精品解析：江苏省宿迁市沭阳如东中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

江苏省宿迁市沭阳如东中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 2025.11. 10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象经过第三象限，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若存在，使得不等式成立，则实数m取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知边长为1的正方形ABCD中，E为CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动．设点经过的路程为．的面积为．则与的函数图象大致为图中的（　　） A. B. C. D. 7. 设函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A. 1 B. C. D. - 8. 若，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题为（ ） A. 空集是任何一个非空集合的真子集 B C. 不等式的解集是 D. ，方程恰有一解 10. 已知x，y均为正实数，则（ ） A. 若，则最大值为8 B. 的最大值为1 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 11. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确是（ ） A. B. C. 在上的最大值是2 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数满足，则_____. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_______________.（用区间或集合表示） 14. 已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）. 16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求函数的解析式： （2）判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明： （3）求不等式的解集. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，当“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省宿迁市沭阳如东中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 2025.11. 10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定是将存在改任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为. 故选：D 2. 已知幂函数的图象经过第三象限，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的概念求得，再验证即可； 【详解】由题意得，得．当时，的图象不经过第三象限； 当时，的图象经过第三象限．综上，． 故选：A 3. 褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判定. 【详解】由“甲是马鸡”不能推出“甲是褐马鸡”，由“甲是褐马鸡”可推出“甲是马鸡”， 所以“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于，或大于等于，从而可求出的取值范围. 【详解】的图像的对称轴为， 因为函数在区间上时单调函数， 所以或， 得或， 即的取值范围是， 故选：D 5. 若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【详解】因为， 所以. 问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”. 因为，当时取“”. 所以. 故选：C 6. 已知边长为1的正方形ABCD中，E为CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动．设点经过的路程为．的面积为．则与的函数图象大致为图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求与的函数关系式，进而可得结果. 【详解】当动点P在正方形ABCD边上沿运动时， 则的面积为； 当动点P在正方形ABCD边上沿运动时， 则的面积为； 当动点P在正方形ABCD边上沿运动时， 则的面积为； 综上所述：，可知B、C、D错误，A正确. 故选：A. 7. 设函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A. 1 B. C. D. - 【答案】A 【解析】 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 8. 若，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，，代入整理得，利用基本不等式“1”的妙用可求最小值. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题为（ ） A. 空集是任何一个非空集合的真子集 B. C. 不等式的解集是 D. ，方程恰有一解 【答案】AC 【解析】 【分析】根据真子集的定义、一元二次不等式的求解、分式不等式的求解以及方程解的情况来逐一判断各选项的真假. 【详解】对于A，空集是任何一个非空集合的真子集，符合真子集定义，A选项正确； 对于B，化简得，即，当时，不等式不成立，B选项错误； 对于C，解不等式，得解集为，C选项正确； 对于D，当时，方程可能无解或有无穷多解，D选项错误. 故选：AC. 10. 已知x，y均正实数，则（ ） A. 若，则的最大值为8 B. 的最大值为1 C. 若，则最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断选项A；由重要不等式判断选项B；C选项，由已知得，与相乘， 展开后利用基本不等式求最小值；D选项，由已知得到，化简得出， 结合二次函数的性质可求最小值. 【详解】已知x，y均为正实数， A中，由，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以A不正确; B中，因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值为，所以B正确； C中，若，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； D中，由，可得， 则， 令，则， 又由，所以当，可得， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 11. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ） A. B. C. 在上的最大值是2 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】令求出判断A；令得到，再替换、判断B；再利用定义法证明函数的单调性判断C；根据已知不等式化为，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式判断D. 【详解】因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代替，，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数满足，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出解析式，再代入计算可得. 【详解】因为，则，所以， 则. 故答案为： 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_______________.（用区间或集合表示） 【答案】 【解析】 【分析】由函数是偶函数，求出时解析式，不等式等价于或，代入解析式即可求. 【详解】当时，， 所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以， 所以， 所以不等式等价于或， 即或， 解得或, 所以，不等式的解集为：. 故答案为： 14. 已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式为，分，和讨论求解.， 【详解】解：由题意知：不等式可化为， 当时，该不等式无解； 当时，， 如图所示： 由图象知：， 此时要有两个整数解是，， 所以， 所以， 当时，， 如图所示： 由图象知：， 此时由两个整数解0，1， 所以， 所以 所以， 综上的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）假设为真命题，求得，即可得答案； （2）由为真命题，可得，由题意可得或，求解即可. 【小问1详解】 假设为真命题，即，使得不等式成立， 则对于即可． 又因为， 由于，则． 又因为为假命题， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 若为真命题， 即，不等式成立， 则对于即可． 由于， 所以，解得， 又因为、有且只有一个是真命题， 则或， 或， 即， 所以实数的取值范围. 17. 某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元 【解析】 【分析】（1）根据可得的解析式. （2）利用二次函数的性质及基本不等式可求的最大值. 【小问1详解】 由已知得，， ∵， ∴， 整理得，. 【小问2详解】 当时，，对称轴为直线， ∴. 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，故， ∵，∴的最大值为390， ∴当施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元． 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求函数的解析式： （2）判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明： （3）求不等式的解集. 【答案】（1）， （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出即可得解. （2）判断单调性，再利用单调性定义推理论证. （3）利用单调性脱去法则“f”，再解不等式组即得答案. 小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得， 由，得，解得，， 所以函数的解析式，. 【小问2详解】 函数在上单调递增. 在内任取，令， 则 由，得，，， ，，则，即， 因此，所以在上单调递增. 【小问3详解】 依题意，，原不等式化为， 由（2）知在上单调递增，则，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3），“偏差”的最小值为. 【解析】 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为； （2），，利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值求得的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可. 【小问1详解】 因为，所以， 则，. 所以函数与的“偏差”为. 【小问2详解】 令， ∵，∴是单调减函数，∴， 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，均不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍）， 所以. 【小问3详解】 ， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， . 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $