江苏苏州市常熟市2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

初二数学试卷 （满分 130 分，时间 120 分钟） 2026.11 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上） 1．下列线段中，能与 3 cm，8 cm 的两条线段组成三角形的是 A．3 cm B．5 cm C．10 cm D．12 cm 2．下列从左到右的变形中，是因式分解的是 A． B． C． D． 3．若 ， 满足 ，，则代数式 的值为 A． B． C． D． 4．如图，点 A，B，C，D 在同一直线上，，，添加下列一个条件后，能判定 △ACF≌△DBE 的是 A． B．AF∥DE C．∠A＝∠D D．∠ACF＝∠DBE （第 4 题图） （第 5 题图） 5．如图，小明用 9 张 A 类正方形卡片，4 张 B 类正方形卡片和 12 张 C 类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则所拼成的大正方形的边长为 A． B． C． D． 6．如图，在 △ABC 中，CD 是角平分线，若 △ACD 的面积为 15，△BDC 的面积为 20，则 的值为 A． B． C． D． 7．如图，在 △ABC 中，，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 边上的点，且 ，．若 ∠A＝70°，则 ∠DEF 的度数为 A．45° B．55° C．60° D．70° （第 6 题图） （第 7 题图） （第 8 题图） 8．如图，在 △ABC 中，∠BAC＝135°，过点 B 作 BD⊥BC，且 ，连接 AD，CD，若 ，且 △ABD 的面积是 △ABC 的面积的 倍，则 △ABC 的面积为 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．请将答案填在答题卡相应的位置上） 9．因式分解： ▲． 10．若分式 的值为 0，则 ▲． 11．已知 ，则 的值为 ▲． 12．若当 取任意实数时，分式 总有意义，则常数 的值可以为 ▲．（填一个符合要求的数值即可） 13．若关于 的分式方程 有增根，则常数 ▲． 14．如图，△ABC 是等边三角形，，∠DAC＝55°，则 ∠CBD 的度数为 ▲． 15．如图，在 △ABC 中，以点 A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 AP，过点 C 作 CD⊥AP 于点 D，连接 BD，若 ，，△BCD 的面积为 ，则 △ABC 的面积为 ▲． 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，，，，点 D 是 AC 的中点，点 E，F 分别是 BC，AB 上一动点，连接 DE，EF，则 的长度的最小值为 ▲． （第 14 题图） （第 15 题图） （第 16 题图） 三、解答题（本大题共 82 分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上） 17．（本题满分 6 分）因式分解： (1) ； (2) ． 18．（本题满分 5 分）已知 ，，求 的值． 19．（本题满分 8 分）化简： (1) ； (2) ． 20．（本题满分 6 分）先化简，再求值：，其中 ． 21．（本题满分 6 分）解方程：． 22．（本题满分 7 分）已知：① ，② ，③ ，④ ，……，根据以上数量关系的规律，解决以下问题： (1) 写出第 n 个不等式 ▲（n 是正整数）； (2) 请证明第(1)小题的结论． 23．（本题满分 7 分）如图，在 △ABC 中，延长 BC 到点 D，使得 ，过点 D 作 DE∥AB，交 AC 的延长线于点 E，过点 C 作 CF⊥AE，交直线 DE 于点 F，连接 AF． (1) 求证：△ABC≌△EDC； (2) 若 ，，求 AF 的长． （第 23 题图） 24．（本题满分 7 分）某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率是一名分拣工人的 20 倍．若用一台机器人分拣 8000 件货物，比原先 16 名工人分拣这些货物要少用 小时．求一台机器人每小时可分拣多少件货物． 25．（本题满分 10 分）如图，CP 是 △ABC 的外角 ∠ACD 的平分线，点 E 为射线 CP 上一点，且 ． (1) 图形补充完整：用无刻度的直尺与圆规作出点 E，并连接 AE，BE（保留作图痕迹）； (2) 求证：∠CAE＝∠CBE； (3) 若 ∠ACE＝65°，求 ∠ABE 的度数． （第 25 题图） 26．（本题满分 10 分）定义：在一个最简分式中，如果分子的次数低于分母的次数（或分子是常数），称这样的最简分式为真分式；如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的最简分式为假分式． 例如， 与 是真分式， 与 是假分式． 如：，． 一般地，可将一个假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式．阅读以上内容，解决下列问题： (1) 填空： ▲ ； (2) 将假分式 化为一个整式与一个真分式的和； (3) 若关于 的方程 （a 是常数，且 a≠1）的解是整数，求正整数 a 的值． 27．（本题满分 10 分） 【问题引入】(1) 如图 1，四边形 ABCD 中，BD 平分 ∠ABC，∠A＝∠C＝90°，求证：． 【探究思考】(2) 如图 2，四边形 ABCD 中，BD 平分 ∠ABC，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，，，求 BC 的长． 【拓展应用】(3) 如图 3，在 △ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的延长线上一点，∠BAC 的平分线与 ∠DBC 的平分线交于点 P，连接 PC，PD，PE，且 ∠DPE＝2∠BPC，则线段 BD，BC，CE 之间有何数量关系？并加以证明． 图 1 图 2 图 3 （第 27 题图） 初二数学　第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学参考答案及评分标准（解析稿） 说明：本稿依据《初二数学答案及评分标准》扫描件的印刷体内容整理，红色手写批注与评分笔迹已全部忽略；每题均附题目原文、原题图，并在需要作辅助线的题目后附「辅助线图」（图中红色虚线为解答所作辅助线）；第 19(2) 小题答案原稿与试卷原题不一致，已加校注。 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A D A B C 1． 【题目】 下列线段中，能与 3 cm，8 cm 的两条线段组成三角形的是 A．3 cm　　B．5 cm　　C．10 cm　　D．12 cm 【答案】 C 【解析】 三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边．由 ，，得 ，只有 10 cm 符合，故选 C． 2． 【题目】 下列从左到右的变形中，是因式分解的是 A．　　B． C．　　D． 【答案】 D 【解析】 因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式．A 是整式乘法；B 的右边不是积的形式；C 的右边含 ，不是整式；只有 D 符合，故选 D． 3． 【题目】 若 ， 满足 ，，则代数式 的值为 A．　　B．　　C．　　D． 【答案】 B 【解析】 逆用平方差公式：，故选 B． 4． 【题目】 如图，点 A，B，C，D 在同一直线上，，，添加下列一个条件后，能判定 △ACF≌△DBE 的是 A．　　B．AF∥DE　　C．∠A＝∠D　　D．∠ACF＝∠DBE （第 4 题图） 【答案】 A 【解析】 已知 、，只需再得到第三边 即可用 SSS 判定 △ACF≌△DBE． 由 两边同加 ，得 ，即 ，故选 A．B、C、D 给出的都是角（或平行）条件，配合已知的两组边不能保证全等． 5． 【题目】 如图，小明用 9 张 A 类正方形卡片，4 张 B 类正方形卡片和 12 张 C 类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则所拼成的大正方形的边长为 A．　　B．　　C．　　D． （第 5 题图） 【答案】 D 【解析】 拼成的大正方形面积为 ，故边长为 ，选 D． 6． 【题目】 如图，在 △ABC 中，CD 是角平分线，若 △ACD 的面积为 15，△BDC 的面积为 20，则 的值为 A．　　B．　　C．　　D． （第 6 题图） 【答案】 A 【解析】 CD 平分 ∠ACB，故点 D 到 AC、BC 的距离相等，设为 h． 于是 ，故选 A． 【辅助线】第 6 题·辅助线：作 DM⊥AC、DN⊥BC，则 DM＝DN（图中红色虚线） 7． 【题目】 如图，在 △ABC 中，，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 边上的点，且 ，．若 ∠A＝70°，则 ∠DEF 的度数为 A．45°　　B．55°　　C．60°　　D．70° （第 7 题图） 【答案】 B 【解析】 由 ，∠A＝70°，得 ∠B＝∠C＝55°．又 ，，故 △BDE≌△CEF（SAS），得 ，∠BDE＝∠CEF． ∠DEF＝180°−∠DEB−∠FEC＝180°−∠DEB−∠BDE＝∠B＝55°，故选 B． 8． 【题目】 如图，在 △ABC 中，∠BAC＝135°，过点 B 作 BD⊥BC，且 ，连接 AD，CD，若 ，且 △ABD 的面积是 △ABC 的面积的 倍，则 △ABC 的面积为 A．　　B．　　C．　　D． （第 8 题图） 【答案】 C 【解析】 设 ，∠ABC＝β，则 ∠ABD＝90°＋β．由三角形面积公式得 ，即 ，，． 在 △ABC 中，∠BAC＝135°，故 ∠C＝45°−β．由正弦定理 得 ；而 ，故 ． 所以 ，故选 C． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1（答案不唯一，任意正数均可） 25° 9． 【题目】 因式分解： ▲． 【答案】 【解析】 逆用平方差公式：． 10． 【题目】 若分式 的值为 0，则 ▲． 【答案】 【解析】 分式值为 0 需分子为 0 且分母不为 0：由 得 ，此时 ，故 ． 11． 【题目】 已知 ，则 的值为 ▲． 【答案】 【解析】 ． 12． 【题目】 若当 取任意实数时，分式 总有意义，则常数 的值可以为 ▲．（填一个符合要求的数值即可） 【答案】 1（答案不唯一，任意正数均可） 【解析】 分式总有意义即 对任意实数 x 成立．因为 ，只要 就有 ，故 a 可取 1（填任意正数都对）． 13． 【题目】 若关于 的分式方程 有增根，则常数 ▲． 【答案】 【解析】 去分母得 ，解得 ．原方程的增根为 ，令 ，得 ． 14． 【题目】 如图，△ABC 是等边三角形，，∠DAC＝55°，则 ∠CBD 的度数为 ▲． （第 14 题图） 【答案】 25° 【解析】 △ABC 是等边三角形，故 ∠ACB＝60°，．由 、∠DAC＝55° 得 ∠CDA＝55°，∠ACD＝70°． ∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝130°，又 ，故 ∠CBD＝． 15． 【题目】 如图，在 △ABC 中，以点 A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 AP，过点 C 作 CD⊥AP 于点 D，连接 BD，若 ，，△BCD 的面积为 ，则 △ABC 的面积为 ▲． （第 15 题图） 【答案】 【解析】 由作图知 AP 平分 ∠BAC，又 CD⊥AP，延长 CD 交 AB 于点 C′，则 C 与 C′ 关于 AP 对称，，，且 D 是 CC′ 的中点． ，又 ． 由 得 ． 【辅助线】第 15 题·辅助线：延长 CD 交 AB 于 C′，D 为 CC′ 中点（图中红色虚线） 16． 【题目】 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，，，，点 D 是 AC 的中点，点 E，F 分别是 BC，AB 上一动点，连接 DE，EF，则 的长度的最小值为 ▲． （第 16 题图） 【答案】 【解析】 作点 D 关于 BC 的对称点 D′，则 ，，其最小值为 D′ 到 AB 的距离． 以 C 为原点建系：，，，，直线 AB：． 故最小值为 ． 【辅助线】第 16 题·辅助线：作 D 关于 BC 的对称点 D′，连 D′E、D′F（图中红色虚线） 三、解答题（共 11 大题，共 82 分） 17． 【题目】 （本题满分 6 分）因式分解： (1) ；　　(2) ． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 提取公因式 ：． (2) 先提公因式 x，再用完全平方公式：． 【评分标准】 (1) 原式 1 分 3 分 (2) 原式 1 分 3 分 18． 【题目】 （本题满分 5 分）已知 ，，求 的值． 【答案】 【解析】 先提公因式 ，再用完全平方公式：． 整体代入 、：原式 ． 【评分标准】 原式 1 分 3 分 当 ， 时，原式 4 分 5 分 19． 【题目】 （本题满分 8 分）化简： (1) ；　　(2) ． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 同分母分式相减，分子合并后提取公因式：． (2) 括号内先通分，再把 分解因式后约分：． 【校注】答案原稿该小题印作 ，化简结果为 ，与试卷原题（、、）不一致，疑为答案原稿套用了旧版题目．本解析稿以试卷原题为准；若按答案原稿判卷，将上式中的 5 换成 3、25 换成 9，结论相应为 ． 【评分标准】 (1) 原式 1 分 3 分 4 分 (2) 括号内通分得 2 分 3 分 约分得结果 4 分 20． 【题目】 （本题满分 6 分）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】 【解析】 把除法化为乘法并分解因式：． 当 时，原式 ． 【评分标准】 原式 2 分 3 分 4 分 当 时，原式 6 分 21． 【题目】 （本题满分 6 分）解方程：． 【答案】 【解析】 注意 ，，故原方程化为 ． 两边同乘 得 ，解得 ．检验：当 时 ，所以 是原方程的解． 【评分标准】 化为 ，去分母得 2 分 4 分 检验：当 时， 5 分 原方程的解为 6 分 22． 【题目】 （本题满分 7 分）已知：① ，② ，③ ，④ ，……，根据以上数量关系的规律，解决以下问题： (1) 写出第 n 个不等式 ▲（n 是正整数）； (2) 请证明第(1)小题的结论． 【答案】 (1) （n 是正整数） 【解析】 (1) 观察 ①～④：第 n 个不等式的左边分子为 n、分母为 n＋1，右边分子为 n＋1、分母为 n＋2，即 ． (2) 用作差法：． 因为 n 是正整数，，所以 ，即 ，故 成立． 【评分标准】 (1) 2 分 (2) 作差通分 3 分 4 分 5 分 由 n 是正整数得差 ，即 6 分 7 分 23． 【题目】 （本题满分 7 分）如图，在 △ABC 中，延长 BC 到点 D，使得 ，过点 D 作 DE∥AB，交 AC 的延长线于点 E，过点 C 作 CF⊥AE，交直线 DE 于点 F，连接 AF． (1) 求证：△ABC≌△EDC； (2) 若 ，，求 AF 的长． （第 23 题图） 【答案】 (1) 见解析；(2) 【解析】 (1) 由 DE∥AB 得 ∠BAC＝∠E，∠ABC＝∠EDC；又由作图 ，所以在 △ABC 与 △EDC 中两角及一对应边相等（AAS），故 △ABC≌△EDC． (2) 由全等得 ，；又 CF⊥AE，所以 CF 是线段 AE 的垂直平分线，从而 ． 由 ，得 ． 【辅助线】第 23 题·辅助线：CF 垂直平分 AE，故 AF＝EF（图中红色虚线） 【评分标准】 (1) ∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠E，∠ABC＝∠EDC 2 分 在 △ABC 和 △EDC 中（∠BAC＝∠E，∠ABC＝∠EDC，BC＝DC）∴△ABC≌△EDC 3 分 (2) ∵△ABC≌△EDC，∴， 5 分 又 ∵CF⊥AE，即 CF 垂直平分 AE，∴ 6 分 ∵，∴ 7 分 24． 【题目】 （本题满分 7 分）某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率是一名分拣工人的 20 倍．若用一台机器人分拣 8000 件货物，比原先 16 名工人分拣这些货物要少用 小时．求一台机器人每小时可分拣多少件货物． 【答案】 3000 件 【解析】 设一名分拣工人每小时可分拣 x 件货物，则一台机器人每小时可分拣 件货物． 16 名工人分拣 8000 件用时 小时，一台机器人用时 小时，由题意得 ． 解得 ；经检验 是所列方程的解，故 ．答：一台机器人每小时可分拣 3000 件货物． 【评分标准】 设一名工人每小时分拣 x 件，则机器人每小时分拣 件 1 分 由题意得 3 分 解得 5 分 经检验， 是所列方程的解，∴ 6 分 答：一台机器人每小时可分拣 3000 件货物 7 分 25． 【题目】 （本题满分 10 分）如图，CP 是 △ABC 的外角 ∠ACD 的平分线，点 E 为射线 CP 上一点，且 ． (1) 图形补充完整：用无刻度的直尺与圆规作出点 E，并连接 AE，BE（保留作图痕迹）； (2) 求证：∠CAE＝∠CBE； (3) 若 ∠ACE＝65°，求 ∠ABE 的度数． （第 25 题图） 【答案】 (2) 见解析；(3) ∠ABE＝65° 【解析】 (1) 由 知点 E 在线段 AB 的垂直平分线上：分别以 A、B 为圆心、大于 的相同长度为半径作弧，两弧交点的连线即 AB 的垂直平分线，它与射线 CP 的交点即为 E；连接 AE、BE（保留作图痕迹）． (2) 过点 E 分别作 EF⊥AC 于点 F、EG⊥CD 于点 G．CP 平分 ∠ACD，故角平分线上的点到两边距离相等，．在 Rt△AEF 与 Rt△BEG 中，、，由 HL 得 Rt△AEF≌Rt△BEG，故 ∠CAE＝∠CBE． (3) CP 平分 ∠ACD 且 ∠ACE＝65°，故 ∠ECD＝65°，∠ACB＝180°−65°−65°＝50°．设 AC 与 BE 交于点 Q，在 △AEQ 与 △BCQ 中，∠CAE＝∠CBE、∠AQE＝∠BQC，故 ∠AEB＝∠ACB＝50°．又 ，所以 ∠ABE＝∠BAE＝． 【辅助线】第 25 题·辅助线：定出点 E，连 AE、BE，作 EF⊥AC、EG⊥CD（图中红色虚线） 【评分标准】 (1) 尺规作图（图略，保留作图痕迹） 3 分 (2) 过 E 作 EF⊥AC 于 F，EG⊥CD 于 G 4 分 ∵CP 平分 ∠ACD，∴ 5 分 在 Rt△AEF 和 Rt△BEG 中（，）∴Rt△AEF≌Rt△BEG 6 分 ∴∠CAE＝∠CBE 7 分 (3) ∵CP 平分 ∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE＝65°，∴∠ACB＝50° 8 分 设 AC 与 BE 交于 Q，由 ∠CAE＝∠CBE、∠AQE＝∠BQC 得 ∠AEB＝∠ACB＝50° 9 分 ∵，∴∠ABE＝∠BAE＝65° 10 分 26． 【题目】 （本题满分 10 分）定义：在一个最简分式中，如果分子的次数低于分母的次数（或分子是常数），称这样的最简分式为真分式；如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的最简分式为假分式． 例如， 与 是真分式， 与 是假分式． 如：，． 一般地，可将一个假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式．阅读以上内容，解决下列问题： (1) 填空： ▲ ； (2) 将假分式 化为一个整式与一个真分式的和； (3) 若关于 的方程 （a 是常数，且 a≠1）的解是整数，求正整数 a 的值． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 或 【解析】 (1) ，故填 ． (2) 配方后拆项：． (3) 因 ，两边同乘 得 ，整理得 ． 由 a≠1 得 ． a 是正整数且 x 是整数，故 为整数，，即 ．当 时 ，是原方程的解；当 时 ，是原方程的增根，原方程无解，舍去；当 时 ，是原方程的解．综上所述， 或 ． 【评分标准】 (1) 2 分 (2) 4 分 5 分 (3) 去分母得 ，，∴ 6 分 即 7 分 由 a 为正整数、x 为整数得 ，即 ；逐一检验并舍去增根 8～9 分 综上所述， 或 10 分 27． 【题目】 （本题满分 10 分） 【问题引入】(1) 如图 1，四边形 ABCD 中，BD 平分 ∠ABC，∠A＝∠C＝90°，求证：． 【探究思考】(2) 如图 2，四边形 ABCD 中，BD 平分 ∠ABC，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，，，求 BC 的长． 【拓展应用】(3) 如图 3，在 △ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的延长线上一点，∠BAC 的平分线与 ∠DBC 的平分线交于点 P，连接 PC，PD，PE，且 ∠DPE＝2∠BPC，则线段 BD，BC，CE 之间有何数量关系？并加以证明． 图 1 图 2 图 3 （第 27 题图） 【答案】 (1) 见解析；(2) ；(3) 【解析】 (1) ∵BD 平分 ∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD；又 ∠A＝∠C＝90°，，∴△ABD≌△CBD（AAS），∴． (2) 过 D 作 DE⊥BC 于点 E，DF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F．BD 平分 ∠ABC，∴．在 Rt△CDE 中 ∠BCD＝60°，故 ∠CDE＝30°，，得 ． ∵∠BAD＝120°，∴∠DAF＝60°＝∠BCD；又 ∠AFD＝∠CED＝90°，，∴△ADF≌△CDE，∴，∴． 在 Rt△BDF 与 Rt△BDE 中 、，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），∴，∴． (3) 数量关系：．证明：过 P 作 PF⊥BD 于 F、PG⊥BC 于 G、PH⊥CE 于 H．AP 平分 ∠BAC、BP 平分 ∠DBC，∴ 且 ，∴，即 CP 平分 ∠BCE． 在 BC 上截取 ，连接 PM．在 △BDP 与 △BMP 中 、∠PBD＝∠PBM、，∴△BDP≌△BMP，∴∠BPD＝∠BPM．由 ∠DPE＝2∠BPC 可得 ∠CPM＝∠CPE；又 ∠MCP＝∠ECP、，∴△CMP≌△CEP，∴． 故 ． 【评分标准】 (1) 由 BD 平分 ∠ABC 及 ∠A＝∠C＝90°、 得 △ABD≌△CBD，∴ 1 分 (2) 过 D 作 DE⊥BC 于 E，DF⊥AB 于 F；BD 平分 ∠ABC，∴ 2 分 在 Rt△CDE 中 ∠CDE＝30°，，∴ 3 分 △ADF≌△CDE，∴，∴ 4 分 Rt△BDF≌Rt△BDE，∴，∴ 5 分 (3) 数量关系 ；作 PF⊥BD、PG⊥BC、PH⊥CE，由 得 CP 平分 ∠BCE 6 分 在 BC 上截取 ，连 PM，证 △BDP≌△BMP，得 ∠BPD＝∠BPM 7 分 由 ∠DPE＝2∠BPC 得 ∠CPM＝∠CPE 8 分 证 △CMP≌△CEP，得 9 分 ∴ 10 分 初二数学解析稿　第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $