精品解析：江苏省宿迁市第一高级中学、徐州中学2026-2027学年高一上学期期中调研数学试卷

2026级高一年级期中调研测试 数学试题 满分150分 时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“存在一个奇函数，是偶函数”的否定是（ ） A. 存在一个奇函数，是奇函数 B. 存在一个偶函数，不是偶函数 C. 任意一个奇函数，是奇函数 D. 任意一个奇函数，不是偶函数 3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在上定义运算：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数m的最大值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二､选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 若，则 C. 是的充分条件 D. 已知 ”是“”的必要条件 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 11. 给定函数，，．若，用表示，中的最小者，记为函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有两个根 C. 函数的单调递增区间为， D. 若存在常数，使得成立，则b的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点为_____． 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，函数在上的解析式为_____________；若函数在区间单调递增，实数m的取值范围是____________． 14. 设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）求，； （2）定义且，求，． 16. （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）若，求的值. 17. 已知函数. （1）用单调性的定义证明：在上单调递减； （2）求函数的值域． 18. 2025 年被称为“智能体产业化元年”．基于 AI 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技 AI 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型．在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 （满分 100 分）和有效训练时长（单位：天）存在一定的函数关系．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：，已知综合性能评分 ，且在 处函数图象是连续不断的． （1）求函数 的解析式； （2）若大模型的强化训练效率定义为 ，，则训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高． 19. 对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间I上的“局部倒负函数”． （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数，是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”．若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一年级期中调研测试 数学试题 满分150分 时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合自然数集的定义，即可求解. 【详解】由集合，且， 因为，所以. 故选：C. 2. 命题“存在一个奇函数，是偶函数”的否定是（ ） A. 存在一个奇函数，是奇函数 B. 存在一个偶函数，不是偶函数 C. 任意一个奇函数，是奇函数 D. 任意一个奇函数，不是偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解. 【详解】命题“存在一个奇函数，是偶函数”的否定是“任意一个奇函数，不是偶函数”. 故选：D. 3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域为，且，为奇函数， 又在和上单调递减，故A错误； 对于B，函数的定义域为，，为偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，，为奇函数， 任取且，， 由得，又不可能同时为0，故， 因此，即，故在上是增函数，符合要求，故D正确. 4. 设集合，．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 因为，所以. 由，解得. 所以的取值范围是. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 6. 在上定义运算：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据新定义运算求出的表达式，再求解不等式. 【详解】依题意得， 所以， 解得：或. 故选：C. 7. 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 所以更接近. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数m的最大值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到在区间的值域为，再分类讨论求解即可. 【详解】由题知：函数是“函数”， 所以在区间的值域为， ，，即在区间的值域为. 当时，，值域为 当时，，对称轴为，开口向上， 所以在区间为增函数，值域为. 所以，则的最大值为14. 故选：C 二､选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 若，则 C. 是的充分条件 D. 已知 ”是“”的必要条件 【答案】BCD 【解析】 【详解】A 选项：是空集，不含任何元素，所以 ，A 为假命题； B 选项：，等价于集合A的所有元素都在B中，即，B 为真命题； C 选项：若，则一定有，由前者可以推出后者，故是的充分条件，C 为真命题； D 选项：若，则，一定满足，也就是：由能推出，故 ”是“”的必要条件，D 为真命题. 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先由为正数确定，再逐项分析：A通过作差分区间判断符号，得出不等式不恒成立；B将条件变形为和为定值，用乘法结合基本不等式求得最小值；C换元后分析对勾函数单调性，指出基本不等式等号无法取到，最小值不为；D代入后分区间讨论，非负区间用基本不等式求最大值，验证等号可取，最终判断出正确选项． 【详解】因为为正数，，所以且，解得， 对于A，，， 当时，，； 当时，，； 当时，， 所以不恒成立，A错误； 对于B，由得，即， 则， 又， 当且仅当，即，等号成立， 联立，解得，满足，等号可取， 所以，最小值为，B正确； 对于C，，结合，得， 令，则， 目标式化为， 任取， ， 因为，所以，又，所以，， 所以，即在上单调递减， ，最小值不为4，C错误； 对于D，代入得， ①当时，，， 所以，不等式成立； ②当时，，， 令，，则，， ，当且仅当，即，等号成立， 解得，此时，满足条件，等号可取， 综上所述，恒成立，D正确． 11. 给定函数，，．若，用表示，中的最小者，记为函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有两个根 C. 函数的单调递增区间为， D. 若存在常数，使得成立，则b的最小值为5 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出的解析式并作出图象，代入求值可判断A；利用图象可判断B和C；分和两种情况求出b的范围可判断D． 【详解】当时，， 则， 因为， 所以恒成立，即， 所以当时，； 当时，， 则， 令，解得或，即， 令，解得，即， 所以当或时，；当时，． 综上，， 作出的图象如下图： 对于A:，故A正确； 对于B:即， 由图知，与的图象有三个交点，即方程有3个根，故B错误； 对于C:由图知，函数的单调递增区间为，，故C正确； 对于D:当时，， 由得，， 即，解得或（舍）， 当时，， 由得，， 即， 所以， 即当时，恒成立 综上，或， 所以b的最小值为2，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点为_____． 【答案】 【解析】 【分析】令，解出的值，即为函数的零点，从而得解. 【详解】令，解得， 故函数的零点为. 故答案为：. 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，函数在上的解析式为_____________；若函数在区间单调递增，实数m的取值范围是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：利用奇函数性质，当时，先代入已知解析式求出，再根据推导得到时的函数解析式； 第二空：先分析分段函数的解析式作出函数图象，确定函数在上的递增区间为，再根据区间单调递增列出不等式，求解得到实数的取值范围． 【详解】当时，， 若时，则，， 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，其图象如图所示： 若在区间上单调递增，则， 解得， 所以实数m的取值范围为． 14. 设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解值域，即可根据集合的包含关系求解. 【详解】当时，此时函数在单调递减，故，由于，故,因此， 当时，此时函数在单调递减，在单调递增，故，由于，故,因此， 当时，此时函数在单调递减，在单调递增，故，由于，故,因此， 解得， 综上可得 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）求，； （2）定义且，求，． 【答案】（1），． （2）或，． 【解析】 【小问1详解】 由题意知或， ， ， ，. 【小问2详解】 由题意，或. ，. 16. （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【详解】（1）对原式各项分别化简，，，，， 故原式. （2）将两边平方，展开得，即， 再将该等式两边平方得，展开得，即， . （3）由，得，得，，故 17. 已知函数. （1）用单调性的定义证明：在上单调递减； （2）求函数的值域． 【答案】（1）已知，任取， 则， 因为，所以，，从而， 所以，即，故在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义法证明函数在给定区间上的单调性即可； （2）利用换元法构造函数，根据函数定义域和二次函数性质，求出函数值域，进而求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得，令，由对勾函数可知， 则，所以可化为， 当时，单调递增，， 当时，单调递减，， 所以的值域为，即的值域为. 18. 2025 年被称为“智能体产业化元年”．基于 AI 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技 AI 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型．在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 （满分 100 分）和有效训练时长（单位：天）存在一定的函数关系．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：，已知综合性能评分 ，且在 处函数图象是连续不断的． （1）求函数 的解析式； （2）若大模型的强化训练效率定义为 ，，则训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高． 【答案】（1）； （2） 天 【解析】 【分析】（1）由 求 ，由 处连续求 即可； （2）分段写出 ，分别在两段上求最大值再比较即可． 【小问1详解】 由 ，得 ，所以 ． 因为图象在 处连续，所以 ， 即 ，解得 ． 所以 ． 【小问2详解】 当 时，， 又 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，此时 ； 当 时，， 因为 时 ， 与 都随 增大而减小，所以 在 上递减， ． 综上，当 天时，“天穹”模型的标准化训练效率最高（最高效率为 ）． 19. 对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间I上的“局部倒负函数”． （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数，是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”．若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）是 （2）存在，且 【解析】 【分析】（1）根据题目定义，列出方程，求出结果即可； （2）利用方程有解的存在性分析思路，由题目定义列出方程，根据方程有解的条件，求出代数式的范围，进而判断参数的范围. 【小问1详解】 ，即 ，解得 ， 所以区间 内存在实数 ，满足 ， 所以函数 是上的“局部倒负函数”. 【小问2详解】 假设存在实数，使得函数是区间上的“局部倒负函数”. 由“局部倒负函数”的定义知，存在 ，使得 . 因为 ，所以 . 当 时， ，则 ，即①， 当 时， ，则 ，即②. 所以①或②有解，即 在上有解或在上有解， 当时，， 当 时，，则 ，所以 . 所以存在实数 ，使得是区间上的“局部倒负函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $