精品解析：广西壮族自治区柳州市柳州地区民族高级中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

柳州地区民族高级中学2026—2027学年秋季学期期中考试 高二数学试题 考试范围：必修一、必修二、选择性必修一第一章至第三章3.2 考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将化简整理成的标准形式即可求解. 【详解】 . 所以的虚部为. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得，因为，所以. 又，所以. 3. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，解得. 4. 若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（ ） A. 圆锥的母线长为1 B. 圆锥的底面半径为2 C. 圆锥的体积为 D. 圆锥的侧面积为 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，根据侧面展开图为一个半圆,得出半径与母线的关系，结合圆锥的表面积求出半径与母线，然后对选项进行逐一判断即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为， 由侧面展开图为一个半圆，则，所以， 圆锥的表面积为，则，， 圆锥的高， 圆锥的体积为， 圆锥的侧面积为， 故选：C 5. 已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 6. 过点引圆的切线，则切线的方程为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线与轴垂直时，直接验证即可；在切线斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径可得出关于的等式，即可解得的值，综合可得出所求切线的方程. 【详解】若切线与轴垂直，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，所求切线的方程为. 综上所述，所求切线方程为或. 故选：C. 7. 已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用点差法求解，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将交点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，从而得到直线斜率与中点坐标之间的关系. 【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有： 用式减去式可得： 因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得： ,即，. 代入可得： 化简得：，可得： 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为. 故选：B. 8. 设椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，表示出，根据列方程，用表示出，然后代入椭圆方程构造齐次式求解可得. 【详解】设，则，则， 因为，所以， 所以， 因为， 所以，得， 又在椭圆上，所以，即， 整理得，即， 解得或（舍去），所以. 故选：D 【点睛】关键点睛：根据在于利用向量关系找到点A坐标与c的关系，然后代入椭圆方程构造齐次式求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相切 D. 当时，直线平分圆 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A选项，变形为， 故圆的半径为，A正确； 对于B选项，可以看出直线恒过点，B正确； 对于C选项，当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，等于半径， 即当时，直线与圆只有个公共点，即直线与圆相切，C正确； 对于D选项，当时，直线的方程为， 由于圆心不在上，故直线不平分圆，D错误. 10. 设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. C. 面积的最大值为12 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由椭圆方程及离心率概念可得；对于B，由椭圆定义可判断；对于C、D，由椭圆图形的结构特征和性质可得. 【详解】对于A，由椭圆方程得，所以， 所以离心率为，故A对； 对于B，由椭圆定义可知，故B错； 对于C，由椭圆图形的结构特征及性质可知当P位于椭圆上顶点或下顶点时， 面积取得最大，最大值为，故C对； 对于D，由椭圆性质可知，所以的最小值为2，故D错. 故选：AC. 11. 如图，在长方体中，，，动点M在体对角线（含端点）上，则下列结论正确的是（ ） A. 当点M为的中点时，为钝角 B. 当点M为的中点时，四棱锥的外接球的表面积为 C. 存在点M，使得平面 D. 直线BM与平面所成角的最大正切值为 【答案】BC 【解析】 【分析】依题意建系，表示判断A；根据外接球半径求法求出，进而判断B；假设存在点，利用向量验证，判断C；根据线面角的向量求法判断D. 【详解】 建立如图所示空间直角坐标系，当点M为中点时，，，， ，，，为锐角，A错误； 设四棱锥的外接球半径为R，则，则， 四棱锥的外接球的表面积为，B正确； 设，，，，则， ，，，得， 存在点M，使得平面，C正确； 设平面的法向量为，直线BM与平面所成角的正切值最大， 则直线BM与平面所成角的正弦值最大即可，， 即，，故， 令，，则， 当时，， 当时，， 故最大正弦值，则最大正切值，D错误， 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简分母，再上下同时除以，用正切表示已知式子，即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知双曲线，，分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线上且，则的面积是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作答. 【详解】如图， 双曲线的实半轴长，半焦距，有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为. 故答案为： 14. 已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在通过某项检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期检查． （1）求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？ （2）若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，现从这6人中再随机抽取2人检查，求至少有1人合格的概率． 【答案】（1）甲3人，乙2人，丙1人；；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的等比例分配原则计算各部门需要抽取的人数，利用抽取的人数除以总人数即得每一位员工被抽到的概率； （2）用列举法计数，得到总的抽取方法数和至少有一人合格的抽取方法数，根据古典概型公式即得结论. 【详解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：1， 由于采用分层抽样的方法从中抽取6人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人． 该企业总共有名员工， 记事件：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等， 所以每一位员工被抽到的概率为． （2）记事件：“至少有1人合格” 记其中合格的2人的分别为，，不合格的4人的分别为，，，，则从6人的中随机抽取2人的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 其中至少有1人的合格的结果有：，，，，，，，，，共9种， 故至少有1人的合格的概率为． 16. 如图，在中，已知sin2A－sin A·sin C＝sin2(A＋C)－sin2C. （1）求的值； （2）若D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及余弦定理求出B＝，再利用两角和的余弦公式即可求解. （2）在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求解. 【详解】(1) 因为A＋B＋C＝π，sin2A－sin A·sin C＝sin2(A＋C)－sin2C， 所以由正弦定理可知BC2－BC·AB＝AC2－AB2， BC2＋AB2－AC2＝BC·AB， cos B＝＝. 因为在中，B∈(0，π)，所以B＝. 所以cos(B＋)＝cos Bcos－sin Bsin＝. (2) 由余弦定理可知，在中， ， 因为C∈(0，π)，所以sin C＞0，sin C＝＝＝. 由正弦定理可知，在中，＝， 所以＝，所以AB＝. 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 17. 已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点， （1）求圆C的方程； （2）设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，代入得到，圆与轴切于点，得到，从而得到圆心的坐标，利用圆心坐标和，使用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的标准方程； （2）设的坐标为，点的坐标为，利用中点坐标公式得到用表示的等式，用表示的等式，又是圆上的点，将代入圆的方程，得到的横纵坐标的等式就是所求. 【小问1详解】 设圆心坐标为， 圆的圆心在直线上且与轴切于点， ，解得， 圆心，半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 设点的坐标为，点的坐标为， 点，又点为的中点， ，， ，即点的坐标为， 在圆上运动， ， 即， 点的轨迹方程为. 18. 在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证:平面 ; （2）求二面角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在梯形中，，为的中点， 所以， 所以四边形为平行四边形， 因为线段与交于点，所以为线段的中点， 所以中， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）推导出，从而四边形为平行四边形，推导出，由此能证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值. （3）设，求得及平面的一个法向量的坐标，根据与平面所成角的余弦值列方程，求得，进而求得正确答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 平行四边形中，， 所以四边形是菱形，，垂足为， 所以， 因为平面，平面， 所以是二面角的平面角， 因为平面平面， 所以，即. 可以如图建立空间直角坐标系，其中， 因为在图1菱形中，， 所以， 则， ，， 设平面的一个法向量为， 则取，得， 平面的一个法向量为， 由图得二面角为锐角，设二面角为， 故， 【小问3详解】 假设线段上存在点使得与平面所成角的余弦值为，则与平面所成角的正弦值为. 设， 因为， 所以， 设平面的一个法向量为， 则取，得， ， 所以， 因为，所以， 故线段上存在点，且，使得与平面所成角的余弦值为. 19. 已知椭圆：的离心率为，长轴为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，求弦长； （3）点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3）证明如下： 由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为y=0，此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且，则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 【解析】 【分析】（1）根据离心率、长轴的长度和，求出的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）通过直线和椭圆联立方程组，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求解； （3）先根据题意判断出直线存在斜率，再按照斜率是否为0进行分类讨论，在斜率为0时，利用斜率公式求出，，计算的值；在斜率不为0时，先设直线，再将直线和椭圆联立方程组，消去，得，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系和斜率公式计算得解. 【小问1详解】 由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州地区民族高级中学2026—2027学年秋季学期期中考试 高二数学试题 考试范围：必修一、必修二、选择性必修一第一章至第三章3.2 考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（ ） A. 圆锥的母线长为1 B. 圆锥的底面半径为2 C. 圆锥的体积为 D. 圆锥的侧面积为 5. 已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 过点引圆的切线，则切线的方程为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相切 D. 当时，直线平分圆 10. 设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率 B. C. 面积的最大值为12 D. 的最小值为 11. 如图，在长方体中，，，动点M在体对角线（含端点）上，则下列结论正确的是（ ） A. 当点M为的中点时，为钝角 B. 当点M为的中点时，四棱锥的外接球的表面积为 C. 存在点M，使得平面 D. 直线BM与平面所成角的最大正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 13. 已知双曲线，，分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线上且，则的面积是_________. 14. 已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在通过某项检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期检查． （1）求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？ （2）若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，现从这6人中再随机抽取2人检查，求至少有1人合格的概率． 16. 如图，在中，已知sin2A－sin A·sin C＝sin2(A＋C)－sin2C. （1）求的值； （2）若D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长． 17. 已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点， （1）求圆C的方程； （2）设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 18. 在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证:平面 ; （2）求二面角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆：的离心率为，长轴为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，求弦长； （3）点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $