江西省南昌中学三经路校区2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

南昌中学三经路校区2026-2027学年第一学期高二年级期中测试 数学试卷参考答案 一、单选题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D C D B A 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BC BCD ACD 三、填空题： 12． 13．内含； 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解：（1）因为，所以可设直线的方程为， 因为直线经过点，所以，解得， 所以直线的方程为； 6分 （2）已知直线在两坐标轴上的截距相等， 若直线过原点，设直线的方程为，因为直线经过点，所以， 此时直线的方程为，即； 9分 若直线不过原点，设直线的方程为，因为直线经点，所以， 所以，此时直线的方程为，即； 综上所述，直线的方程为或． 13分 16．解：（1）依题意，设圆心，半径为，则， 即， 解得，所以，，所以圆 4分 设，由两圆外切，可知， 所以，解得或，所以或， 所以圆的方程为或． 8分 （2）设圆到直线的距离为，由，得， 若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意， 11分 若直线的斜率存在，设，即， 由圆心到直线的距离为1，即，得，直线方程为， 综上，所求直线的方程为或； 15分 17．解（1）设观察员可能出现的位置为点，得， 故点的轨迹为双曲线的左支，设双曲线方程为， 又，，， 点的轨迹方程为． 7分 （2）设轨迹上一点为，则， 又，所以，所以，当且仅当时，取得最小值， 故扫描半径至少是． 15分 18．解：（1）由定义得．点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以抛物线方程：； 4分 （2）由题意直线的斜率不为0，设定点的坐标，直线的方程为， 联立，可得，恒成立，设，， 则，，， 即，化简得， 代入韦达定理得，解得．故定点的坐标为． 17分 19．解：（1）设，，则，， 因为，可知：， ，， 因为，可知：， 则，， 由可知：， 可知：，因此，，，三点共线 5分 （i）由可得：， 由（1）可知：，由可知： ，且，都在第一象限，则，， 由（1）知：……（*），，， 由（*）式结合，， 可知：，， 则，， 因此可得： ， 由此可知：； 10分 （ii）由（i）可知： ，， 则；直线：，直线：， 设点，于是，， 则，即， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，， 于是，则 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学三经路校区2026-2027学年第一学期 高二年级期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知空间直角坐标系中点，则方程表示的图形是（ ） A．经过点的直线 B．经过点的圆 C．以点为球心的球 D．以点为圆心的圆 2．已知两条平行直线方程，，则值为（ ） A．1 B．或2 C． D．1或 3．已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知圆，若圆关于直线对称，则积最大值为（ ） A．1 B． C． D． 5．经过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线与交于，两点，则弦长（ ） A．1 B． C．4 D． 6．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知圆，点在椭圆运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知圆，直线，则（ ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有2个点与直线的距离为1 C．直线被圆截得的最小弦长为 D．若圆与圆恰有三条公切线，则 10．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ） A．若，则为椭圆 B．若，则为双曲线 C．若为焦点在轴上双曲线，则 D．若为焦点在轴上的椭圆，则 11．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点且与交于，两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在边长为1的等边中，向量在向量上的投影向量为__________．（用向量来表示）． 13．圆与的位置关系为__________；与圆，都相切的动圆圆心的轨迹方程为__________． 14．已知双曲线：的上、下焦点分别为，，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若恒成立，则的离心率的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知直线：，直线经过点． （1）若，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 16．（本小题15分） 已知圆过两点，，圆心在直线上． （1）若半径为3的圆与圆外切，圆心在直线上，求圆的标准方程． （2）若过点的直线与圆交于点，两点，且，求直线的方程； 17．（本小题15分） 如图，某野生保护区监测中心设置在点处，正西、正东、正北处有3个监测点，，，且．一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早．（注：信号每秒传播） （1）求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； （2）若点信号失灵，现立即以为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证能接收到信号，扫描半径至少是多少？ 18．（本小题17分） 已知点到点的距离比它到直线的距离小2． （1）求点的轨迹方程； （2）过点的动直线交轨迹于，两点，是否存在定点，使得直线与的斜率之和是0，若存在，求定点的坐标；若不存在，说明理由． 19．（本小题17分） 已知，为椭圆的左，右顶点，为上的一点，为双曲线上的一点（，两点不同于，两点），设直线，，，的斜率分别为，，，，且． （1）设为坐标原点，证明：，，三点共线． （2）设、的右焦点分别为、，、均在第一象限，直线与直线相交于点，． ①判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $