精品解析：上海市静安区扬波中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年上海市静安区扬波中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质进行判断即可． 【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意； C、由，得，故本选项正确，符合题意； D、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单． 2. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似多边形的判定，菱形，矩形和等边三角形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形，据此求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形，故D符合题意． ∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故A，B，C不符合题意； 故选：D． 3. 将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移方法即可进行求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 4. 下列判断错误的是（　　） A. 0• B. 如果+=2，-=3，其中，那么∥ C. 设为单位向量，那么||=1 D. 如果||=2||，那么=2或=-2 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】A、0•，故本选项不符合题意． B、由+=2，-=3得到：＝，＝﹣，故两向量方向相反，∥，故本选项不符合题意． C、为单位向量，那么||=1，故本选项不符合题意． D、由||=2||只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大． 5. 四边形中，点在边上，的延长线交的延长线于点，下列式子中能判断的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质、平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A．，结合不能证明，不能推出，因此不能判断，不合题意； B．，结合，可证，可得，可以判断，不能判断，不合题意； C．，结合，不能证明，不能判断，也不能判断，不合题意； D．，结合可证，推出，能够判断，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 6. 如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．根据直角三角形的定义和相似三角形的判定方法判断即可． 【详解】A． 因为 ，，所以，即为直角三角形，故A正确． B． 因为，而且，所以，那么，因为，所以，即为直角三角形，故B正确． C．因为，而且，所以，那么，因为，所以，即为直角三角形，故C正确． D．因为，而且，所以，因为，所以两三角形全等，只能说明为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D错误． 故选：D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知线段，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝________________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题的关键． 根据比例中项的定义，线段是和的比例中项时，满足，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵线段是、的比例中项， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为． 8. 已知P是线段上一点，，且满足，则是 ____________________ 厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． 设的长度为x厘米，则的长度为厘米，根据条件列出方程求到x的值，再求即可． 【详解】解：设厘米，则厘米． 由条件，得． 方程两边同时乘以，得． 整理得． ， 所以． 由于x为长度，取正根，即． 所以厘米． 故答案为：． 9. 已知，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的函数的代入求值，掌握函数的代入求值的计算方法是解题的关键． 10. 如果抛物线的开口方向向下，那么a的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可进行求解． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则有； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 11. 抛物线的对称轴是_____． 【答案】直线 【解析】 【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 故答案为：直线． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式． 12. 抛物线与轴的交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．求出时y的值即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 13. 已知点在二次函数的图象上，那么_______（填“”、“”、“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， 点在二次函数的图象上，， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，已知线段经过三角形的重心，，四边形的面积为，那么的面积为_____． 【答案】27 【解析】 【分析】连接并延长交于，由为的重心，可得，而，有，，故，设，有，即可解得答案． 【详解】解：连接并延长交于，如图： 为的重心， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， 故答案为：27． 【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质． 15. 已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在轴左侧的部分，图像上升，在轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设出符合条件的函数解析式，再根据二次函数的图象在轴左侧部分是上升的，在轴右侧部分是下降的可知该函数图象的开口向下，对称轴为轴，即，，再把代入，得出符合条件的函数解析式即可． 【详解】解：设出符合条件的函数解析式为：， ∵二次函数的图象在轴左侧部分是上升的，在轴右侧部分是下降的， ∴该函数图象的开口向下，对称轴为轴，即，， ∵函数图象经过， ∴， ∴符合条件的二次函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，先根据题意设出函数解析式，再根据二次函数的性质判断出的符号及对称轴是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一． 16. 当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先把原抛物线的解析式写成顶点式，得到顶点坐标，根据对称的关系得到新抛物线的顶点坐标，从而得到新抛物线的解析式． 【详解】解：， ∴顶点坐标是， 点关于直线对称的点是， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点式． 17. 定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，把所给的两个二次函数转化成旋转函数即可． 【详解】 ∴ ∴解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是学生对二次函数解析式的变形能力，解题的关键是根据题意去变换形式，细心谨慎． 18. 在中，，是边上的中线（如图）．将绕着点C逆时针旋转，使点A落在线段上的点E处，点B落在点F处，边与边交于点G，那么的长是 ____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识点，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 先证，由锐角三角函数可求的长，由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，通过证明可得，可求的长，通过证明，由相似三角形的性质可求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于H，过点D作于N， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将绕着点C逆时针旋转， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算求解． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 20. 如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，点E为边AD的中点，CE交BD于点G． （1）求 的值； （2）如果设，，试用、 表示． 【答案】(1) .(2) 【解析】 【分析】(1)根据ABCD是平行四边形，可以求出，再根据点E为边AD的中点即可求解； (2)先将 用、 即可求解. 【详解】解：（1）∵□ABCD，∴BO＝OD，AD//BC，AD＝BC. ∴. ∵点E为边AD的中点，∴.∴. ∵BO＝OD，∴. （2）∵，，∴. ∵BO＝OD，，∴. ∴. 【点睛】本题考查的是平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键. 21. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB． （1）求证：DE∥BC； （2）如果S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值． 【答案】 （1）证明：∵AE2＝AD•AB， ∴， 又∵∠EAD＝∠BAE， ∴△AED∽△ABE， ∴∠AED＝∠ABE， ∵∠ABE＝∠ACB， ∴∠AED＝∠ACB， ∴DE∥BC； （2）S△ADE：S△BDE=1：2. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到，根据相似三角形的性质得到∠AED＝∠ABE，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，由已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套 （1）该超市定制了这款垃圾桶多少套？ （2）超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 【答案】（1）该超市定制这款垃圾桶套 （2）售价下降元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大 【解析】 【分析】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套，根据题意，列出方程，即可； （2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元，根据题意，列出方程，解出方程，即可． 【小问1详解】 设该超市定制了这款垃圾桶套， ∵， ∴， ∴， 解得：， 答：该超市定制了这款垃圾桶套． 【小问2详解】 设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元， ∴， ， ∵且， ∴当时，有最大值， 答：售价下降元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大． 【点睛】本题考查一元一次方程和二次函数的知识，解题的关键是掌握一元一次方程和二次函数的运用，根据题意，列出等式． 23. 已知：如图，四边形、都是平行四边形，是边的中点，联结并延长，分别交、于点、． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ，， 是边的中点， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ，， ； （2） ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，则，，再证明，利用相似比得到，同理方法证明，则，所以，然后利用，可得到结论； （2）先利用得到，，则，加上，则可判断，所以，然后利用平行线的性质得到，从而得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质． 24. 如图，在直角坐标平面中，对称轴为直线的抛物线经过点、点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点的坐标； （2）联结，求； （3）过作轴的垂线与交于点是直线上一点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】（1），顶点的坐标为； （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）由对称轴为直线的抛物线经过点，可列方程组，解方程组后即可得到函数解析式，化成顶点式求出定点坐标即可； （2）求出点M和点B的坐标，作轴于点N，利用梯形面积减去两个直角三角形面积即可； （3）过点M作轴于点E，设直线交x轴于点C，先求出各边的长度，证明，分两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得到， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 当时，， ∴点， 当时，， ∴， 如图，联结，作轴于点N， 则， 则， 即； 【小问3详解】 过点M作轴于点E，设直线交x轴于点C， 由题意可知 则， ∴，， ， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴, 当时，则，如图1， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当，， ∴， ， ∴， 解得， ∴Q点的纵坐标为， ∴点； 当当时，则，如图2， ∴， 解得， ∴Q点的纵坐标为， ∴点； 综上，点的坐标为或 【点睛】此题考查了相似三角形的性质、待定系数法、勾股定理及其逆定理、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键 25. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证． 独立思考： （1）请解答王老师提出的问题． 实践探究： （2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．” 问题解决： （3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．” 【答案】（1） 而 （2） 理由如下： 如图，在BC上截取  ， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可得答案； （2）如图，在BC上截取 证明 再证明 证明 可得 从而可得结论； （3）如图，在BC上截取 同理可得： 利用勾股定理先求解 证明 可得 可得 证明 可得 而 可得 再利用勾股定理求解BE，即可得到答案． 【详解】证明：（1） 略 （2） 略 （3）如图，在BC上截取 同理可得： 而 而 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市静安区扬波中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个等边三角形 3. 将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 4. 下列判断错误的是（　　） A. 0• B. 如果+=2，-=3，其中，那么∥ C. 设为单位向量，那么||=1 D. 如果||=2||，那么=2或=-2 5. 四边形中，点在边上，的延长线交的延长线于点，下列式子中能判断的式子是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知线段，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝________________． 8. 已知P是线段上一点，，且满足，则是 ____________________ 厘米． 9. 已知，那么的值为___________． 10. 如果抛物线的开口方向向下，那么a的取值范围是 _____． 11. 抛物线的对称轴是_____． 12. 抛物线与轴的交点坐标是______． 13. 已知点在二次函数的图象上，那么_______（填“”、“”、“”）． 14. 如图，在中，已知线段经过三角形的重心，，四边形的面积为，那么的面积为_____． 15. 已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在轴左侧的部分，图像上升，在轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______． 16. 当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为_______________________． 17. 定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标_________． 18. 在中，，是边上的中线（如图）．将绕着点C逆时针旋转，使点A落在线段上的点E处，点B落在点F处，边与边交于点G，那么的长是 ____________________ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，点E为边AD的中点，CE交BD于点G． （1）求 的值； （2）如果设，，试用、 表示． 21. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB． （1）求证：DE∥BC； （2）如果S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值． 22. 垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套 （1）该超市定制了这款垃圾桶多少套？ （2）超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 23. 已知：如图，四边形、都是平行四边形，是边的中点，联结并延长，分别交、于点、． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：． 24. 如图，在直角坐标平面中，对称轴为直线的抛物线经过点、点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点的坐标； （2）联结，求； （3）过作轴的垂线与交于点是直线上一点，当与相似时，求点的坐标． 25. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证． 独立思考： （1）请解答王老师提出的问题． 实践探究： （2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．” 问题解决： （3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $