精品解析：江苏省苏州市昆山、太仓、常熟、张家港四市2024-2025学年上学期八数学期中阳光测评卷

2024～2025学年第一学期阶段性学业水平阳光测评 初二数学 2024.11 （满分130分，时长120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔涂在答题卷相应的位置上． 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. 1.73 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数，算术平方根．无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：是整数，1.73是有限小数，是分数，都属于有理数， 是无理数，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 若点在第三象限，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，解一元一次不等式组，根据第三象限的点的横纵坐标均为负得出，求得，即可得解． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 解得：， ∴的值可以是， 故选：A． 3. 如图，已知中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理，由作图可得，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出的度数，最后由计算即可得解． 【详解】解：由作图可得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根．根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 以下列各选项中的三个数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A 2、3、4 B. 9、12、15 C. 32、42、52 D. 、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，本选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意． 故选：B． 6. 我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就．图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在中，，若是边上的一点，则下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合解答即可．本题考查了等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形“三线合一”是解此题的关键． 【详解】解：A、，，，故选项不符合题意； B、，，故选项不符合题意； C、，，，故选项不符合题意； D、，∴是等腰三角形，∵，∴该条件不能说明，故选项符合题意． 故选：D． 7. 小颖和她爸爸利用国庆长假到某一景区游玩．小颖的汽车先在市区道路上匀速行驶了15千米后进入高速公路，在高速公路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶0.5小时到达景区．已知汽车在市区道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍，在平面直角坐标系中，汽车行驶的路程y（单位：千米）与行驶的时间x（单位：小时）之间的关系如图所示．以下说法正确的是（　　） ①汽车在乡村道路上行驶速度为30千米/小时 ②汽车在高速公路上行驶速度为120千米/小时 ③汽车在高速公路上行驶的时间2小时 ④汽车行驶的总路程为255千米 A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查获取从图象中获取信息的能力， ①根据速度=路程÷时间求出汽车在市区道路上行驶速度，再根据汽车在市区道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍计算汽车在乡村道路上行驶速度即可； ②根据汽车在乡村道路上匀速行驶0.5小时到达景区求出汽车驶出高速公路的时间，再根据速度=路程÷时间求出汽车在高速公路上行驶速度即可； ③根据“汽车驶出高速公路的时间﹣进入高速公路的时间”列式计算即可； ④根据路程=速度×时间求出汽车在乡村道路上行驶的路程，再加上240km即为汽车行驶的总路程． 【详解】解：①汽车在市区道路上行驶速度为（千米/小时）， ∴汽车在乡村道路上行驶速度为（千米/小时）， ∴①正确； ②∵汽车在乡村道路上匀速行驶0.5小时到达景区， ∴当时，汽车驶出高速公路， （千米/小时）， ∴汽车在高速公路上行驶速度为100千米/小时， ∴②不正确； ③（小时）， ∴汽车在高速公路上行驶的时间为2.25小时， ∴③不正确； ④汽车行驶的总路程为（千米）， ∴④正确． 综上，①④正确． 故选：C． 8. 如图，在中，，，是边中点，是边上任意一点，将沿直线翻折，使点关于直线的对称点落在直线上，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，先求出的度数，再分当点D与点B重合时，当点D在延长线上时，两种情况画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，当点D与点B重合时， 由折叠的性质可得， ∴； 如图所示，当点D在延长线上时， 由折叠的性质可得， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故选：D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卷相应的位置上． 9. 化简：___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，直接根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 10. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了坐标轴上点的特征，熟练掌握坐标轴上点的特征是解题的关键．根据点在轴上，得出，即可求出的值解答． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：． 故答案为：3． 11. 写出一个比大且比小的整数 _____． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】先对和进行估算，再根据题意即可得出答案． 【详解】解：∵＜2＜3＜4＜， ∴比大且比小的整数有2，3，4. 故答案：3（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，估算出与是解题的关键． 12. 如图，在中，，，则的度数为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的性质可得，然后根据已知和三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故答案为：36． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根的应用，先将系数化为1，再将常数移到方程右边，最后根据立方根的定义解方程即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到、，再根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在钝角三角形中，，．点是边上任意一点，点是边上一动点，当取得最小值时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查轴对称最短路线问题、垂线段最短、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识．作点关于直线的对称点，连接、、、，因为垂直平分，所以，，则，作于点，则，求得，由，且，可知当，的值最小，即当点与点重合，点为与交点时，此时的值最小，，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接、、、， 垂直平分， ，， ， ， 作于点，则， ， ， ，且， 当，的值最小， 当点与点重合，点为与交点时，此时的值最小，， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，点从点出发沿以1个单位每秒的速度向终点匀速运动（不与点重合），同时，点从点出发以相同的速度沿轴正半轴匀速运动，两个点的运动时间为秒．过点作轴，垂足为，连接，在轴上找一点（点在点右侧）使．连接并延长交轴于点，若点始终在点的左侧，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．依题意，结合已知先用待定系数法求得直线解析式，进一步求得点的坐标，分析可得解． 【详解】解：由题可知，点，，且， 则， ， ， 设直线解析式为：， 把点，代入， 可得：， 解得：， 直线解析式为：， 当时，， 即点，点在左侧， 故， ，且， 故答案为：． 三、解答题：本大题共11小题，共82分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算．根据零指数幂的性质、算术平方根和立方根的定义，先算乘方和开方，再算加减即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，求四边形的面积． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，坐标与图形性质．过点作轴于点，作轴于点，连接，分别求出和的面积即可得出四边形的面积． 【详解】解：过点作轴于点，作轴于点，连接， 点坐标为， ，， 点坐标为，点坐标为， ，， ． 19. 已知的算术平方根为2，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根，先根据算术平方根和立方根的定义求出，，再求出的值，最后根据平方根的定义计算即可得解． 【详解】解：∵的算术平方根为2，的立方根是， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 20. 如图，在中，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，．试说明线段与线段相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得出，从而得出，再根据垂直平分线的性质可得，最后根据等量代换即可得证． 【详解】解：因为，是边上的高， 所以， 所以， 因为是线段的垂直平分线， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 21. 弦图（图1），在三国时期被赵爽发明，是证明勾股定理几何方法中最为重要的一种图形．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．在学习了勾股定理后，小亮同学受此启发，探究后发现，若将4个直角边长为、，斜边长为的直角三角形（图2中涂色部分）拼成如图所示的五边形．通过两种方法计算它的面积可以验证勾股定理，请利用图2完成勾股定理的验证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】设直角三角形两直角边的长分别为、（），斜边的长为，做两个边长分别为、的正方形，把它们拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上，先用全等三角形判定，得出和，作，，则是一个边长为的正方形，再用全等三角形判定，得出点、、、在一条直线上，进而用全等三角形判定，最后通过图形面积转化勾股定理的线段平方关系即可完成证明． 【详解】证明：设直角三角形两直角边的长分别为、（），斜边的长为．做两个边长分别为、的正方形，把它们拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）． 在上截取，连结、，则， ，， ， ，，， ， ，， ，， ， 作，，则是一个边长为的正方形， ， ， 连结，在和中， ，，， ， ，， 点、、、在一条直线上， 在和中， ，， ， ，，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质与判定、正方形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，学会利用图形的面积转化勾股定理的线段平方关系是解题的关键，本题属于全等三角形的综合题，适合有能力解决几何难题的学生． 22. 已知，在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴距离为2，到轴的距离为3． （1）点坐标为______； （2）点与点关于轴对称，连接，点在直线上方且点坐标为，若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，三角形的面积，正确记忆关于y轴对称点的横纵坐标的符号关系是解题关键． （1）根据第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数，再由点到轴和轴的距离即可得出结论； （2）根据三角形面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 点在第二象限， 且到轴的距离为2，到轴的距离为3， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为 【小问2详解】 点与点关于轴对称， 点的坐标为， ， 的面积为， 的高为， 点到直线的距离为， 点在直线上方且点坐标为， ． 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：在的边上找到点，使得点到的距离等于；（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求的长． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，交于点，根据角平分线的性质得点到的距离等于． （2）根据，，证明，即可得出，由勾股定理可得的值，从而得出则，设，则，由勾股定理得，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作的角平分线，交于点，过点作于点， ∵，，是的角平分线， ∴点到的距离等于，即 故点即为所求． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵， ∴ ∴ 在中，由勾股定理得， ∴ 设，则 在中，由勾股定理得， 即， 解得： ∴的长为 【点睛】本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，点到直线的距离的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，连接． （1）______； （2）已知，直线垂直平分分别交，于点，点，若点从点出发沿以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设运动时间为秒．连接，，在点运动过程中，能否为以为腰的等腰三角形？若能，求出的值；若不能．请说明理由． 【答案】（1）10 （2）能，或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理计算即可得解； （2）由题意可得：，求出，再分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴； 【小问2详解】 解：能， 由题意可得：， ∵直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得； 当时，如图，作于，则四边形是矩形， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或． 25. 若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系： ；① 或；② 要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道： ；③ 如果等式③的右边也能写成“”的形式，那么它就符合②的关系． 因此，只要设，，③式就可化成：．于是，当为大于1的正整数时，“，和”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． （1）当时，该组勾股数是______； （2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为16，求的值； （3）若一组勾股数中最大数是（是任意正整数），则另外两个数分别为______，______．（分别用含的代数式表示）． 【答案】（1）17，15，8 （2）3 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据“，和”是勾股数，当时，代入计算即可； （2）先比较大小，确定最大数，最小数，再列式解答即可； （3）根据（2）的结论，结合勾股数的定义，列式解答即可． 本题考查了勾股数的认识和计算，完全平方公式的应用，熟练掌握公式和定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵“，和”是勾股数， 当时，，，， ∴17，15，8是勾股数， 故答案为：17，15，8． 【小问2详解】 解：∵“，和”是勾股数， ∴，且， ∵， ∴是最大数， 当最小时，根据题意，得，即， ∴或（舍去）， 解得； 当最小时，根据题意，得， ∴或，都是无理数，不是正整数，都舍去 综上所述，m的值为3． 【小问3详解】 解：∵是最大数，且“，和”是勾股数， 且是最大数， ∴， ∴，， ∴，或舍去； ∴， 故答案为：，． 26. 【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．其证明方法：如图1，在中，，作顶角的平分线，交边于点，利用“”可以证明，可得．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在中，． 求证：． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，中，，，且，则边的取值范围为______； （3）已知，如图3，在中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点． 求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出结论； （2）由三角形三边关系可得出，证出，则可得出结论； （3）在上截取，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ， 在中，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：在上截取，连接， 平分，， 又， ， ，， ， ， ， ， ． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点，点分别为轴正半轴和轴正半轴上两点．以为斜边作等腰直角三角形．使点在直线下方． （1）若点坐标为，点坐标为，则点的坐标为______； （2）若，求出点的坐标； （3）若，面积为3，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为； （3）点的坐标或 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，．求出，则可得出答案； （2）过点作轴于点，过点作于点，同（1）可知，得出，．求出，则可得出答案； （3）先求出，的长，由“”可证，可得，，分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，过点作于点， 坐标为，点坐标为， ，， 以为斜边作等腰直角三角形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，． ，， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点， 同（1）可知， ，． 设，． ，， 即，解得：， ， ， 又点在第四象限， 故点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，设与交于点，过点作于，轴于， 四边形是矩形， ，， ，的面积为3， ，， ，或， 当，时， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 点， 当，时， 同理可求点， 点坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，一线三垂直模型的构造，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期阶段性学业水平阳光测评 初二数学 2024.11 （满分130分，时长120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔涂在答题卷相应的位置上． 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. 1.73 C. D. 2. 若点在第三象限，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 如图，已知中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 4. 下列各式计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 以下列各选项中的三个数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2、3、4 B. 9、12、15 C. 32、42、52 D. 、、 6. 我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就．图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在中，，若是边上的一点，则下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 7. 小颖和她爸爸利用国庆长假到某一景区游玩．小颖的汽车先在市区道路上匀速行驶了15千米后进入高速公路，在高速公路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶0.5小时到达景区．已知汽车在市区道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍，在平面直角坐标系中，汽车行驶的路程y（单位：千米）与行驶的时间x（单位：小时）之间的关系如图所示．以下说法正确的是（　　） ①汽车在乡村道路上行驶速度为30千米/小时 ②汽车在高速公路上行驶速度为120千米/小时 ③汽车在高速公路上行驶的时间2小时 ④汽车行驶的总路程为255千米 A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 8. 如图，在中，，，是边中点，是边上任意一点，将沿直线翻折，使点关于直线的对称点落在直线上，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卷相应的位置上． 9. 化简：___________． 10. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为______． 11. 写出一个比大且比小的整数 _____． 12. 如图，在中，，，则的度数为______． 13. 若，则______． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．若，，，则的长为______． 15. 如图，在钝角三角形中，，．点是边上任意一点，点是边上一动点，当取得最小值时，的长为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，点从点出发沿以1个单位每秒的速度向终点匀速运动（不与点重合），同时，点从点出发以相同的速度沿轴正半轴匀速运动，两个点的运动时间为秒．过点作轴，垂足为，连接，在轴上找一点（点在点右侧）使．连接并延长交轴于点，若点始终在点的左侧，则的取值范围是______． 三、解答题：本大题共11小题，共82分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17. 计算： 18. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，求四边形的面积． 19. 已知算术平方根为2，的立方根是，求的平方根． 20. 如图，在中，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，．试说明线段与线段相等． 21. 弦图（图1），在三国时期被赵爽发明，是证明勾股定理几何方法中最为重要的一种图形．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．在学习了勾股定理后，小亮同学受此启发，探究后发现，若将4个直角边长为、，斜边长为的直角三角形（图2中涂色部分）拼成如图所示的五边形．通过两种方法计算它的面积可以验证勾股定理，请利用图2完成勾股定理的验证． 22. 已知，在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3． （1）点坐标为______； （2）点与点关于轴对称，连接，点在直线上方且点坐标为，若面积为，求的值． 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：在的边上找到点，使得点到的距离等于；（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求的长． 24. 如图，在中，，，，连接． （1）______； （2）已知，直线垂直平分分别交，于点，点，若点从点出发沿以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设运动时间为秒．连接，，在点运动过程中，能否为以为腰的等腰三角形？若能，求出的值；若不能．请说明理由． 25. 若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系： ；① 或；② 要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道： ；③ 如果等式③的右边也能写成“”的形式，那么它就符合②的关系． 因此，只要设，，③式就可化成：．于是，当为大于1的正整数时，“，和”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． （1）当时，该组勾股数是______； （2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为16，求的值； （3）若一组勾股数中最大数是（是任意正整数），则另外两个数分别为______，______．（分别用含的代数式表示）． 26. 【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．其证明方法：如图1，在中，，作顶角的平分线，交边于点，利用“”可以证明，可得．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在中，． 求证：． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，中，，，且，则边的取值范围为______； （3）已知，如图3，在中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点． 求证：． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点，点分别为轴正半轴和轴正半轴上两点．以为斜边作等腰直角三角形．使点在直线下方． （1）若点坐标为，点坐标为，则点的坐标为______； （2）若，求出点的坐标； （3）若，面积为3，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $