精品解析：广西壮族自治区贵港市江南中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

贵港市江南中学2026—2027学年秋季学期期中考试 高二数学试题 考试范围：必修一、必修二、选择性必修一第一章至第三章3.2 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将化简整理成的标准形式即可求解. 【详解】 . 所以的虚部为. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由 ，，得 . 3. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，解得. 4. 已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则其母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆锥的母线长为， 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面展开图为扇形，其弧长等于底面圆周长， 扇形弧长公式为(其中为扇形圆心角)， 已知圆心角， 因此， 解得， 则其母线长为． 5. 已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 6. 圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 7. 已知椭圆（）的左、右顶点分别为，上顶点为C，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，， 设坐标原点为，则，，即， 所以的离心率． 8. 已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用点差法求解，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将交点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，从而得到直线斜率与中点坐标之间的关系. 【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有： 用式减去式可得： 因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得： ,即，. 代入可得： 化简得：，可得： 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l：被圆C：截得的弦为，则（ ） A. 圆C的标准方程为 B. 圆心 C. 圆心C到直线l的距离为 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，将圆的方程配方得，A正确. 对于B，由圆的标准方程得圆心，半径，B正确. 对于C，圆心到直线的距离，C错误. 对于D，由半径及弦心距，得，D正确. 10. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率 B. C. 面积的最大值为12 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由椭圆方程得：，所以， 所以椭圆C的离心率，A正确； 对于B，由椭圆的定义可知，B错误； 对于C，由椭圆图形的结构特征及性质可知当位于椭圆上顶点或下顶点时， 面积取得最大值，最大值为，C正确； 对于D，由椭圆性质可知，所以的最小值为，D正确. 11. 如图所示，棱长为的正方体中，面对角线与相交于点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 沿正方体的表面从点到点的最短距离是 D. 过点作与平面垂直的直线，则与直线夹角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项：连接交于点，连接，则为平行四边形， 即得平面；B选项：利用求解；C选项：展开侧面至与平面共面求解；D选项：以为坐标原点建立空间直角坐标系，直线的方向向量为平面的法向量，设直线与直线的夹角为，则. 【详解】A选项：连接交于点，连接，则且， 故为平行四边形，所以，平面，平面， 所以平面，A正确； B选项：连接，因为正方体棱长为， 所以，， ，点到平面的距离为， 设点到平面的距离为，因为， 所以，解得，故B错误； C选项：展开侧面，设点落在点处， 则点到点的最短距离是，故C错误； D选项：以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 设直线的方向向量为，则为平面的法向量， 即，因为，所以， 令，则，，又， 设直线与直线的夹角为，则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 倾斜角为，且过点的直线的一般式方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点斜式方程写出直线方程，整理为一般式方程． 【详解】因为倾斜角为，故斜率，因为直线过点， 故直线方程为，整理为一般式可得． 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简分母，再上下同时除以，用正切表示已知式子，即可求解. 【详解】. 故答案为： 14. 已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在通过某项检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期检查． （1）求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？ （2）若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，现从这6人中再随机抽取2人检查，求至少有1人合格的概率． 【答案】（1）甲3人，乙2人，丙1人；；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的等比例分配原则计算各部门需要抽取的人数，利用抽取的人数除以总人数即得每一位员工被抽到的概率； （2）用列举法计数，得到总的抽取方法数和至少有一人合格的抽取方法数，根据古典概型公式即得结论. 【详解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：1， 由于采用分层抽样的方法从中抽取6人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人． 该企业总共有名员工， 记事件：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等， 所以每一位员工被抽到的概率为． （2）记事件：“至少有1人合格” 记其中合格的2人的分别为，，不合格的4人的分别为，，，，则从6人的中随机抽取2人的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 其中至少有1人的合格的结果有：，，，，，，，，，共9种， 故至少有1人的合格的概率为． 16. 如图，在中，已知sin2A－sin A·sin C＝sin2(A＋C)－sin2C. （1）求的值； （2）若D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及余弦定理求出B＝，再利用两角和的余弦公式即可求解. （2）在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求解. 【详解】(1) 因为A＋B＋C＝π，sin2A－sin A·sin C＝sin2(A＋C)－sin2C， 所以由正弦定理可知BC2－BC·AB＝AC2－AB2， BC2＋AB2－AC2＝BC·AB， cos B＝＝. 因为在中，B∈(0，π)，所以B＝. 所以cos(B＋)＝cos Bcos－sin Bsin＝. (2) 由余弦定理可知，在中， ， 因为C∈(0，π)，所以sin C＞0，sin C＝＝＝. 由正弦定理可知，在中，＝， 所以＝，所以AB＝. 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 17. 已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点， （1）求圆C的方程； （2）设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，代入得到，圆与轴切于点，得到，从而得到圆心的坐标，利用圆心坐标和，使用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的标准方程； （2）设的坐标为，点的坐标为，利用中点坐标公式得到用表示的等式，用表示的等式，又是圆上的点，将代入圆的方程，得到的横纵坐标的等式就是所求. 【小问1详解】 设圆心坐标为， 圆的圆心在直线上且与轴切于点， ，解得， 圆心，半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 设点的坐标为，点的坐标为， 点，又点为的中点， ，， ，即点的坐标为， 在圆上运动， ， 即， 点的轨迹方程为. 18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使得． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）直角梯形中，， 所以四边形为正方形. 所以，. 又，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法求得二面角的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为. ， 由图可知,二面角为钝角,所以二面角的大小为． 19. 已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 【答案】（1）. （2）直线的方程为或,弦长. 【解析】 【分析】（1）由椭圆焦点在轴上得,将点代入方程求. （2）设,联立椭圆方程,由韦达定理表示,利用求,再求弦长. 【小问1详解】 椭圆的焦点在轴上,所以. 将点代入方程,得,即,所以. 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时,与椭圆交于,此时共线,,不合题意. 设,交点为. 将代入,整理得. 由韦达定理得. 又. 由得,于是. 代入韦达定理的结果,得,即. 令,得,即,所以,即. 因此或,此时， 直线的方程为或. 弦长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵港市江南中学2026—2027学年秋季学期期中考试 高二数学试题 考试范围：必修一、必修二、选择性必修一第一章至第三章3.2 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则其母线长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆（）的左、右顶点分别为，上顶点为C，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l：被圆C：截得的弦为，则（ ） A. 圆C的标准方程为 B. 圆心 C. 圆心C到直线l的距离为 D. 10. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率 B. C. 面积的最大值为12 D. 的最小值为2 11. 如图所示，棱长为的正方体中，面对角线与相交于点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 沿正方体的表面从点到点的最短距离是 D. 过点作与平面垂直的直线，则与直线夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 倾斜角为，且过点的直线的一般式方程是________． 13. 若，则________． 14. 已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在通过某项检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期检查． （1）求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？ （2）若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，现从这6人中再随机抽取2人检查，求至少有1人合格的概率． 16. 如图，在中，已知sin2A－sin A·sin C＝sin2(A＋C)－sin2C. （1）求的值； （2）若D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长． 17. 已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点， （1）求圆C的方程； （2）设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使得． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小． 19. 已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $