精品解析：广西柳州市柳城县中学2026-2027学年高二上学期11月期中检测数学试题

2026年秋季学期高二期中检测 数学 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义求解. 【详解】由题意得， 故选：D. 2. 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，再根据空间向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量. 又因为，所以， 则，解得. 故选：A. 3. 已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 11，3 B. 11，4 C. 10，1 D. 10，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质运算求解. 【详解】因的平均数为5，方差为1， 则数据，，，，的平均数为，方差是. 故答案为：B 4. 已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知直线的斜率，再结合斜率公式运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为，则，解得. 故选：C. 5. 已知，且是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式平方和为1，结合角所在象限求出即可. 【详解】因为，且是第二象限角， 所以， 故选：C. 6. 直线与圆相交于M、N两点，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知及向量模长的定义，应用几何法求直线与圆的相交弦长即可得. 【详解】由，一般式为， 由的圆心为，半径为2， 所以到的距离为， 综上，. 故选：D 7. 已知过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，点Q满足，点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，设出直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、向量的坐标运算以及点到直线的距离公式再进行求解即可． 【详解】易知直线l的斜率存在且不为零， 不妨设直线l的方程为，， 联立，消去x并整理得， 因为 由韦达定理得，，① 不妨设， 因为， 所以，② 因为， 所以，③ 联立②③可得， 整理得到即④ 又，⑤ 联立④⑤，可得， 所以的最小值即为点到直线的距离， 则最小距离， 当最小时，，解得，， 经检验，其满足， 所以的最小值为． 故选：C． 8. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点M，N分别在曲线和圆：上，则M，N两点间的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表示到两定点和的距离之和为，可得动点轨迹为椭圆：，两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径. 【详解】因为， 所以可以转化为到的距离， 同理，可以转化为到的距离， 因为， 所以到两定点和的距离之和为， 所以在以点和为焦点的椭圆上， 设椭圆的标准方程为：， 则，即，又，所以， 所以曲线，即椭圆的方程为：， 又因为圆的圆心为，半径为， 则M，N两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径， 点在，故， 所以圆心到椭圆上点的距离 ， 因为开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减，故，则， 所以M，N两点间的最大距离是． 二、多选题（共18分） 9. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 在复平面内对应的点在第一象限 B. 的虚部为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数除法运算求出，然后根据复数几何意义、虚部概念、复数模的公式和共轭复数概念逐一判断即可. 【详解】由得， 对于A，则在复平面内对应的点为，在第一象限，A正确； 对于B，的虚部为，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质比较大小，或作差比较大小即可得答案, 【详解】解：对于A选项，当时命题不成立，故错误； 对于B选项，由，得，故，故正确； 对于C选项，由于，，故，故正确； 对于D选项，由得，故，进而，故正确. 故选：BCD 11. 在长方体中，，，为的中点，点满足，则（ ） A. 若为的中点，则三棱锥体积为定值 B. 存在点使得 C. 当时，平面PBC截长方体所得截面的面积为 D. 若为长方体外接球上一点，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，证明面即可得证三棱锥体积为定值；对于B，假设，可证明，与题意矛盾，即可判断；对于C，作出平面截长方体所得截面为矩形，计算面积即可；对于D，建系将的最小值转化为，计算即可. 【详解】对于A：因为为的中点，为的中点， 所以，面，面， 所以面， 因为，所以， 所以到面的距离为定值，又为定值，所以体积为定值． 故A正确； 对于B：平面， 若，又， 且，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为四边形为正方形，所以与BE不垂直， 故不成立，B错误； 对于C：由题意，平面与平面重合，平面与平面重合， 所以延长会与有交点，设为， 因为，所以， 所以，即为的中点， 所以延长与交于点，取中点， 则平面截长方体所得截面为矩形， 因为， 所以，又， 所以截面面积为，故C正确； 对于D：长方体外接球球心为中点，半径为， 因为， 由阿氏球得，在直线上必存在一点，使得， 此时点在延长线上，且满足， 以为原点，建系如图， ，所以，则， 因为，所以．故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查体积为定值，需要确定高为定值，考查正方体的截面问题，和距离的最值问题，难度较大. 三、填空题（共15分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12. 已知直线：和：，若，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】若直线：与直线：垂直，则，代入数据计算即得. 【详解】直线：、：，且， ， 解得. 故答案为：. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，，则，， 所以向量在向量上投影向量是 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于点、，若的角平分线交于点，且，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】推导出，结合图象，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解. 【详解】如图所示，因为若的角平分线交于点，且， 则为的中点，且， 因为，即， 所以，，则， 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得，解得， 则，所以在中，， 又，，所以， 即，整理得，所以． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线过点，点O是坐标原点． （1）若直线与直线垂直，求直线方程 （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线方程 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系求解即可； （2）根据截距是否为进行分类讨论求解答案即可. 【小问1详解】 因为直线与直线垂直，直线即，斜率为， 所以直线斜率为， 又因为直线过点，所以直线方程为，即 【小问2详解】 因为直线在两坐标轴上的截距相等，且直线过点 所以当截距为时，直线方程为， 当截距不为时，设直线方程为， 代入点，得，得，所以直线方程为，即， 所以直线方程为或 16. 已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线， （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线相交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）结合两点距离公式求轨迹方程即可； （2）根据圆中的弦长公式结合点斜式计算即可. 【小问1详解】 设，则， 因为，则， 整理得， 即曲线的方程为：； 【小问2详解】 不妨设，如上图所示，设曲线是以为圆心的圆， 由（1）知，半径为， 取中点C，则， 由，则， 即圆心到直线的距离，解之得或， 所以的方程为：或. 17. 某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示. （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率（写出计算过程）； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数（写出计算过程）； （3）估计测评成绩的分位数.（写出计算过程） 【答案】（1） （2）25人 （3） 【解析】 【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，则可得出总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计值； （2）先由频率分布直方图可得分数不小于50的频率，即可得出分数不小于50的人数，在集合题意即可得出总体中分数在区间内的人数； （3）测评成绩的75%分位数先得出从前到后的频率之和为0.75时在哪个区间，再通过频率求出. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：， 则分数小于60的频率为：，故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得分数不小于50的频率为：， 则分数在区间内的人数为：人. 则总体中分数在区间内的人数为：人. 【小问3详解】 由频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4，分数小于80的频率为0.8，则测评成绩的75%分位数落在区间上，则测评成绩的75%分位数为. 18. 如图，在直角梯形中，，点是线段的中点.将分别沿向上折起，使重合于点，得到三棱锥，且平面，在三棱锥中解答下列问题. （1）求三棱锥的体积； （2）记的中点为，求异面直线与所成角的余弦； （3）记的重心为，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由折起前后图形的联系，得线段的长度，进而可得； （2）由空间向量法求线线角； （3）由空间向量法求面面角. 【小问1详解】 由题知：平面，平面，所以， 所以在三棱锥中， 所以在直角梯形中，取的中点，则是直角三角形， 所以，，解得，故， 所以， 【小问2详解】 由（1）知：，又： 以为坐标原点，以的方向分别作为轴，轴，轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以， 【小问3详解】 由题知： 所以 设为平面的法向量， 由可得：，令得： 为平面的法向量， 设平面和平面夹角为，所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 19. 已知双曲线C：经过点，，右顶点为A. （1）求双曲线C的方程； （2）若过点的直线与双曲线C交于M，N两点. （i）是否存在直线，使得与的面积相等?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； （ii）直线，分别与y轴交于P，Q两点，记的中点为E，x轴上是否存在点F，使得A，B，E，F四点共圆?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）不存在，理由如下： 假设存在直线，使得与的面积相等， 由题可知，直线的斜率存在，设直线， 与C的方程联立， 得， 由题，，得，且， 设，则， 由，得方程无解， 所以不存在直线，使得与的面积相等． （ii）存在，. 【解析】 【分析】（1）代入两点坐标得到方程组，解出即可； （2）（i）设 ，将其与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据面积相等，得到方程，解出即可； （ii）设，计算，从而得到中点坐标，再求出圆的方程即可. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 故双曲线C的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）存在，使得四点共圆，理由如下： 设，又，所以， 令得，同理可得， 故， 又 ， ， 所以， 所以的中点为， 线段的中垂线为，线段的中垂线为，即， 联立，得外接圆圆心为，半径， 故外接圆的方程为， 令，得或2，故存在，使得四点共圆． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高二期中检测 数学 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 11，3 B. 11，4 C. 10，1 D. 10，4 4. 已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 5. 已知，且是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 6. 直线与圆相交于M、N两点，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，点Q满足，点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 8. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.若曲线，且点M，N分别在曲线和圆：上，则M，N两点间的最大距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 在复平面内对应的点在第一象限 B. 的虚部为 C. D. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 在长方体中，，，为的中点，点满足，则（ ） A. 若为的中点，则三棱锥体积为定值 B. 存在点使得 C. 当时，平面PBC截长方体所得截面的面积为 D. 若为长方体外接球上一点，，则的最小值为 三、填空题（共15分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12. 已知直线：和：，若，则实数______. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是_________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于点、，若的角平分线交于点，且，则双曲线的离心率为______． 四、解答题（共77分） 15. 已知直线过点，点O是坐标原点． （1）若直线与直线垂直，求直线方程 （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线方程 16. 已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线， （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线相交于、两点，且，求直线的方程. 17. 某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示. （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率（写出计算过程）； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数（写出计算过程）； （3）估计测评成绩的分位数.（写出计算过程） 18. 如图，在直角梯形中，，点是线段的中点.将分别沿向上折起，使重合于点，得到三棱锥，且平面，在三棱锥中解答下列问题. （1）求三棱锥的体积； （2）记的中点为，求异面直线与所成角的余弦； （3）记的重心为，求平面和平面夹角的余弦值. 19. 已知双曲线C：经过点，，右顶点为A. （1）求双曲线C的方程； （2）若过点的直线与双曲线C交于M，N两点. （i）是否存在直线，使得与的面积相等?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； （ii）直线，分别与y轴交于P，Q两点，记的中点为E，x轴上是否存在点F，使得A，B，E，F四点共圆?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $