上海市风华初级中学2026-2027学年九年级上学期数学期中考试卷

(满分150分，时间100分钟) 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共23题； 2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效； 3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计 算的主要步骤。 一、选择题：（本大题共5题，每题4分，满分20分) 1.下列函数中，一定是二次函数的是 (A)y=(x+1)(x-1): (B)y= 1 x2 (C)y=ax2(a为常数)；(D)y=(x-2)2-x2」 2.关于抛物线y=(x-2)2+1,，下列说法错误的是 (A)开口向上； (B)顶点坐标是（2,1)： (C)与y轴交于点(0,1)： (D)当x>2时，函数值y随x的增大而增大。 3.如图，已知：1∥2∥3， ,下列结论中正确的是 DF 2 (A)AB 2 (B) CE 2 B=3 8C=3 (C)4D 3 CE=2 (D) CD 1 EF-2 4.如图，已知在△ABC中，CD是在边AB上的高，再添加一个条件，仍不能判定△CDB与△ADC 相似的是 （A)∠ACB=90°；(B)CD2=ADDB:(C)BC=BD BC BD AC CD (D) AC BC 5.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的部分图像如图所示，对称轴为直线x=1,与x轴的 一个交点为(-1,0)，给出下列结论：①abc>0:②b2-4ac>0:③3a+c=0:④如果关于x的 方程ax2+bx+c=-1有两个实数根x1,2,且满足x1<2,那么x1>-l,x2<3.其中正确的结论 是 (A)①②； (B)①③： (c)②③： (D)②④ D 第3题图 第4题图 第5题图 笪1而、而 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分） 6.如果点A(2,b)在抛物线y=2x2+x+1上，那么b=▲ 7.如果.一次函数y=(化-1)x2+3x的图像有最低点，那么实数k的取值范围是▲ 8.如果二次函数y=2x2-8x+3化为y=a(x+m)2+k的形式，那么k的值是 9.如果抛物线y=x2-4x+m与x轴无交点，那么m的值可以是_▲·（写出一个即可） 10,如图，已知在△ABC中，DE∥BC,DE与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,如果4E4 AB=1O,那么AD的长为▲cm. 11.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O.如果△AOD的面积 为4，△AOB的面积为6，那么△BOC的面积为A一· 12.二次函数y=ax2+bx+c中（a、b、c为常数，a0)图像上部分点的坐标如下表所示： -2 0 2 -3 -4 -3 q 则p与g的大小关系是p△g(填“>”“=”或“<”). I3.如图，已知：AB⊥CD,ED⊥BD,点C是线段BD的中点，且ACLCE,AB=BD=4,那么 DE=A D C B 第10题图 第11题图 第13题图 14.在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片.如图，现在有一个三角形纸片 △ABC,已知∠ACB=90°，AC=40cm,BC=30cm.裁剪出的正方形的四个顶点必须在△ABC 的边上，那么正方形的边长是▲cm. 15,如图，已知在△ABC屮，AB=AC,点D、E在边BC上，且∠DAE=∠B.如果CacD=4 CABEA 那么肥的值为△ CD C B 第14题图 D 第15题图 第2页共5页 .定义：连接抛物线上任恋两点的线段叫做抛物线的弦.如果抛物线的一条弦AB与抛物 线的对称轴垂直，垂足为点C抛物线的顶，点为，点D,当AB=5CD时，弦AB的长称为这条 抛物线的特征值.我们知道平移不改变抛物线的特征值，请写出抛物线y=3x2-2x+1的特征值 三、解答题：（本大题共7题，满分86分） 17.(本题满分10分) 已知线段a、b,满足只= 3=2 (1)求a-b的值： atb (2)若2a+3b=24且线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长. 18.(本题满分10分) “已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0,-3)、B（-3,0)、题，求这个二 次函数的表达式.”上述题目中的黑色部分由于被墨水污染而无法辨认，因此导致题月缺少了一 个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为y=x2+2x-3. (1)请根据已有的信息添加一个缺失的条件：4； (2)已知抛物线的顶点为点D,求△ABD的面积， 19.(本题满分12分) 如图，在平面直角坐标系xOy巾，四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(-2,-3)、 B(-4,0)、C(-3,1)、D(0,-1),四边形A1B1CD1与四边形ABCD是关于原点位似的四 边形，且位似比为-2 (1)画出四边形A1B1CD1,并直接写出四边形A1B1C1D1 各顶点的坐标： A1的坐标为▲；B1的坐标为▲ C的坐标为▲·D1的坐标为△ (2)四边形ABCD与四边形A1B1CD的相似比是 ▲； 3结合位似概念，并运用所学知识证明：BC∥B1C. 第19题图 第3页共5页 20,(本题满分12分) 有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米.拱桥的 截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点O是桥拱截线与正常水位的 水面截线相交处的一点，x轴在水面截线上：AB是警戒线，拱顶到AB的距离是1.3米. (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式： y/米 (2)为迎接元旦，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的 灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度以及灯笼的宽度）.灯 笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼 悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于 A 500066 B 5米 AB.如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米， 此时最多可悬挂多少个灯笼？ ● 20米 x/米 第20题图 21.(本题满分14分) 如图，已知：在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC, BE与AD、AC分别交于F、G,且AF2=FG·FE. (1)求证：△CAD∽△CBG; (2)连接DG,求证：DGAE=AB·AG. R D 第21题图 22.（本题满分14分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-2,0)、B（4,0)两点， 与y轴交于点C,顶点为点M. (1)求该抛物线的表达式及顶点M的坐标： (2)如果点P是抛物线上的一个动点，且在线段BC的上方 (点P不与点B、C重合)，过点P作PO⊥x轴，交直线BC 于点2.设点P的横坐标为m,求线段P2的长（用含m的 代数式表示)，并求P2的最大值： (3)如果点P是抛物线上且在x轴上方的一个动点，过点P 作PD⊥x轴，垂足为点D.是否存在点P,使得以P、D、B 0 为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出所有符合条件 的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 第22题图 第4页共5页 23.(本题满分14分) 操作：“折出一条线段的一个黄金分割，点.” 分析：我们需要在线段MN上找一个黄金分割点P(设MP>NP),可依据2=P计算 MP MN 得出4Ps反之·通过R-一可推得空- MN ,从而可得P是MW的一个黄金分 MN 2 MPMN 割点 探究1：如图1，已知矩形纸片ABCD,AB=1,BC=2,请折出BC的一个黄金分割点. 过程1： ①沿对角线BD折叠，得到折痕BD: ②折叠纸片使边CD落在折痕BD上，点C落在点E处，折痕为DF: ③折叠纸片使BE落在边BC上，点E落在点G处，折痕为BH. 于是，点G就是BC的一个黄金分割点. 请你按照上述过程操作，在图1中画出图形，用虚线表示折痕，并判断得到的点G是不是 BC的一个黄金分割点？请说明你的理由， D B 第23题图1 探究2：如图2，己知正方形纸片ABCD,AB=2,请折出对角线BD的一个黄金分割点Q. (1)在图2中画出图形，用虚线表示折痕，用字母表示所需的点，写出必要的操作步骤。 (2)证明：点Q是对角线BD的一个黄金分割点. B 第23题图2