精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六中学校2026-2027学年高一上学期11月期中测试数学试题

哈尔滨市第六中学校2026级上学期期中测试 高一数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共73分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，所以， 又，所以. 2. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，根据集合间的包含关系及充分性、必要性的定义即可得答案. 【详解】由，得， 又因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 3. 已知，，，则（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较即可. 【详解】由题意， ， ， ， ∴. 4. 函数的单调递减区间为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用复合函数单调性结合一元二次不等式计算求解. 【详解】函数满足， 所以，可得函数定义域为， 设，则，因为单调递减， 的定义域内递增区间为. 所以函数的单调递减区间为. 5. 函数的值域为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对被开方的二次函数配方得取值范围是，开算术平方根即得值域为. 【详解】设，这是开口向下的二次函数，顶点为 ，因此的最大值为， 要使得有意义，则，所以，所以， 故函数的值域是. 6. 若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则不等式的解集是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据构造抽象不等式，再根据函数的奇偶性和单调性求解不等式即可. 【详解】根据，原不等式可转化为：， 又因为函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，不等式可等价为， 即或，解得或， 所以不等式的解集是. 7. 已知是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可得，分析可知，令，可得在区间上恒成立，结合二次函数最值分析求解即可. 【详解】因为是奇函数，是偶函数，且， 则，可得， 两式相加可得，即， 若在区间上恒成立，即，可得， 令，可得在区间上恒成立， 对于二次函数的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递减，则在内的最大值为， 可得，所以实数的取值范围是. 8. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ）（参考数据：） A. 1721 B. 1722 C. 1723 D. 1724 【答案】B 【解析】 【分析】设，，对不等式取对数，确定，即可得答案. 【详解】设，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以的位数是. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（     ） A. 与是同一函数 B. C. 函数的图象必过定点 D. 若的定义域是，则函数的定义域是 【答案】BCD 【解析】 【详解】对A，因为与的对应法则不同，故与不是同一函数，故A错误； 对B，因为，所以不等式的解集为，即，故B正确； 对C，对任意且，，即函数的图象必过点.故C正确； 对D，由，即函数的定义域是.故D正确. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的有（        ） A. B. 在单调递减 C. 的解集是 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】先分析当时，函数的单调性和符号，再结合奇函数的对称性分析当时，函数的单调性和符号，即可判断BC；对于AD：根据奇函数的定义运算求解即可. 【详解】当时，，则 可知在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，； 且函数是定义在上的奇函数， 可知，在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于选项C：的解集是，故C错误； 对于选项D：当时，则， 所以，故D正确. 11. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则的最小值为 B. 若，，且，则的最小值为 C. 若，，且，则的最小值为 D. 若，，，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式，对每一个选项进行计算验证即可得出答案. 【详解】对于：若，则，所以，当且仅当，即时取等号，选项 正确； 对于：若，，则，由得，， 所以，当且仅当，即时取等号，选项 B正确； 对于C：若，，且，则，所以选项 C错误; 对于D：若，，，则，当且仅当时取等号，选项 D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】把不等式两边化成同底的指数形式，由指数函数的单调性判断指数的大小，解一元二次不等式即可。 【详解】原不等式可转化为， 因为指数函数是单调递增函数，所以，整理得：， 所以，解得：， 所以原不等式的解集为：. 13. 函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过保证左段二次函数对称轴在1的右侧、右段对数函数底数大于1，以及分段点处左极限不大于右函数值，即可解得a的取值范围. 【详解】因为在上单调递增， 所以对于时，单调递增， 即，解得， 对于时，单调递增， 即， 且，即，解得， 综上，a的取值范围是 14. 已知，关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得不等式解集为，结合解集中恰有 2 个整数，可得，再分类讨论集合中的整数个数，据此可得答案. 【详解】， 注意到，则不等式解集为， 因解集中恰有两个整数，设为， 则， 当时，，解集中仅含整数2，不符合要求； 当时，，解集中含整数2、3，符合要求； 当时，，解集中含整数2、3、4，不符合要求， 综上可得：. 【点睛】关键点点睛：本题关键为通过分解因式得到不等式解集，随后由解集中恰有两个整数得到初步范围，再通过分类讨论得到最终答案. 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）； （3）已知，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算公式直接求解即可； （2）利用对数运算直接求解即可； （3）结合完全平方公式直接求解即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 【小问3详解】 由两边平方得，即， 所以. 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并用定义证明； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）若不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）由恒成立，的定义域为，关于原点对称． ，所以是奇函数； （2）因为， 任取，， 即，所以在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）计算可得与关系，结合定义域即可得解； （2）任取，计算的正负即可得； （3）结合奇函数与单调递减函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由为奇函数得， 又在上递减，故， 解得，即． 17. 在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为米，宽度为米，，地面面积为平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案，方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米元，屋顶和地面报价共计元，总计报价记为元；方案二：其给出的整体报价为元，. （1）求函数的解析式，并求报价的最小值； （2）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 【答案】（1），元 （2） 【解析】 【分析】（1）设长方体底面长为，表示出墙面面积，结合基本不等式即可求解其最小值； （2）利用分离参数法和换元法，解决恒成立问题，即可得到答案. 【小问1详解】 设长方体底面长为，由地面面积得． 则墙面面积为， 所以， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号， 所以（元），此时. 【小问2详解】 由题得，对恒成立， 化简得， 令，则， 当且仅当，即时取等， 所以，又 ， 所以． 18. 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是无理数. （1）对任意实数，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （2）求函数的值域； （3）对于任意实数，当时，记的最大值为，求的解析式及最小值. 【答案】（1）是定值，定值为 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）计算即可得； （2）计算可得，利用计算即可得； （3）令，可得范围，计算可得，结合（1）中所得可得，结合二次性质即可得解. 【小问1详解】 ， 故是定值，且定值为； 【小问2详解】 ， 因，有，故， 所以，即值域为； 【小问3详解】 令，时单调递增， 又，，故； ， 由（1）得，故， 即，于是（）， 对称轴，则当时，； 当时，； 当时，； 故， 综上，（当时取得）. 19. （1）设函数. ①求函数的最大值； ②当不等式在上有解时，求实数的取值范围； （2）设，对于任意正数，且，是否存在常数，使得恒成立？如果存在，求出的最大值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）①；②；（2）存在，． 【解析】 【分析】（1）①由题意整理函数解析式，根据对数函数的单调性，利用换元法化简函数，结合二次函数的性质，可得答案；②由题意整理函数解析式，根据对数函数的单调性，利用换元法化简不等式，根据函数的性质求出最值得解； （2）设，由题意以及基本不等式，求得，利用分解因式化简不等式，再换元并利用对勾函数的单调性，可得答案. 【详解】（1）① ， ， 令，则， 当（即）时，. ②，令，，， 不等式化为 ，即， 当时，上式不成立； 当时，，有， 令 在上递增，值域为， 不等式有解等价于，所以. （2），且，设， 则，即， 且， ， 即， 令，由对勾函数的单调性可知在上单调递减， 故（此时，即）. 所以存在这样的常数，且的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2026级上学期期中测试 高一数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共73分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ 　） A. B. C. D. 4. 函数的单调递减区间为（   ） A. B. C. D. 5. 函数的值域为（     ） A. B. C. D. 6. 若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则不等式的解集是（     ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ）（参考数据：） A. 1721 B. 1722 C. 1723 D. 1724 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（     ） A. 与是同一函数 B. C. 函数的图象必过定点 D. 若的定义域是，则函数的定义域是 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的有（        ） A. B. 在单调递减 C. 的解集是 D. 当时， 11. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则的最小值为 B. 若，，且，则的最小值为 C. 若，，且，则的最小值为 D. 若，，，则的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 不等式的解集为____________. 13. 函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 14. 已知，关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是______． 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）； （3）已知，求的值. 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并用定义证明； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）若不等式成立，求实数m的取值范围． 17. 在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为米，宽度为米，，地面面积为平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案，方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米元，屋顶和地面报价共计元，总计报价记为元；方案二：其给出的整体报价为元，. （1）求函数的解析式，并求报价的最小值； （2）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 18. 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是无理数. （1）对任意实数，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （2）求函数的值域； （3）对于任意实数，当时，记的最大值为，求的解析式及最小值. 19. （1）设函数. ①求函数的最大值； ②当不等式在上有解时，求实数的取值范围； （2）设，对于任意正数，且，是否存在常数，使得恒成立？如果存在，求出的最大值；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $