精品解析：湖南省湘潭市第四中学2026-2027学年 八年级上学期数学期中考试卷

湖南省湘潭市第四中学2026-2027学年八年级上学期数学期中考试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 多项式提取公因式后，剩余因式为（ ） A. B. C. D. 8. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则a与2的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_______． 12. 世界上最小的开花结果植物是出水浮萍，它的果实像一个微小的无花果，质量只有，将数用科学记数法表示为 ______________ 13. 化简：___________． 14. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 15. 若能用公式法进行因式分解，则常数的值为___________． 16. 已知，则___________ 三、解答题（共72分，需写出完整解题步骤） 17. 因式分解 （1） （2） 18. 计算 （1）． （2）． 19. 解分式方程 （1） （2） 20. 阅读下面题目的计算过程： ① ② ③ ④ （1）上面计算过程中哪些步骤有错误，请写出错误步骤的代号___________； （2）请写出正确的计算步骤． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 近年来某市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品的数量相同，每件A款文创产品的进价比B款文创产品的进价多15元． （1）求A，B两款文创产品每件的进价； （2）根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，求A款文创产品最多购进多少件． 23. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∴. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值. 24. 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、比较大小、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：． 因为， 所以， 因此有最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式的最小值为________； （2）请比较多项式与的大小，并说明理由； （3）已知，，，求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省湘潭市第四中学2026-2027学年八年级上学期数学期中考试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从两方面判断：左边为多项式，右边为几个整式的积；变形方向为从多项式到积的形式． 【详解】解：A、，符合要求，属于因式分解； B、，结果含加法项，不是整式的积的形式，不属于因式分解； C、，是整式乘法，变形方向不符，不属于因式分解； D、，结果含加法项，不是整式的积的形式，不属于因式分解． 2. 若分式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，令分母不为0求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断． 【详解】解：A、∵，∴不是最简二次根式，选项A不符合题意； B、∵，∴B不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、∵，∴选项D不是最简二次根式． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除、合并同类项的法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故A选项运算错误，不符合题意； B、，故B选项运算错误，不符合题意； C、，故C选项计算正确，符合题意； D、，故D选项运算错误，不符合题意． 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则计算各选项，再进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，A错误； B、，B错误； C、，运算正确； D、，运算错误． 7. 多项式提取公因式后，剩余因式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定多项式的公因式，提取公因式后即可得出答案． 【详解】解：多项式的公因式为， 提取公因式得， 所以，剩余因式为． 8. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定两个分式的分母，第一个分式分母为，第二个分式分母为， 找最简公分母时，相同因式取最高次幂，所有不同因式都要保留，本题中相同因式的最高次幂是，单独出现的因式为，次数为，它们的积即为最简公分母． 【详解】解： 最简公分母是． 9. 若，则a与2的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过去分母化简后，得到解，再令分母为零得，求m的值即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得， ∵该整式方程为一元一次方程，必有解，且原分式方程无解， ∴整式方程的解为原方程的增根． 令，得增根， 将代入，得， 解得． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式是解本题的关键．直接提公因式即可得出答案． 【详解】 故答案为： 12. 世界上最小的开花结果植物是出水浮萍，它的果实像一个微小的无花果，质量只有，将数用科学记数法表示为 ______________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示是． 故答案为：． 13. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给出的的条件，利用分式基本性质约去公因式完成化简． 【详解】解：原式． 14. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得2x－4≥0， 解得x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件． 15. 若能用公式法进行因式分解，则常数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】多项式可通过公式法因式分解，说明其为完全平方式，匹配完全平方公式的结构特征即可求出m的取值． 【详解】解：∵ 完全平方公式的展开形式为， ∴ 当能用公式法因式分解时，该式为完全平方式， ∴ 对应首项，末项，可得，， ∴ 中间项， ∴ 常数. 16. 已知，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法规则，将待求式转化为已知两个幂的商，代入数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ . 三、解答题（共72分，需写出完整解题步骤） 17. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）识别平方差结构，直接套用公式分解； （2）先提取公因式，再对剩余二次三项式套用完全平方公式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算零指数幂、负整数指数幂、有理数乘方、算术平方根，再进行有理数加减运算； （2）将各二次根式化为最简形式，按二次根式运算法则计算乘除部分，最后合并同类二次根式． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 解分式方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定最简公分母去分母，将分式方程转化为整式方程求解，检验根是否使原分母为0； （2）对可因式分解的分母分解后确定最简公分母，去分母将分式方程转化为整式方程求解，检验根是否使原分母为0． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并同类项得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，得， 展开得， 整理得， 解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解． 20. 阅读下面题目的计算过程： ① ② ③ ④ （1）上面计算过程中哪些步骤有错误，请写出错误步骤的代号___________； （2）请写出正确的计算步骤． 【答案】（1）②③ （2）解： 【解析】 【小问1详解】 解：第②步丢了分母，第③步去括号时没有变号； 【小问2详解】 略 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时，原式. 22. 近年来某市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品的数量相同，每件A款文创产品的进价比B款文创产品的进价多15元． （1）求A，B两款文创产品每件的进价； （2）根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，求A款文创产品最多购进多少件． 【答案】（1）A款文创产品每件的进价是80元，B款文创产品每件的进价是65元； （2）60 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用； （1）设A款文创产品每件的进价是x元，则B款文创产品每件的进价是元，利用数量=总价÷单价，结合用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入中，即可求出结果； （2）设购进A款文创产品m件，则购进B款文创产品件，根据总价等于单价乘以数量，结合不超过7400元的总费用，列出一元一次不等式，计算求解取最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款文创产品每件的进价是x元，则B款文创产品每件的进价是元， 根据题意得： 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A款文创产品每件的进价是80元，B款文创产品每件的进价是65元； 【小问2详解】 解：设购进A款文创产品m件，则购进B款文创产品件， 根据题意得：， 解得，， ∴m的最大值为60． 答：A款文创产品最多购进60件． 23. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∴. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值. 【答案】（1）；（2）2． 【解析】 【分析】（1）根据分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题． 【详解】解：（1） （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键. 24. 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、比较大小、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：． 因为， 所以， 因此有最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式的最小值为________； （2）请比较多项式与的大小，并说明理由； （3）已知，，，求代数式的值． 【答案】（1）5 （2），理由： ， ， ． ． ． （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的运用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键． （1）将变形为，即可求解； （2）先求与的差为，再将变形为，即可求解； （3）由，，得，，，将变形为，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ． ∴代数式的最小值为5． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ，，． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $