精品解析：广西柳州市三江中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆方程 的圆心为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为圆的一般方程的圆心为 ， 所以圆的圆心为 因为圆方程 的圆心为 ， 所以，解得， 此时圆，满足， 所以，. 2. 若直线与平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线与平行， 所以， 所以，经检验时，两直线平行符合要求. 3. 已知 为抛物线的焦点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线的焦点为， 又已知焦点， 则. 4. 已知抛物线 ，过焦点 的直线交抛物线于 ，线段 中点横坐标为 ，则弦长 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为抛物线，则，即，其焦点为. 设，， 因为线段的中点的横坐标为，所以. 根据抛物线过焦点的弦长公式，可得弦长， 所以. 5. 已知双曲线 实轴长为4，两条渐近线夹角 ，双曲线焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】实轴长为4，则，双曲线渐近线：， 题目条件，渐近线倾斜角小于.两条渐近线夹角 ， 由上述分析可知靠近轴的夹角为，单侧和轴的夹角为， ，，焦距. 6. 已知椭圆 ，左右焦点 ，点在椭圆上， 斜率分别为和，椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意有且，中由勾股定理，得的齐次式可求离心率的大小. 【详解】 因为直线,的斜率之积为，所以，， 由直线的斜率为3，可知，所以， 因为，所以，， 因为，所以，即， 所以，所以. 7. 已知双曲线，左、右焦点分别是，过原点的直线交双曲线左、右两支于；点在双曲线上，，以为直径的圆过，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得四边形为矩形，设，用表示等线段，在直角和直角中，列方程求解即可. 【详解】 由题意得，，所以是平行四边形， 又为圆的一条直径，所以，所以四边形为矩形，， 设，则， 在直角中，有① 又，所以，，， 在直角中，有，整理得，因为，所以， 将代入①，得，整理得， 所以. 8. 已知点，轴于，是线段上任意一点，轴于，于，交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出点的坐标，确定点的运动轨迹方程.利用抛物线的定义，将转化为点到焦点的距离与一个常数之差，从而将转化为线段和的形式，结合两点之间线段最短求解. 【详解】 由点且轴于，得. 易知线段的方程为(). 设()，则，. 直线的方程为. 点是与的交点，其横坐标为，代入得. 故点的轨迹方程为，即(). 焦点为，准线方程为. 由抛物线定义知，点到准线的距离，而，故. 于是. 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为. 由，得. 因此的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆 ，圆 ，下列说法正确的是（ ） A. 当 时，圆 与 轴相切 B. 当 时，圆 与圆 内切 C. 过点 的直线被圆 截得最短弦长 D. 当 时，两圆交点 ，公共弦 方程： 【答案】C 【解析】 【详解】A选项：当时，圆：， 即，圆心，半径为， 由于圆心到轴的距离为，因此不是相切. B选项：当时可以转化为， 圆：圆心，半径为；圆：圆心，半径为， 两圆心间距离为，因此不是内切. C选项：点到圆心的距离为，即点在圆内， 当直线与垂直时弦长最短，半弦长为，则弦长为. D选项：当时，圆：， 公共弦方程为两圆方程相减，即. 10. 已知椭圆，左、右焦点分别为，右顶点，焦距为；过斜率不为的直线交椭圆于，点关于轴对称点为，说法错误的是（ ） A. 的周长为 B. 若，则直线斜率之积为 C. 椭圆上存在点使，则 D. 椭圆上存在点使得内切圆半径为，离心率范围 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义判断三角形周长可判断A选项；设点坐标，结合椭圆方程化简斜率乘积进行判断B选项；利用余弦定理结合基本不等式判断C选项；借助内切圆半径公式建立等式，利用列出不等式求解离心率范围可得D选项. 【详解】对于A，根据椭圆的定义，得，. 因为直线过左焦点，故. 于是的周长为，故A正确； 对于B，设，由是关于轴的对称点，得，右顶点. 直线、的斜率分别为，，故. 由在椭圆上，，整理得，代入上式得. 若，所以，故B错误； 对于C，设，则，若， . 即，整理得，因为，所以，即，所以，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为，的面积为，的周长为，由，得内切圆的半径为. 因为，所以. ，. 代入，得. 由，得，即，，结合，得，结合，得，故D错误. 11. 棱长为3的正方体，点在线段上，点是底面内动点，说法正确的是（） A. 不与重合时，平面平面 B. 三棱锥体积定值 C. 点到直线距离等于到直线距离，则的轨迹是抛物线的一部分 D. 若，过的截面面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量法可得到平面，进而可得到平面平面，可以判断选项A；平面，点在线段上，故到平面的距离为定值；底面面积固定，可知三棱锥 体积为定值，判断选项B；设出点坐标，根据题意求出点的轨迹方程，然后判断选项C；先找出过，，三点的平面截正方体所得截面，然后判断截面形状并求出面积判断选项D. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则， 对于A，， ，，，， 又平面且， 平面，而平面，平面平面，A选项正确. 对于B，，，所以，又平面，平面，所以平面， 点在线段上，故到平面的距离为定值；底面面积固定，由三棱锥体积公式，可知三棱锥 体积为定值，B选项正确. 对于C，设，则点到的距离为，，， 点到直线的距离为，根据题意可得，，整理得，故点的轨迹为抛物线（在正方形内或边界上），C选项正确. 对于D，若，则是的中点，过的截面为矩形，， 截面面积，D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆过原点和点，圆心在直线上，则圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】设圆的标准方程为，其中圆心为，半径为， 圆经过点，代入圆的方程得： ① 圆经过点，代入圆的方程得： ② 圆心在直线上，代入直线方程得： ③ 将①-②消去，展开并化简： ④ 联立方程③和④，得到二元一次方程组： ， 解得，，即圆心的坐标为， 将，，代入①式，计算半径的平方： 因此，所求圆的标准方程为. 13. 抛物线，焦点，点在抛物线上，垂直准线，垂足，直线. ，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得在直线上，进而求得，再结合题意得， ，再根据垂直准线得，代入抛物线方程求得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】知抛物线的焦点，准线方程为， 因为直线，在直线上， 所以，解得，即，准线方程为， 所以点横坐标为，代入直线得， 所以，代入抛物线方程得，即， 所以 14. 双曲线，左焦点，过的直线交轴于，交双曲线于，满足，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用可知点是的中点，且点为的中点，结合双曲线方程与离心率的定义，可得关于离心率的方程，求解该方程即可得到离心率的值. 【详解】如图，取该双曲线的右焦点为，不妨设在第一象限，连接， 因为，则点是的中点，且点为的中点， 又因点为的中点，则为的中位线，又，则， 将代入，可得，即， 故，因点为的中点，则得， 又因点在双曲线上，则， 结合，化简得，解得， 故的离心率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，写出文字说明、证明或演算步骤 15. 在中，，， （1）求 ； （2）点在上，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理先求得，再结合正弦定理即可求解； （2）通过和面积即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理可得 由正弦定理得， 即. 【小问2详解】 ， ， ， 设， 故 ， 所以. 16. 已知，动点异于，直线 斜率乘积. （1）求动点的轨迹方程； （2）过的直线交曲线于另一点，，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设动点坐标，利用两条直线的斜率乘积建立方程，从而可得的轨迹方程. （2）设过定点的直线方程，与椭圆方程联立后结合弦长公式可求斜率. 【小问1详解】 设. 由直线的斜率均存在，得. 根据题意，， 整理得即. 【小问2详解】 因为过的直线交曲线于另一点，故直线的斜率存在，设. 由可得， 整理得， 故，且， 故，故. 由题意，，故， 故或（舍），故. 17. 水产养殖户捕捞一批鲤鱼，随机抽取条，质量分组：（单位：），频率分布直方图：组距，各组频率/组距依次： （1）求这条鲤鱼质量的中位数（保留一位小数）； （2）分层抽样从抽条，再任选条，求两条来自同一区间的概率； （3）鱼塘共条鱼，两种收购方案：方案①：全部元/千克收购；方案②：质量低于元/条；大于或等于元/条.如果你是养殖户，选哪个方案，说明理由.参考均值： 【答案】（1）； （2）； （3）选方案②，理由如下： 方案①：单条平均质量，总收入：元； 方案②：低于的频率， 大于或等于的频率， 总收入：元， 因为，所以选方案②收入更多. 【解析】 【分析】（1）利用累计频率确认中位数所在的组，再利用中位数计算公式即可； （2）利用分层抽样求得每组所抽取的个数，进而利用古典概型概率公式求解即可； （3）分别计算两个方案所得的收入情况可得结论. 【小问1详解】 累计频率：； ； ； ； 所以中位数落在内 中位数为； 【小问2详解】 频率为，频率为， 在这两组中抽条， 则在抽条，在抽条， 设在的鱼为，在的鱼为， 则总选法有 ，共种， 同区间选法有共种， 所以两条鱼来自同一区间的概率为. 【小问3详解】 略 18. 矩形所在平面与直角梯形平面垂直，，，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面和平面的夹角正切值为 ？存在求，不存在说明理由. 【答案】（1）因为，平面，平面， 所以平面. （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据线线平行得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值； （3）设，，表达出的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角余弦公式得到方程，求出，得到答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为矩形所在平面与直角梯形平面垂直，为交线，， 所以平面， 因为平面，所以， 又，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由于⊥，，，故， ， 则， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 所以， 设直线与平面所成角大小为， 则； 【小问3详解】 存在，，理由如下： 设，，，则， 由于，故， 故，故， ，则， 显然平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 故， 设平面和平面的夹角为，， 则，所以， 故， 故，化简得，解得， 又，所以， 故线段上存在点，使得平面和平面的夹角正切值为， . 19. 椭圆的中心在原点，左焦点，点在椭圆上 （1）求椭圆的方程； （2）直线交椭圆于，的斜率分别为，满足. （i）求； （ii）点 满足 ，求面积最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设出椭圆方程，根据焦点坐标和椭圆上的点求的值，可得椭圆的标准方程. （2）（i）联立方程，根据韦达定理写出结果，再结合，列方程求解； （ii）对向量条件化简，得到，设的中点为，根据韦达定理求出坐标，根据两直线垂直斜率的关系得到，的关系，再利用弦长公式和三角形面积公式表示出的面积，最后根据基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为， 由题意，得，解得. 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 （i）如图， 设， 联立，整理化简得， 所以， 由可得， 因为，所以，则 所以，解得， 又因为，所以. （ii）由（i）可知，所以直线方程为：， 设的中点为. 因为，所以， 即，所以， 即，即 所以， 又， 所以， 所以，则， 即. 又 ， 所以 由基本不等式可得. 所以， 当且仅当时，取等号，此时面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆方程 的圆心为 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若直线与平行，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知 为抛物线的焦点，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线 ，过焦点 的直线交抛物线于 ，线段 中点横坐标为 ，则弦长 （ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线 实轴长为4，两条渐近线夹角 ，双曲线焦距为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆 ，左右焦点 ，点在椭圆上， 斜率分别为和，椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，左、右焦点分别是，过原点的直线交双曲线左、右两支于；点在双曲线上，，以为直径的圆过，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，轴于，是线段上任意一点，轴于，于，交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆 ，圆 ，下列说法正确的是（ ） A. 当 时，圆 与 轴相切 B. 当 时，圆 与圆 内切 C. 过点 的直线被圆 截得最短弦长 D. 当 时，两圆交点 ，公共弦 方程： 10. 已知椭圆，左、右焦点分别为，右顶点，焦距为；过斜率不为的直线交椭圆于，点关于轴对称点为，说法错误的是（ ） A. 的周长为 B. 若，则直线斜率之积为 C. 椭圆上存在点使，则 D. 椭圆上存在点使得内切圆半径为，离心率范围 11. 棱长为3的正方体，点在线段上，点是底面内动点，说法正确的是（） A. 不与重合时，平面平面 B. 三棱锥体积定值 C. 点到直线距离等于到直线距离，则的轨迹是抛物线的一部分 D. 若，过的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆过原点和点，圆心在直线上，则圆的标准方程为______. 13. 抛物线，焦点，点在抛物线上，垂直准线，垂足，直线. ，则__________. 14. 双曲线，左焦点，过的直线交轴于，交双曲线于，满足，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，写出文字说明、证明或演算步骤 15. 在中，，， （1）求 ； （2）点在上，，求的面积. 16. 已知，动点异于，直线 斜率乘积. （1）求动点的轨迹方程； （2）过的直线交曲线于另一点，，求直线的斜率. 17. 水产养殖户捕捞一批鲤鱼，随机抽取条，质量分组：（单位：），频率分布直方图：组距，各组频率/组距依次： （1）求这条鲤鱼质量的中位数（保留一位小数）； （2）分层抽样从抽条，再任选条，求两条来自同一区间的概率； （3）鱼塘共条鱼，两种收购方案：方案①：全部元/千克收购；方案②：质量低于元/条；大于或等于元/条.如果你是养殖户，选哪个方案，说明理由.参考均值： 18. 矩形所在平面与直角梯形平面垂直，，，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面和平面的夹角正切值为 ？存在求，不存在说明理由. 19. 椭圆的中心在原点，左焦点，点在椭圆上 （1）求椭圆的方程； （2）直线交椭圆于，的斜率分别为，满足. （i）求； （ii）点 满足 ，求面积最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $