望； (2) 若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C A C C D BC ACD 题号 11 答案 BC 1．B 【详解】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布， 故，所以，，， 对于A，因为，故A不正确； 对于B，因为．故B正确； 对于C，因为.故C不正确； 对于D，因为，故D不正确. 故选：B． 2．C 【详解】因为的展开通项为， 所以的展开式中含项的系数分别为 、、，其系数和为， 则，其中，，，依次类推， 得出. 故选：C. 3．C 【详解】由题意可知，两支较强的球队被分在不同组的分法有种，所有的分法有种， 结合古典概型概率计算公式可得所求概率为. 故选:C. 4．C 【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法，减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空，有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 5．A 【详解】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”， 每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：， 设上、下单位数分别为，左、右单位数分别为 因运动4次后仍回到点，所以上下步数相等且左右步数相等， 记，，则，即. 若即则路径数有6种； 若即则路径数有24种； 若即则路径数有6种； 所以. 事件“向右移动2次且回到点” 要使向右移动2次且回到点，则且， 又，所以，路径数有6种； . . 故选：A. 6．C 【详解】， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 7．C 【详解】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则， 所以当时，取得最大值. 故选：C 8．D 【详解】因为，分别为上的偶函数和奇函数，且①， 所以，即②， 联立①②，解得，， 所以不等式，可化为， 因为，所以， 设，则，故， 因为，，所以， 故在上是增函数，则， 又在上是增函数，所以，则， 所以，所以正实数a的取值范围是. 故选：D 9．BC 【详解】因为，故A错误； 令，得，故 B正确； 令得①， 令得②. ①②得：；①②得. 所以，故C正确； 设， 则. 再令得，故D错误. 故选：BC 10．ACD 【详解】，故A正确； ，，，故B不正确； ， 故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 11．BC 【详解】由，得， 若为加成函数，则函数为上的增函数. 设，，则，所以不是增函数，A错误； 若是加成函数，则是增函数，则也是增函数， 所以是加成函数，B正确； 设，，则， 因为，，所以， 又，所以，则，则为增函数， 所以是加成函数，C正确； 取，则，所以不是加成函数， 但，则是加成函数，D错误. 故选：BC 12．1 【详解】由，可得， 直线与函数的图象相切，设切点为， 则，即； 而点既在直线，又在函数上， 故，，即得， 故，则，则，故答案为：1 13． 【详解】由题可得，即， 而，所以． 又因为，所以，所以，即， 解得，故至少需做次实验．故答案为： 14．/ 【详解】先计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数. 第一步：停红色汽车，第一辆红色汽车在第一行选一个位置有四个位置可选，第二辆红色汽车在第二行有三个位置可选，由于两辆红色汽车可以互换，故有种； 第二步：停黑色汽车，分成两种情况：若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车同列，则另一辆黑色汽车有3种停法，若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车不同列有2种停法，此时另一辆黑色汽车有2种停法，由于两辆黑色汽车可以互换，故有种. 因此，相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数共有24×14种，8个车位停入4辆车的试验共有种情况，所以相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为. 故答案为： 15．（1）当时，，求导得， 因，当或时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值为，又， 故在区间上的最大值为6. （2）因，令或， 则当，即时，，即在上单调递增； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减. 16．（1）的展开式的通项． 由题意，解得，，，故的值是11． （2）由二项式系数的性质知， 的展开式中二项式系数最大的项是第6项与第7项． （3）的展开式的第项的系数，其中． 当时，． 因此，当时，，即；当时，，即． 所以，，所以最大. 故的展开式的第7项的系数最大. 17．（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，以表示事件取到的产品为次品，则，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，该件产品是乙厂生产的概率为 . 18．（1）令，得，由于无零点，得； 又由题意可得，有两个不同的极值点,等价于的判别式，得，故a的取值范围为． （2）易知，．不妨设，． 则 ， 设函数，， 得在上恒成立，故单调递增， 又，，故的取值范围为. 19．（1）投掷两颗骰子共有36个样本点，和为4的倍数的样本点有： ，共9个样本点. 所以一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为. 依题意，X可取0，1，2，3， ，， ，. 0 1 2 3 . （2）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： ①第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为； ②第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为. ①②情形互斥，∴，∴. 因为，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列. ∴，∴. 答案第6页，共8页 答案第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北仑中学2025学年第一学期高二年级期中考试数学试卷 （1班使用） 命题： 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（     ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 2．在的展开式中，含项的系数是（     ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 3．某学校举办足球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支较强的球队被分在不同组的概率为（     ） A． B． C． D． 4．某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（     ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 5．如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右 四个方向自由移动，每次移动一个单位. 现机器狗从点 出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右 移动了2次的概率为（     ） A． B． C． D． 6．若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目. 已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格倒扣2分，且各项目是否合格相互独立. 设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（     ） A． B． C． D． 8．已知，分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9．已知，则（     ） A． B． C． D． 10．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球. 先从甲箱中取出2个球放入乙箱，再从乙箱中取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（     ） A． B． C． D． 11．函数的定义域为，若对任意，，都有，则称为“加成函数”. 下列判断正确的是（     ） A．是“加成函数” B．若是“加成函数”，则也是“加成函数” C．是“加成函数” D．若不是“加成函数”，则也不是“加成函数” 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．若直线与函数的图象相切，则 . 13．某项实验的随机误差为实验次数. 要求的概率低于，则至少需做 次实验. （注：若，则在该实验的误差估计中可认为） 14．如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 .    四、解答题(本大题共5小题，共77分) 15．（本小题13分）已知函数. (1) 若，求在区间上的最大值； (2) 讨论的单调性. 16．（本小题15分）已知的展开式中有一项是. (1) 求的值； (2) 问展开式中二项式系数最大的项是第几项？ (3) 问展开式中系数最大的项是第几项？ 17．（本小题15分）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是. (1) 现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2) 若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率. 18．（本小题17分）已知函数无零点，且有两个不同的极值点. (1) 求a的取值范围； (2) 求的取值范围. 19．（本小题17分）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷. (1) 若第1次从小明开始，设前4次游戏中小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望； (2) 若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率. 答案第6页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $