第三章圆小结与思考（单元小结）》提优特训A·B卷 ·2026-2027学年苏科版九年级数学上册
|
2份
|
59页
|
5人阅读
|
0人下载
内容正文：
数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上
《第三章圆小结与思考（单元小结）》提优特训A·B卷
一．特训目标
(
1.系统掌握圆的基本概念、点/直线与圆的位置关系、正多边形与圆的核心定义，构建圆的几何知识体系。
2.熟练运用垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质定理，规范完成几何推理、角度与线段推导。
3.掌握圆中常规辅助线作法，能结合图形变换、割补思想解决圆的综合计算、阴影面积问题。
4.熟练掌握弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算公式，建立圆的几何计算模型，适配中考综合题型。
)
二．重点难点
(
【重点】
1.
圆的基本性质：垂径定理及推论、圆心角/弧/弦关系、圆周角定理及推论的应用。
2.
位置关系：点与圆、直线与圆的位置关系判定，切线的判定、性质、切线长定理核心应用。
3.
三角形内外心：外接圆（外心）、内切圆（内心）的定义、性质与简单计算。
4.
圆的计算：弧长、扇形面积、圆锥侧面展开图对应关系、阴影面积割补计算。
【难点】
1.
多个圆定理综合嵌套，复杂图形中角度、线段长的推理与计算。
2.
切线证明两类模型（作半径证垂直、作垂直证半径）的精准选用与规范书写。
3.
圆锥侧面展开图等量转化：底面圆周长与扇形弧长的对应关系辨析。
4.
圆内接四边形、动点圆、隐圆问题的综合分析与几何建模。
)
三．知识梳理
【模块1】：圆的基本概念与要素
（一）圆的定义
1.描述性定义（动态定义）：
平面内，一条线段绕固定端点旋转一周，另一个端点运动形成的图形叫做圆。固定端点叫圆心O，旋转的线段叫半径r；记作⊙O，读作“圆O”。
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；两个条件缺一不可，只定圆心不能确定圆。
2.集合定义（静态定义）：
圆是平面内，到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合。
3.注意：
⊙O指圆周（一圈曲线），不是内部填充的圆面；圆面是到定点距离小于等于定长的点的集合。
4.同圆、同心圆、等圆
（1）同圆：同一个圆，半径全部相等。
（2）同心圆：圆心相同，半径不相等。
（3）等圆：半径相等的两个圆，圆心位置可以不同；等圆可以经过平移完全重合。
（二）弦与直径
1.弦：
（1）定义：连接圆上任意两点的线段。两端必须都落在圆周上。如图中线段AB,CD;
（2）理解：
①弦是线段，不是曲线，不是直线；有两个端点。
②两个端点必须都在圆周（圆上），一个点在圆心不算弦。
2.直径：
（1）定义：经过圆心的弦。如上图中线段AB.
（2）理解：
①直径属于特殊的弦，也是圆中最长的弦。
②数量关系：直径 D=2r。
重要结论：直径一定是弦，但弦不一定是直径；直径是圆里面最长的弦；半径一端在圆心，另一端在圆上，半径不是弦（弦要求两个端点都在圆上）。
3.关系：
直径一定是弦，弦不一定是直径。直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
4.辨析：半径不是弦
半径：一端在圆心，一端在圆上。只有一个端点在圆上，不满足弦“两个端点都在圆上”的条件，所以半径不属于弦。
（三）弧、半圆、优弧、劣弧
1.圆弧（弧）：
圆上两点间的曲线部分；以C,D为端点的弧,记作，读作“弧CD”。
2.半圆：
直径两端点分割圆得到的弧，等于圆周长一半；
3.劣弧：
小于半圆的弧，用两个字母表示；如图中的，BC是劣弧.
4.优弧：
大于半圆的弧，必须用三个字母表示；如图中的是优弧.
5.等弧：
在同圆或者等圆中，能够完全互相重合的弧叫做等弧。
【补充说明】：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
③同圆中优弧＞半圆＞劣弧。
④仅仅弧长相等，不能叫等弧；大小不一样的圆，弧长再长也不可能是等弧。
【模块2】：圆的对称性
（一）圆的两种对称性
1.轴对称性：
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。
注意：对称轴是直线，直径是线段，不能表述为“直径是圆的对称轴”，正确表述：直径所在直线是圆的对称轴 。
2.中心对称与旋转不变性
（1）旋转不变性
观察下列图形并回答问题
从上面的图形可以看出:圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的圆重合。圆的上述性质称为旋转不变性.
圆绕圆心旋转任意角度，都能与原图形完全重合，是独有的性质。
（2）中心对称：
我们知道:把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
由此可见:圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
（二）垂径定理及其推论
1.垂径定理：
（1）内容：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。
（2）几何语言：
如图若CD是⊙O直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，
∵ CD是直径，CD⊥AB于E，
∴ AE=BE,
2.垂径定理的推论：
（1）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
（2）推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）推论3：平分弦所对一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
五要素知二推三：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦劣弧 ⑤平分弦优弧；推论特殊限制：平分弦（弦不是直径）的直径，才垂直弦；若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直。
（三）圆心角、弧、弦的关系
1.圆心角：
（1）定义：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。
（2）定理：在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量全部相等（知一推二） 。
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等
②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧对应相等.
注意：前提条件不能丢，不在同圆、不等圆，结论不成立。
2.弧的度数
弧的度数 = 它所对圆心角的度数。
例：60o圆心角对着60o的弧；90o的弧对应的圆心角是90o。
注意：弧的度数只看圆心角大小，和圆半径大小无关。
3.平行弦小拓展
圆中两条互相平行的弦，所夹的两段弧相等；
如图,若AB‖CD，则
注意：平行弦距离题目要分两种情况：两弦在圆心同侧；两弦在圆心异侧，需要分类计算。
【模块3】确定圆的条件
（一）过已知点作圆的探究
1.经过1个点作圆：
可以作无数个圆。圆心可以是除该点以外平面内任意一点，半径为圆心到该点距离。
【结论】：过一点的圆有无数个，圆心为除该点以外任意一点.半径为圆心到该定点距离。
2.经过2个点作圆：
可作无数个圆，所有圆心都在线段AB的垂直平分线上，半径为圆心到A（或B）的距离。
【原理】：线段垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等，满足OA=OB。
【结论】：经过2个点可以作无数个圆。圆心必须在该线段的垂直平分线上；垂直平分线上任意一点都可以作为圆心，圆心到该线段端点的距离为半径。
3.经过三个点作圆
（1）三点共线：无法作出同时经过三点的圆；
经过同一条直线上的三个点不能作圆.原因：两条垂直平分线互相平行，没有交点，找不到圆心，无法画圆。
（2）三点不在同一直线：
【作法】：①连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
②连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
③以O为圆心，OA为半径作圆．
所以⊙O就是所求作的圆．
通过刚刚的作图过程，∵直线MN和EF只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.
【结论】：不在同一直线三点确定有1个圆（核心定理）。圆心：其中两条线段垂直平分线的交点；半径：交点到任意一个已知点的距离。
【点拨】：命题“三点确定一个圆”是错误，必须带上前提条件“不在同一直线上”。
（二）三角形的外接圆、圆的内接三角形、三角形的外心
1.三角形的外接圆：
用直尺和圆规作一个圆，使它经过 △ABC的三个顶点。
【作法】:
（1）作线段AB的垂直平分线MN;
（2）作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O;（3）连接OB.（4）以O为圆心，OB为半径作圆.
⊙O就是所求作的圆.
【结论】：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.任意三角形有且只有1个外接圆；
2.圆的内接三角形：
（1）定义：如果三角形的三个顶点都在同一个圆上，这个三角形就叫做这个圆的内接三角形。
（2）一个圆，有无数个内接三角形。在圆周上任取3个不同的点，连接都可以得到该圆的内接三角形。
3.外心：
（1）定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
（2）作图：只需作任意两条边的垂直平分线，交点就是外心，第三条垂直平分线一定经过该交点。
（3）性质：外心到三角形三个顶点距离相等，即OA=OB=OC，这三条线段都是外接圆半径R。
（4）不同类型三角形外心的位置
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形的外心与这个三角形的位置关系。
①锐角三角形 三角形内部 普通计算，多用垂直平分线、勾股定理求
②直角三角形 斜边中点 ，斜边就是外接圆直径
③钝角三角形 三角形外部 外心在最长边外侧
记忆口诀：锐内、直中、钝外。
（三）实际应用：残破圆形物件找圆心
瓷器碎片、破损圆盘复原整圆：在圆弧上任取三个不在同一直线上的点，连接两点作两条线段的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到点距离就是半径，即可补全整圆。
（四）拓展：反证法简单理解
证明“同一直线上三点不能作圆”
已知：点A、B、C在直线l上。
求证：过A、B、C三点不能作圆。
证明：假设过在同一直线上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为O。
因为OA=OB（都是圆的半径），所以点O在线段AB的垂直平分线上；同理，OB=OC，点O在线段BC的垂直平分线上。线段AB、BC都在直线l上，它们的垂直平分线都垂直于直线l。于是，过点O可以作出两条不同的直线同时垂直于直线l。与基本公理，过平面内一点，有且只有一条直线与已知直线垂直互相矛盾。∴假设不成立。故：过同一直线上的三点不能作圆。
【归纳】反证法简单步骤：
①假设：假设要证明的结论反过来是正确的；
②推理，推出和公理、定理矛盾；
③说明假设错误，原命题成立。
【模块4】圆周角
（一）圆周角的定义（必考辨析）
1.定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫做圆周角。
如图中∠BA1C,∠BA2C,∠BA3C这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2.两个缺一不可条件
（1）顶点必须在圆上；
（2）角的两条边必须与圆有另外交点（两边是圆的弦）。
3.快速排除
（1）顶点在圆内、圆外→不是圆周角
（2）一边相切、一边相交→不是圆周角
（二）圆周角定理（本节核心、必考）
1.定理内容：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且圆周角度数 = 这条弧所对圆心角度数的一半。
2.公式：
圆周角的度数=圆心角
（核心前提：同圆/等圆、同弧/等弧，否则定理不成立。）
（三）圆周角三大黄金推论
推论1：等弧对等角、等角对等弧
同圆或等圆中：弧相等⇔所对圆周角相等
推论2：直径模型
半圆（直径）所对的圆周角是直角（90°）
【口诀】：遇直径，构直角（看到直径，优先连接弦构造Rt△）
推论3：直角返推直径
90°的圆周角所对的弦一定是圆的直径（用于：判定直径、找圆心、确定半圆。）
（四）弧对应两类圆周角（提优难点）
1.劣弧对应：锐角圆周角
2.优弧对应：钝角圆周角
3.重要结论：同一条弦所对的两个圆周角互补（一个优弧、一个劣弧），考试大题、多解填空题必考！
（五）圆心角、圆周角、弧度数关系汇总
1.弧的度数 = 所对圆心角度数
2.圆周角度数 = 对应弧的度数
3.等弧⇔等圆心角⇔等圆周角（同圆等圆）
（六）圆内接四边形
1.圆内接多边形的定义
如果一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形;这个圆叫做这个多边形的外接圆如图，四边形ABCD是0的内接四边形，0是四边形ABCD的外接圆。
2.性质
（1）圆内接四边形性质1:圆内接四边形的对角互补.
如图，四边形ABCD是0的内接四边形，∠D=50°则∠ABC=130°
如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE=105°。
（2）圆内接四边形性质2:圆内接四边形任意一个外角等于和它相邻的内角的对角.
补充：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
（七）常用解题辅助线套路
1.看到直径：连端点弦，构造90°直角三角形
2.看到同角、等角：找公共弧、转移角度
3.求未知角：优先转化为同弧圆心角
4.动点角度题：锁定固定弧，角度不变
【模块5】点与圆、直线与圆的位置关系
（一）点与圆的位置关系
1.点和圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
（1）点P在圆内 d ＜ r ；
（2）点P在圆上 d = r ；
（3）点P在圆外 d ＞r.
2.圆的集合定义（静态定义）的拓展
若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
（1）圆内是所有d<r点的集合，
（2）圆上是d=r点的集合，
（3）圆外是d>r点的集合。
3.核心：
点和圆的位置，转化为点到圆心距离和半径大小比较
（二）直线与圆的位置关系
1.相关概念：
（1）相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交;
（2）相切：直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点;
（3）相离：直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离.
2.直线与圆的位置关系的判断
设☉O半径r，圆心到直线垂线段距离d（必须是垂线，斜线段无效），直线与圆的位置关系如下表
位置关系
公共点个数
数量关系
直线名称
相交
2个
d ＜ r
割线
相切
1个
d = r
切线，唯一公共点叫切点
相离
0个
d ＞r
无专用名称
（三）切线判定与性质
1.切线判定（2种）
（1）定义：直线与圆有唯一公共点；
（2）切线的判定定理：
①定理：经过半径外端，且垂直于这条半径的直线是圆切线（两个条件缺一不可）。
②文字语言： 经过半径的外端点 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
③符号语言：
如图，在⊙0中0C是⊙0的半径，直线AB过点C,且 0C⊥AB于点C.
∵ 0C是⊙0的半径，且 0C⊥AB于点C , (注：两个条件缺一不可)
∴ AB是⊙0的切线.
2.切线性质
（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；
l
（2）过圆心且垂直切线的直线必经过切点；
（3）过切点且垂直切线的直线必经过圆心。
3.切线证明两大辅助线模型：
（1）已知点在圆上（有公共点）：连半径，证垂直，连接圆心和该公共点，证明连线与已知直线垂直。
（2）不知公共点（无明确交点）：作垂直，证半径，过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长度等于圆半径。
（四）基础拓展--切线长定理
1.切线的画法
用直尺和圆规作出圆外一点的圆的切线的步骤：
（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP 交于点C；
（2）以点C为圆心，CO 为半径作圆，与⊙O 相交于A，B两点；
（3）作直线PA，PB，即所求作的切线.
2.切线长
（1）定义：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长．
【注意】：切线是直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
（2）切线长定理：
①内容：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
②几何语言:
PA，PB分别切☉O于点A，B
③推理：
推论1：圆心与圆外一点的连线OP垂直平分切点弦AB。
说明：∵PA=PB，OA=OB，→ P、O都在AB的垂直平分线上，所以OP垂直平分AB
推论2：切线夹角与两切点圆心角互补。
如图，PA，PB分别切☉O于点A，B，那么∠APB+∠AOB=180o。
依据：OA⊥PA，OB⊥PB，四边形OAPB内角和360o，两个直角之和180o，剩余两角互补
推论3：圆外切四边形的两组对边之和相等（定理，圆外切四边形性质）
若四边形ABCD是☉O的外切四边形，则AB+CD=AD+BC，这是切线长定理最重要的拓展推论，中考高频考点
推论4：PA，PB分别切☉O于点A，B，那么△PAB是等腰三角形（PA=PB），∠ PAB=∠ PBA。
【补充说明】教材正文没有单独把这几条标注成“推论”，属于由切线长定理推导出来的常用二级结论，中考填空选择可以直接使用，解答大题如果直接用，最好简单书写推导过程。
（五）三角形内切圆
1.定义：
与三角形三边都相切的圆叫内切圆，圆心内心，是三条角平分线交点，永远在三角形内部。
2.性质：
（1）点O到三角形三边的距离相等;
（2）AO,BO,CO分别平分∠BAC,∠ABC,∠BCA;
（3）内心O一定在三角形的内部
3.核心公式：
（1）通用面积公式：S△=(a+b+c)·r（a、b、c三边长，r内切圆半径）；
（2）Rt△简化公式：直角边a、b，斜边c，r=；
（六）圆外切四边形
1.定义：
圆外切四边形是指四边都与同一个圆相切的四边形，这个圆叫做四边形的内切圆。
2.性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等。
3.推论：
（1）圆外切平行四边形一定是菱形.
（2）圆外切梯形的两腰之和等于上下底之和。
4.判定：
（1）判定1：四边都与同一个圆相切的四边形是圆外切四边形
（2）数量关系判定（考试最常用，计算类题型核心）
凸四边形两组对边之和相等四边形有内切圆（圆外切四边形）
（3）特殊四边形专属判定（推论，快速判断）
①平行四边形
平行四边形为圆外切四边形该平行四边形是菱形
②梯形
梯形为圆外切四边形梯形两腰长度之和 = 上下底长度之和
（4）角平分线判定（证明大题专用）
凸四边形四个内角的角平分线交于同一点，则该四边形是圆外切四边形
①原理：角平分线交点到四条边距离相等，以该距离为半径、交点为圆心作圆，四边均与圆相切；
②辅助证明套路：
a作四边形四个内角平分线，交于一点I；
b过I向四条边作垂线段，证四条垂线段长度相等；
c以I为圆心、垂线段长为半径作圆，四边均切于圆，判定为外切四边形
【模块6】正多边形与圆
（一）正多边形基础定义
1.定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形.如果一个正多边形有 n (n ≥ 3) 条边，那么这个正多边形叫作正 n 边形.
2.理解：
各边相等，各内角也相等的凸多边形叫正多边形，两个条件缺一不可。
（1）菱形：四边相等，但内角不等，不是正多边形；
（2）矩形：四角相等，但边长不等，不是正多边形。
（二）正多边形与圆的核心关系（核心）
1.圆生成正多边形
将一个圆 n (n ≥ 3) 等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正 n 边形的各顶点 n 等分其外接圆.
2.正多边形生成双圆
（1）任意一个正多边形，有且只有一个外接圆和一个内切圆，两圆圆心重合，称为同心圆。
（2）圆内接正多边形：顶点都在圆上；
圆外切正多边形：各边都与圆相切。
（三）正多边形四大专属概念（必须精准区分）
设正n边形中心为O，边长a
1.中心：正多边形外接圆（内切圆）的圆心。
2.正多边形半径R：外接圆半径（顶点到中心的距离）。
3.中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。公式：
4.边心距r：中心到正多边形任意一条边的距离（即内切圆半径，也是正多边形的高）
（四）正多边形万能角度公式（直接秒杀填空选择）
设正多边形边数为n（n≥3且整数）
1. 中心角公式：
2.单个内角：
3.单个外角： ，外角=中心角
4.内角+中心角=180o，（互补）
（五）唯一核心计算模型（大题必考）
连接中心与任意两个相邻顶点，作边心距垂直边长：半径R、边心距r、半边长构成直角三角形，满足：R2=r2+()2
（1）斜边：外接圆半径R
（2）直角边1：边心距r
（3）直角边2：边长的一半
（六）周长与面积公式
1.周长：C=na
2.面积（所有正多边形通用）：S=Cr（周长×边心距÷2）
（七）常见特殊正多边形秒杀结论
1. 正四边形（正方形）
（1）中心角：90o
（2）边长、半径、边心距可通过等腰直角三角形快速换算
2. 正六边形（最高频考点）
（1） 中心角：60o
（2）正六边形边长 = 外接圆半径
（3）可分割为6个全等的等边三角形
（4）边心距：r=R
3. 正三角形
（1）中心角120o，
（2）边心距：半径：高=1：2：3
（八）正多边形对称性规律
1. 所有正多边形都是轴对称图形，对称轴条数=边数n。
2. 边数为偶数的正多边形：既是轴对称，又是中心对称图形。
3. 边数为奇数的正多边形：只轴对称，不是中心对称。
（九）尺规作图（教材实验考点）
1. 正四边形：作圆的两条互相垂直直径，顺次连接端点。
2. 正六边形：在圆上依次截取等于半径的弦，六等分圆周。
【模块7】扇形
（一）核心概念
1.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧是曲线，只有长度，没有面积。
2.扇形：由一条弧和经过这条弧两端点的两条半径所围成的封闭图形。
（1）扇形三要素：半径R、圆心角n°、对应弧长l。
（2）扇形是圆的一部分，圆心角占360°的比例 = 弧长占圆周长比例 = 扇形面积占圆面积比例（所有公式的底层原理）。
（二）三大必考公式（核心）
1.弧长公式
圆周长C=2πR，360°对应整圆周长，1°圆心角弧长：，n°圆心角弧长：（n不带单位°）。
适用场景：已知圆心角、半径，求曲线长度；旋转轨迹长度。
2.扇形面积两套公式
（1）角度式面积公式 S扇形=
360o圆心角，对应整个圆的面积πR2 =>1o圆心角对应的扇形面积： => no圆心角对应的扇形面积：S扇形=
（2）弧长关联式面积公式 S扇形=lR
已知弧长公式：，变形得 代入角度面积公式：S扇形=
（三）公式互推与选型技巧
1.给角度优先用：，S扇形=
2.给弧长优先用：S。
3.知二求二：四个量（n、R、l、S），任意已知两个，可求剩余两个。
（四）三类必考图形面积模型
1.弓形面积S弓形=S扇形±S三角形
（1）劣弧弓形(弧<半圆）
S弓形=S扇形-S三角形
（2）优弧弓形(弧>半圆）
S弓形=S扇形+S三角形
2. 常规阴影组合模型
（1）阴影 = 扇形面积 − 三角形面积
（2）阴影 = 大圆/小圆面积 ± 扇形面积
（3）多扇形拼接：等圆心角、等半径扇形可直接合并角度计算
3. 旋转扫过面积（压轴高频）
图形绕定点旋转，扫过区域为环形扇形：扫过面积 = 大扇形面积 − 小扇形面积
（五）重要规律结论（提速秒杀）
1.同圆中：圆心角越大，弧长越长、扇形面积越大。
2.圆心角相等：半径越大，弧长、面积越大。
3.半径相等：圆心角成正比等于弧长、面积之比。
（六）圆锥相关知识
1.圆锥相关概念
（1） 形成：直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。
（2）母线：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段。圆锥所有母线长度都相等
（3）高：圆锥顶点到底面圆心的垂线段
（4）底面半径：圆锥底面圆的半径
（5）母线、半径、高关系的（勾股定理必考）
母线2=半径2+高2
母线是直角三角形斜边，永远最长
2.圆锥展开图
圆锥侧面沿母线剪开 → 扇形，圆锥底面→圆。
（1）扇形半径 = 圆锥母线l
（2）扇形弧长 = 圆锥底面圆周长2πr
3.圆锥侧面积公式（必背）
4、圆锥全面积（表面积）
A卷·基础过关
（时间：60分钟 满分：120分）
一、选择题（共30分）
1.（2025·盐城射阳期末）下列关于圆的说法正确的是（ ）
A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 长度相等的弧是等弧 D. 圆只有一条对称轴
2.（2026·盐城建湖月考）已知⊙O半径为5，点P到圆心O距离是4，则点P与⊙O位置关系是（ ）
A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 无法判断
3.（2025·盐城大丰期中改编）在半径为的圆中，弦的中点为，。则的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2026·盐城亭湖一模改编）是同一个圆上依次排列的四个点。已知，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．一定是直径
D．
5.（2025·盐城阜宁期末改编）一个正方形的外接圆与内切圆之间的圆环面积为。这个正方形的边长是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2026·盐城鹿鸣路初中月考改编）圆半径为，圆内点满足。经过的弦的长度可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（2025·盐城滨海期中改编）A在圆上，在圆外，连接。已知且。直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不能确定
8.（2026·盐城康居路集团期中改编）.如图P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,若∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为( )
A.3 B.3 C.6 D.9
9.（2025·盐城东台期末改编）如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B． C． D．
10.（2026·盐城二模改编）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. B． C． D．
二．填空题（共30分）
11.（2025·盐城建湖期末改编）☉O半径为，两条平行弦所在直线的距离为。其中一条弦长为，另一条弦长为________。
12.（2026·盐城射阳月考改编）半径为的半圆直径为，圆心为。点从出发，以每秒个单位长度依次沿、半圆弧、运动，最后回到。当时，已运动的时间为________秒。
13.（2025·盐城亭湖期中改编）圆的直径。点在圆上且不与重合，若，则________。
14.（2026·盐城大丰一模改编）一个圆锥的底面周长为厘米，侧面展开图为圆心角的扇形。这个圆锥的母线长为________厘米。
15.（2025·盐城阜宁期中改编）圆的半径为。弦，点在优弧上，点在劣弧上，且都不与端点重合。则________度。
16.（2026·盐城滨海期末改编）半径为的圆内接等边三角形，每条边到圆心的距离为________。
17.（2025·盐城东台月考改编）圆形纸片半径为厘米。剪出一个以纸片圆心为顶点、圆心角为的扇形，卷成无底圆锥（接缝忽略）。这个圆锥的高为________厘米。
18.（2026·盐城盐都一模改编）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上
19.（2025·盐城康居路期末改编）如图，点A，B，C在半径长为4的⊙O上，点D，E分别是弦AB，弦BC的中点，连接DE，若弧AB的度数为70°，弧BC的度数为50°，则DE的长度为 __________．
20.（2026·盐城景山中学月考改编）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是________cm
三．解答题（共60分）
21.（8分）已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，AB的中点为点M．
（1）以点C为圆心，4为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？
（2）若以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
22.（8分）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．
23．（10分）（26-27九年级上·江苏·期中）如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长．
24.（10分）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
(1)若与关于原点成中心对称，则点的坐标为______；
(2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转90°，得到，则点的坐标为______；
(3)求出（2）中线段扫过的面积．
25.（12分）【阅读理解】
如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．
【类比探究】
如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】
如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．
26.（12分）阅读理解
【学习心得】
（1）小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=46°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= 23 °．
【问题解决】
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=28°，求∠BAC的数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
【问题拓展】
（3）如图3，在△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC=∠DFC．
B卷·强化提优
（时间：60分钟 满分：120分）
一．选择题（共30分）
1.（2026·盐城二模改编）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2025·盐城一模改编）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（ ）
A. B． C． D．
3.（2026·盐城射阳二模改编）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A. B． C． D．
4．（2025·盐城建湖期末改编）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（ ）
A. B． C． D．
5．（2026·盐城大丰一模改编）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（ ）
A. B． C． D．
6．（2025·盐城亭湖二模改编）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（ ）
A. B． C． D．
7.．（2026·盐城阜宁二模改编）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（ ）
A. B． C． D．
8．（2025·盐城滨海期末改编）如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（ ）
A．4 B．6 C． D．
9.（2026·盐城东台二模改编）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）.
A.4 B. C. D. 2
10.（2025·盐城盐都二模改编）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )
A. B. C. D．2
二．填空题（共30分）
11.（2026·盐城二模改编）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是 ．
12.（2025·盐城射阳一模改编）如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________个．
13．（2026·盐城建湖二模改编）如图，点，，在上，若，则______度．
14.（2025·盐城大丰期末改编）如图，为的内切圆，切点分别为，已，则的半径为__________．
15．（2026·盐城亭湖二模改编）如图，正五边形内接于，求的度数___ ．
16．（2025·盐城阜宁二模改编）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________．
17．（2026·盐城滨海一模改编）如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________．
18．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，为上一点，，为圆上一动点，为的中点，连接，若的半径为，则的取值范围是__________．
19.（2026·盐城康居路二模改编）如图，直角三角形ABC中，，将三角形的斜边AB放在定直线L上，将点A按顺时针方向在L上转动两次，转动到的位置，设BC＝1，AC＝，AB＝2，则点A所经过的路线长是____________．
20．（2025·盐城景山中学期末改编）如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为________．
三．解答题（共60分）
21.（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，AD是高线，AE是中线．
（1）以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，则点B，D，E，C与⊙A的位置关系怎样？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
22.（8分）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
23．（10分）（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、．
①求证的形状，并说明理由；
②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积．
24.（8分）将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．
（1）
求线段的长度；
（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程．
25.（12分）如图1，正方形内接于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中，连接并延长交于点，连接，，过作于点，连接．
(1)如图1，若，，共线，求的值；
(2)试探究的大小与的关系，并说明理由；
(3)当为等腰直角三角形时，求的值．
26.（14分）深入学习
【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．
【数学理解】如图①，在中，AB是弦，，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
（1）若的半径为5，OP的长为3，则AB的长为______．
（2）若的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是______．
【问题解决】
（3）若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°．
（4） 已知如图②给定的线段EF和，点Q是内一定点．过点Q作弦AB，满足，请问这样的弦可以作______条．
(
1
)
学科网（北京）股份有限公司
$
数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上
《第三章圆小结与思考（单元小结）》提优特训A·B卷
一．特训目标
(
1.系统掌握圆的基本概念、点/直线与圆的位置关系、正多边形与圆的核心定义，构建圆的几何知识体系。
2.熟练运用垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质定理，规范完成几何推理、角度与线段推导。
3.掌握圆中常规辅助线作法，能结合图形变换、割补思想解决圆的综合计算、阴影面积问题。
4.熟练掌握弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算公式，建立圆的几何计算模型，适配中考综合题型。
)
二．重点难点
(
【重点】
1.
圆的基本性质：垂径定理及推论、圆心角/弧/弦关系、圆周角定理及推论的应用。
2.
位置关系：点与圆、直线与圆的位置关系判定，切线的判定、性质、切线长定理核心应用。
3.
三角形内外心：外接圆（外心）、内切圆（内心）的定义、性质与简单计算。
4.
圆的计算：弧长、扇形面积、圆锥侧面展开图对应关系、阴影面积割补计算。
【难点】
1.
多个圆定理综合嵌套，复杂图形中角度、线段长的推理与计算。
2.
切线证明两类模型（作半径证垂直、作垂直证半径）的精准选用与规范书写。
3.
圆锥侧面展开图等量转化：底面圆周长与扇形弧长的对应关系辨析。
4.
圆内接四边形、动点圆、隐圆问题的综合分析与几何建模。
)
三．知识梳理
【模块1】：圆的基本概念与要素
（一）圆的定义
1.描述性定义（动态定义）：
平面内，一条线段绕固定端点旋转一周，另一个端点运动形成的图形叫做圆。固定端点叫圆心O，旋转的线段叫半径r；记作⊙O，读作“圆O”。
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；两个条件缺一不可，只定圆心不能确定圆。
2.集合定义（静态定义）：
圆是平面内，到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合。
3.注意：
⊙O指圆周（一圈曲线），不是内部填充的圆面；圆面是到定点距离小于等于定长的点的集合。
4.同圆、同心圆、等圆
（1）同圆：同一个圆，半径全部相等。
（2）同心圆：圆心相同，半径不相等。
（3）等圆：半径相等的两个圆，圆心位置可以不同；等圆可以经过平移完全重合。
（二）弦与直径
1.弦：
（1）定义：连接圆上任意两点的线段。两端必须都落在圆周上。如图中线段AB,CD;
（2）理解：
①弦是线段，不是曲线，不是直线；有两个端点。
②两个端点必须都在圆周（圆上），一个点在圆心不算弦。
2.直径：
（1）定义：经过圆心的弦。如上图中线段AB.
（2）理解：
①直径属于特殊的弦，也是圆中最长的弦。
②数量关系：直径 D=2r。
重要结论：直径一定是弦，但弦不一定是直径；直径是圆里面最长的弦；半径一端在圆心，另一端在圆上，半径不是弦（弦要求两个端点都在圆上）。
3.关系：
直径一定是弦，弦不一定是直径。直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
4.辨析：半径不是弦
半径：一端在圆心，一端在圆上。只有一个端点在圆上，不满足弦“两个端点都在圆上”的条件，所以半径不属于弦。
（三）弧、半圆、优弧、劣弧
1.圆弧（弧）：
圆上两点间的曲线部分；以C,D为端点的弧,记作，读作“弧CD”。
2.半圆：
直径两端点分割圆得到的弧，等于圆周长一半；
3.劣弧：
小于半圆的弧，用两个字母表示；如图中的，BC是劣弧.
4.优弧：
大于半圆的弧，必须用三个字母表示；如图中的是优弧.
5.等弧：
在同圆或者等圆中，能够完全互相重合的弧叫做等弧。
【补充说明】：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
③同圆中优弧＞半圆＞劣弧。
④仅仅弧长相等，不能叫等弧；大小不一样的圆，弧长再长也不可能是等弧。
【模块2】：圆的对称性
（一）圆的两种对称性
1.轴对称性：
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。
注意：对称轴是直线，直径是线段，不能表述为“直径是圆的对称轴”，正确表述：直径所在直线是圆的对称轴 。
2.中心对称与旋转不变性
（1）旋转不变性
观察下列图形并回答问题
从上面的图形可以看出:圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的圆重合。圆的上述性质称为旋转不变性.
圆绕圆心旋转任意角度，都能与原图形完全重合，是独有的性质。
（2）中心对称：
我们知道:把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
由此可见:圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
（二）垂径定理及其推论
1.垂径定理：
（1）内容：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。
（2）几何语言：
如图若CD是⊙O直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，
∵ CD是直径，CD⊥AB于E，
∴ AE=BE,
2.垂径定理的推论：
（1）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
（2）推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）推论3：平分弦所对一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
五要素知二推三：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦劣弧 ⑤平分弦优弧；推论特殊限制：平分弦（弦不是直径）的直径，才垂直弦；若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直。
（三）圆心角、弧、弦的关系
1.圆心角：
（1）定义：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。
（2）定理：在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量全部相等（知一推二） 。
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等
②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧对应相等.
注意：前提条件不能丢，不在同圆、不等圆，结论不成立。
2.弧的度数
弧的度数 = 它所对圆心角的度数。
例：60o圆心角对着60o的弧；90o的弧对应的圆心角是90o。
注意：弧的度数只看圆心角大小，和圆半径大小无关。
3.平行弦小拓展
圆中两条互相平行的弦，所夹的两段弧相等；
如图,若AB‖CD，则
注意：平行弦距离题目要分两种情况：两弦在圆心同侧；两弦在圆心异侧，需要分类计算。
【模块3】确定圆的条件
（一）过已知点作圆的探究
1.经过1个点作圆：
可以作无数个圆。圆心可以是除该点以外平面内任意一点，半径为圆心到该点距离。
【结论】：过一点的圆有无数个，圆心为除该点以外任意一点.半径为圆心到该定点距离。
2.经过2个点作圆：
可作无数个圆，所有圆心都在线段AB的垂直平分线上，半径为圆心到A（或B）的距离。
【原理】：线段垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等，满足OA=OB。
【结论】：经过2个点可以作无数个圆。圆心必须在该线段的垂直平分线上；垂直平分线上任意一点都可以作为圆心，圆心到该线段端点的距离为半径。
3.经过三个点作圆
（1）三点共线：无法作出同时经过三点的圆；
经过同一条直线上的三个点不能作圆.原因：两条垂直平分线互相平行，没有交点，找不到圆心，无法画圆。
（2）三点不在同一直线：
【作法】：①连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
②连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
③以O为圆心，OA为半径作圆．
所以⊙O就是所求作的圆．
通过刚刚的作图过程，∵直线MN和EF只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.
【结论】：不在同一直线三点确定有1个圆（核心定理）。圆心：其中两条线段垂直平分线的交点；半径：交点到任意一个已知点的距离。
【点拨】：命题“三点确定一个圆”是错误，必须带上前提条件“不在同一直线上”。
（二）三角形的外接圆、圆的内接三角形、三角形的外心
1.三角形的外接圆：
用直尺和圆规作一个圆，使它经过 △ABC的三个顶点。
【作法】:
（1）作线段AB的垂直平分线MN;
（2）作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O;（3）连接OB.（4）以O为圆心，OB为半径作圆.
⊙O就是所求作的圆.
【结论】：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.任意三角形有且只有1个外接圆；
2.圆的内接三角形：
（1）定义：如果三角形的三个顶点都在同一个圆上，这个三角形就叫做这个圆的内接三角形。
（2）一个圆，有无数个内接三角形。在圆周上任取3个不同的点，连接都可以得到该圆的内接三角形。
3.外心：
（1）定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
（2）作图：只需作任意两条边的垂直平分线，交点就是外心，第三条垂直平分线一定经过该交点。
（3）性质：外心到三角形三个顶点距离相等，即OA=OB=OC，这三条线段都是外接圆半径R。
（4）不同类型三角形外心的位置
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形的外心与这个三角形的位置关系。
①锐角三角形 三角形内部 普通计算，多用垂直平分线、勾股定理求
②直角三角形 斜边中点 ，斜边就是外接圆直径
③钝角三角形 三角形外部 外心在最长边外侧
记忆口诀：锐内、直中、钝外。
（三）实际应用：残破圆形物件找圆心
瓷器碎片、破损圆盘复原整圆：在圆弧上任取三个不在同一直线上的点，连接两点作两条线段的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到点距离就是半径，即可补全整圆。
（四）拓展：反证法简单理解
证明“同一直线上三点不能作圆”
已知：点A、B、C在直线l上。
求证：过A、B、C三点不能作圆。
证明：假设过在同一直线上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为O。
因为OA=OB（都是圆的半径），所以点O在线段AB的垂直平分线上；同理，OB=OC，点O在线段BC的垂直平分线上。线段AB、BC都在直线l上，它们的垂直平分线都垂直于直线l。于是，过点O可以作出两条不同的直线同时垂直于直线l。与基本公理，过平面内一点，有且只有一条直线与已知直线垂直互相矛盾。∴假设不成立。故：过同一直线上的三点不能作圆。
【归纳】反证法简单步骤：
①假设：假设要证明的结论反过来是正确的；
②推理，推出和公理、定理矛盾；
③说明假设错误，原命题成立。
【模块4】圆周角
（一）圆周角的定义（必考辨析）
1.定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫做圆周角。
如图中∠BA1C,∠BA2C,∠BA3C这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2.两个缺一不可条件
（1）顶点必须在圆上；
（2）角的两条边必须与圆有另外交点（两边是圆的弦）。
3.快速排除
（1）顶点在圆内、圆外→不是圆周角
（2）一边相切、一边相交→不是圆周角
（二）圆周角定理（本节核心、必考）
1.定理内容：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且圆周角度数 = 这条弧所对圆心角度数的一半。
2.公式：
圆周角的度数=圆心角
（核心前提：同圆/等圆、同弧/等弧，否则定理不成立。）
（三）圆周角三大黄金推论
推论1：等弧对等角、等角对等弧
同圆或等圆中：弧相等⇔所对圆周角相等
推论2：直径模型
半圆（直径）所对的圆周角是直角（90°）
【口诀】：遇直径，构直角（看到直径，优先连接弦构造Rt△）
推论3：直角返推直径
90°的圆周角所对的弦一定是圆的直径（用于：判定直径、找圆心、确定半圆。）
（四）弧对应两类圆周角（提优难点）
1.劣弧对应：锐角圆周角
2.优弧对应：钝角圆周角
3.重要结论：同一条弦所对的两个圆周角互补（一个优弧、一个劣弧），考试大题、多解填空题必考！
（五）圆心角、圆周角、弧度数关系汇总
1.弧的度数 = 所对圆心角度数
2.圆周角度数 = 对应弧的度数
3.等弧⇔等圆心角⇔等圆周角（同圆等圆）
（六）圆内接四边形
1.圆内接多边形的定义
如果一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形;这个圆叫做这个多边形的外接圆如图，四边形ABCD是0的内接四边形，0是四边形ABCD的外接圆。
2.性质
（1）圆内接四边形性质1:圆内接四边形的对角互补.
如图，四边形ABCD是0的内接四边形，∠D=50°则∠ABC=130°
如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE=105°。
（2）圆内接四边形性质2:圆内接四边形任意一个外角等于和它相邻的内角的对角.
补充：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
（七）常用解题辅助线套路
1.看到直径：连端点弦，构造90°直角三角形
2.看到同角、等角：找公共弧、转移角度
3.求未知角：优先转化为同弧圆心角
4.动点角度题：锁定固定弧，角度不变
【模块5】点与圆、直线与圆的位置关系
（一）点与圆的位置关系
1.点和圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
（1）点P在圆内 d ＜ r ；
（2）点P在圆上 d = r ；
（3）点P在圆外 d ＞r.
2.圆的集合定义（静态定义）的拓展
若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
（1）圆内是所有d<r点的集合，
（2）圆上是d=r点的集合，
（3）圆外是d>r点的集合。
3.核心：
点和圆的位置，转化为点到圆心距离和半径大小比较
（二）直线与圆的位置关系
1.相关概念：
（1）相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交;
（2）相切：直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点;
（3）相离：直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离.
2.直线与圆的位置关系的判断
设☉O半径r，圆心到直线垂线段距离d（必须是垂线，斜线段无效），直线与圆的位置关系如下表
位置关系
公共点个数
数量关系
直线名称
相交
2个
d ＜ r
割线
相切
1个
d = r
切线，唯一公共点叫切点
相离
0个
d ＞r
无专用名称
（三）切线判定与性质
1.切线判定（2种）
（1）定义：直线与圆有唯一公共点；
（2）切线的判定定理：
①定理：经过半径外端，且垂直于这条半径的直线是圆切线（两个条件缺一不可）。
②文字语言： 经过半径的外端点 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
③符号语言：
如图，在⊙0中0C是⊙0的半径，直线AB过点C,且 0C⊥AB于点C.
∵ 0C是⊙0的半径，且 0C⊥AB于点C , (注：两个条件缺一不可)
∴ AB是⊙0的切线.
2.切线性质
（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；
l
（2）过圆心且垂直切线的直线必经过切点；
（3）过切点且垂直切线的直线必经过圆心。
3.切线证明两大辅助线模型：
（1）已知点在圆上（有公共点）：连半径，证垂直，连接圆心和该公共点，证明连线与已知直线垂直。
（2）不知公共点（无明确交点）：作垂直，证半径，过圆心向直线作垂线段，证明垂线段长度等于圆半径。
（四）基础拓展--切线长定理
1.切线的画法
用直尺和圆规作出圆外一点的圆的切线的步骤：
（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP 交于点C；
（2）以点C为圆心，CO 为半径作圆，与⊙O 相交于A，B两点；
（3）作直线PA，PB，即所求作的切线.
2.切线长
（1）定义：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长．
【注意】：切线是直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
（2）切线长定理：
①内容：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
②几何语言:
PA，PB分别切☉O于点A，B
③推理：
推论1：圆心与圆外一点的连线OP垂直平分切点弦AB。
说明：∵PA=PB，OA=OB，→ P、O都在AB的垂直平分线上，所以OP垂直平分AB
推论2：切线夹角与两切点圆心角互补。
如图，PA，PB分别切☉O于点A，B，那么∠APB+∠AOB=180o。
依据：OA⊥PA，OB⊥PB，四边形OAPB内角和360o，两个直角之和180o，剩余两角互补
推论3：圆外切四边形的两组对边之和相等（定理，圆外切四边形性质）
若四边形ABCD是☉O的外切四边形，则AB+CD=AD+BC，这是切线长定理最重要的拓展推论，中考高频考点
推论4：PA，PB分别切☉O于点A，B，那么△PAB是等腰三角形（PA=PB），∠ PAB=∠ PBA。
【补充说明】教材正文没有单独把这几条标注成“推论”，属于由切线长定理推导出来的常用二级结论，中考填空选择可以直接使用，解答大题如果直接用，最好简单书写推导过程。
（五）三角形内切圆
1.定义：
与三角形三边都相切的圆叫内切圆，圆心内心，是三条角平分线交点，永远在三角形内部。
2.性质：
（1）点O到三角形三边的距离相等;
（2）AO,BO,CO分别平分∠BAC,∠ABC,∠BCA;
（3）内心O一定在三角形的内部
3.核心公式：
（1）通用面积公式：S△=(a+b+c)·r（a、b、c三边长，r内切圆半径）；
（2）Rt△简化公式：直角边a、b，斜边c，r=；
（六）圆外切四边形
1.定义：
圆外切四边形是指四边都与同一个圆相切的四边形，这个圆叫做四边形的内切圆。
2.性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等。
3.推论：
（1）圆外切平行四边形一定是菱形.
（2）圆外切梯形的两腰之和等于上下底之和。
4.判定：
（1）判定1：四边都与同一个圆相切的四边形是圆外切四边形
（2）数量关系判定（考试最常用，计算类题型核心）
凸四边形两组对边之和相等四边形有内切圆（圆外切四边形）
（3）特殊四边形专属判定（推论，快速判断）
①平行四边形
平行四边形为圆外切四边形该平行四边形是菱形
②梯形
梯形为圆外切四边形梯形两腰长度之和 = 上下底长度之和
（4）角平分线判定（证明大题专用）
凸四边形四个内角的角平分线交于同一点，则该四边形是圆外切四边形
①原理：角平分线交点到四条边距离相等，以该距离为半径、交点为圆心作圆，四边均与圆相切；
②辅助证明套路：
a作四边形四个内角平分线，交于一点I；
b过I向四条边作垂线段，证四条垂线段长度相等；
c以I为圆心、垂线段长为半径作圆，四边均切于圆，判定为外切四边形
【模块6】正多边形与圆
（一）正多边形基础定义
1.定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形.如果一个正多边形有 n (n ≥ 3) 条边，那么这个正多边形叫作正 n 边形.
2.理解：
各边相等，各内角也相等的凸多边形叫正多边形，两个条件缺一不可。
（1）菱形：四边相等，但内角不等，不是正多边形；
（2）矩形：四角相等，但边长不等，不是正多边形。
（二）正多边形与圆的核心关系（核心）
1.圆生成正多边形
将一个圆 n (n ≥ 3) 等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正 n 边形的各顶点 n 等分其外接圆.
2.正多边形生成双圆
（1）任意一个正多边形，有且只有一个外接圆和一个内切圆，两圆圆心重合，称为同心圆。
（2）圆内接正多边形：顶点都在圆上；
圆外切正多边形：各边都与圆相切。
（三）正多边形四大专属概念（必须精准区分）
设正n边形中心为O，边长a
1.中心：正多边形外接圆（内切圆）的圆心。
2.正多边形半径R：外接圆半径（顶点到中心的距离）。
3.中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。公式：
4.边心距r：中心到正多边形任意一条边的距离（即内切圆半径，也是正多边形的高）
（四）正多边形万能角度公式（直接秒杀填空选择）
设正多边形边数为n（n≥3且整数）
1. 中心角公式：
2.单个内角：
3.单个外角： ，外角=中心角
4.内角+中心角=180o，（互补）
（五）唯一核心计算模型（大题必考）
连接中心与任意两个相邻顶点，作边心距垂直边长：半径R、边心距r、半边长构成直角三角形，满足：R2=r2+()2
（1）斜边：外接圆半径R
（2）直角边1：边心距r
（3）直角边2：边长的一半
（六）周长与面积公式
1.周长：C=na
2.面积（所有正多边形通用）：S=Cr（周长×边心距÷2）
（七）常见特殊正多边形秒杀结论
1. 正四边形（正方形）
（1）中心角：90o
（2）边长、半径、边心距可通过等腰直角三角形快速换算
2. 正六边形（最高频考点）
（1） 中心角：60o
（2）正六边形边长 = 外接圆半径
（3）可分割为6个全等的等边三角形
（4）边心距：r=R
3. 正三角形
（1）中心角120o，
（2）边心距：半径：高=1：2：3
（八）正多边形对称性规律
1. 所有正多边形都是轴对称图形，对称轴条数=边数n。
2. 边数为偶数的正多边形：既是轴对称，又是中心对称图形。
3. 边数为奇数的正多边形：只轴对称，不是中心对称。
（九）尺规作图（教材实验考点）
1. 正四边形：作圆的两条互相垂直直径，顺次连接端点。
2. 正六边形：在圆上依次截取等于半径的弦，六等分圆周。
【模块7】扇形
（一）核心概念
1.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧是曲线，只有长度，没有面积。
2.扇形：由一条弧和经过这条弧两端点的两条半径所围成的封闭图形。
（1）扇形三要素：半径R、圆心角n°、对应弧长l。
（2）扇形是圆的一部分，圆心角占360°的比例 = 弧长占圆周长比例 = 扇形面积占圆面积比例（所有公式的底层原理）。
（二）三大必考公式（核心）
1.弧长公式
圆周长C=2πR，360°对应整圆周长，1°圆心角弧长：，n°圆心角弧长：（n不带单位°）。
适用场景：已知圆心角、半径，求曲线长度；旋转轨迹长度。
2.扇形面积两套公式
（1）角度式面积公式 S扇形=
360o圆心角，对应整个圆的面积πR2 =>1o圆心角对应的扇形面积： => no圆心角对应的扇形面积：S扇形=
（2）弧长关联式面积公式 S扇形=lR
已知弧长公式：，变形得 代入角度面积公式：S扇形=
（三）公式互推与选型技巧
1.给角度优先用：，S扇形=
2.给弧长优先用：S。
3.知二求二：四个量（n、R、l、S），任意已知两个，可求剩余两个。
（四）三类必考图形面积模型
1.弓形面积S弓形=S扇形±S三角形
（1）劣弧弓形(弧<半圆）
S弓形=S扇形-S三角形
（2）优弧弓形(弧>半圆）
S弓形=S扇形+S三角形
2. 常规阴影组合模型
（1）阴影 = 扇形面积 − 三角形面积
（2）阴影 = 大圆/小圆面积 ± 扇形面积
（3）多扇形拼接：等圆心角、等半径扇形可直接合并角度计算
3. 旋转扫过面积（压轴高频）
图形绕定点旋转，扫过区域为环形扇形：扫过面积 = 大扇形面积 − 小扇形面积
（五）重要规律结论（提速秒杀）
1.同圆中：圆心角越大，弧长越长、扇形面积越大。
2.圆心角相等：半径越大，弧长、面积越大。
3.半径相等：圆心角成正比等于弧长、面积之比。
（六）圆锥相关知识
1.圆锥相关概念
（1） 形成：直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。
（2）母线：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段。圆锥所有母线长度都相等
（3）高：圆锥顶点到底面圆心的垂线段
（4）底面半径：圆锥底面圆的半径
（5）母线、半径、高关系的（勾股定理必考）
母线2=半径2+高2
母线是直角三角形斜边，永远最长
2.圆锥展开图
圆锥侧面沿母线剪开 → 扇形，圆锥底面→圆。
（1）扇形半径 = 圆锥母线l
（2）扇形弧长 = 圆锥底面圆周长2πr
3.圆锥侧面积公式（必背）
4、圆锥全面积（表面积）
A卷·基础过关
（时间：60分钟 满分：120分）
一、选择题（共30分）
1.（2025·盐城射阳期末）下列关于圆的说法正确的是（ ）
A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 长度相等的弧是等弧 D. 圆只有一条对称轴
【答案】：B
【解析】：直径是弦，但弦不一定是直径；等弧要求同圆或等圆中能够完全重合；圆有无数条对称轴。
2.（2026·盐城建湖月考）已知⊙O半径为5，点P到圆心O距离是4，则点P与⊙O位置关系是（ ）
A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 无法判断
【答案】：C
【解析】：d=4<r=5，点在圆内。
3.（2025·盐城大丰期中改编）在半径为的圆中，弦的中点为，。则的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，且。由勾股定理得，所以，
4.（2026·盐城亭湖一模改编）是同一个圆上依次排列的四个点。已知，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．一定是直径
D．
【答案】A
【解析】内接四边形的对角互补，故，得，。由这些条件不能确定邻边相等或某条对角线为直径。
5.（2025·盐城阜宁期末改编）一个正方形的外接圆与内切圆之间的圆环面积为。这个正方形的边长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设边长为，内切圆半径为，外接圆半径为。圆环面积为，得
6.（2026·盐城鹿鸣路初中月考改编）圆半径为，圆内点满足。经过的弦的长度可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】圆心到这条弦所在直线的距离满足，半弦长为，故弦长在内。四个选项中只有在范围内。
7.（2025·盐城滨海期中改编）A在圆上，在圆外，连接。已知且。直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不能确定
【答案】B
【解析】，所以。直线垂直于过圆上点的半径，因此相切。
8.（2026·盐城康居路集团期中改编）.如图P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,若∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为( )
A.3 B.3 C.6 D.9
【答案】：A
【解析】：如图,连接OA.∵PA为☉O的切线,A为切点,∴∠OAP=90°.∵OB=3,∴OA=3.∵∠P=30°,∴OP=6,∴BP=6-3=3.故选A.
9.（2025·盐城东台期末改编）如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，∵为的直径，∴，∵在中，，∴是的中线，∵是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴阴影部分的面积，∵，∴，∵四边形是圆的内接四边形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴阴影部分的面积．
10.（2026·盐城二模改编）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. B． C． D．
【答案】A
【解析】扇形的长为：，∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，设围成圆锥的底面半径为，∴解得：．
二．填空题（共30分）
11.（2025·盐城建湖期末改编）☉O半径为，两条平行弦所在直线的距离为。其中一条弦长为，另一条弦长为________。
【答案】
【解析】长为的弦到圆心距离为。两弦若在圆心同侧，它们之间距离小于，不可能为。故在异侧，另一弦到圆心距离为，弦长为。
12.（2026·盐城射阳月考改编）半径为的半圆直径为，圆心为。点从出发，以每秒个单位长度依次沿、半圆弧、运动，最后回到。当时，已运动的时间为________秒。
【答案】或
【解析】在上首次满足条件用时秒；沿半圆弧时恒有；回程上满足条件时已走个单位长度。
13.（2025·盐城亭湖期中改编）圆的直径。点在圆上且不与重合，若，则________。
【答案】
【解析】直径所对的圆周角为直角，所以。由得，故乘积为。
14.（2026·盐城大丰一模改编）一个圆锥的底面周长为厘米，侧面展开图为圆心角的扇形。这个圆锥的母线长为________厘米。
【答案】
【解析】底面周长等于扇形弧长，故，解得。
15.（2025·盐城阜宁期中改编）圆的半径为。弦，点在优弧上，点在劣弧上，且都不与端点重合。则________度。
【答案】
【解析】，所以。优弧上的圆周角，劣弧上的圆周角，两者之差为。
16.（2026·盐城滨海期末改编）半径为的圆内接等边三角形，每条边到圆心的距离为________。
【答案】
【解析】圆心到边的垂线平分该边及其所对圆心角；顶角为的等腰三角形被分为两个含角的直角三角形。圆心到边的距离等于半径的一半，为。
【易错提醒】等边三角形外接圆半径是内切圆半径的两倍。
17.（2025·盐城东台月考改编）圆形纸片半径为厘米。剪出一个以纸片圆心为顶点、圆心角为的扇形，卷成无底圆锥（接缝忽略）。这个圆锥的高为________厘米。
【答案】
【分析】圆锥展开与轴截面勾股关系。扇形半径与圆锥高不能混淆。
【详解】展开扇形半径为母线，弧长为，故底面半径为。由勾股定理，圆锥高为。
18.（2026·盐城盐都一模改编）如图，原点右边7个单位有一点P，数轴上半径为1的从原点O开始以每秒2个单位的速度向右运动，经过 秒，点P在上
【答案】或
【解析】当第一次点在圆上时，秒，当第二次点在圆上时，秒，综上所述，经过或秒，点P在上，故答案为：或．
19.（2025·盐城康居路期末改编）如图，点A，B，C在半径长为4的⊙O上，点D，E分别是弦AB，弦BC的中点，连接DE，若弧AB的度数为70°，弧BC的度数为50°，则DE的长度为 __________．
【答案】2
【解析】连接OA，OC，AC，作OF⊥AC于点F，∵弧AB的度数为70°，弧BC的度数为50°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，AC＝2CF＝2AF，∵OC＝4，∴OF＝OC＝2，∴CF＝OF＝2，∴AC＝4，∵点D，E分别是弦AB，弦BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝2．
20.（2026·盐城景山中学月考改编）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是________cm
【答案】
【解析】∵底面圆半径为2，底面周长为，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为，根据题意有：，解得：，如图，∴，且为最短路径．圆锥的母线长为，，∴，故最短路径长是．故选：D．
三．解答题（共60分）
21.（8分）已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，AB的中点为点M．
（1）以点C为圆心，4为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？
（2）若以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，AB的中点为点M，∴AB＝＝＝，CM＝AB＝，∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，∴AC＝4，则A在圆上，CM＝＜4，则M在圆内，BC＝5＞4，则B在圆外；
（2） 以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，r＞，当至少有一点在⊙C外时，r＜5，故⊙C的半径r的取值范围为：＜r＜5．
22.（8分）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．
解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为xm，则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝30m，∴AM＝AB＝15（m），在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣9）2+152，解得：x＝17，即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）∵OP＝17m，∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝8（m），∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，
∴不需要采取紧急措施．
23．（10分）（26-27九年级上·江苏·期中）如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长．
解：(1)证明：连接，
，，又，，又，，，，，，，又为的半径，为的切线；
（2）解：连接，如图所示：
是直径，，，，，，，，．
24.（10分）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
(1)若与关于原点成中心对称，则点的坐标为______；
(2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转90°，得到，则点的坐标为______；
(3)求出（2）中线段扫过的面积．
解：（1）∵与关于原点成中心对称，，∴点的坐标为．故答案为：；
(2)如图，即为所求，点的坐标为．故答案为：；
(3)∵，，∴线段扫过的面积=扇形的面积-扇形的面积．
25.（12分）【阅读理解】
如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．
【类比探究】
如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】
如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．
解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边 分别交于点∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，
∴．
拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边 分别交于点∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，
∴．
∵四边形面积为，∴正六边形的面积为6．
26.（12分）阅读理解
【学习心得】
（1）小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=46°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= 23 °．
【问题解决】
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=28°，求∠BAC的数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
【问题拓展】
（3）如图3，在△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC=∠DFC．
解：（1）如图1，∵AB=AC，AD=AC，∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC=∠BAC=23°，故答案是：23°；
（2）证明：取BD中点O，连接AO、CO，在Rt△BAO中，AO=BD，同理：CO=BD
∴AO=DO=CO=BO，∴点A、B、C、D在以O为圆心的同一个圆上，∴∠BAC=∠BDC=28°；
（3）∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴点A、F、H、E在以AH为直径的同一个圆上，∴∠EFC=∠DAC，同理：点B、D、H、E在以BH为直径的同一个圆上，∠DFC=∠CBE，又∵∠DAC=∠EBC，∴∠EFC=∠DFC．
B卷·强化提优
（时间：60分钟 满分：120分）
一．选择题（共30分）
1.（2026·盐城二模改编）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵是的直径与弦交于点，，根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点，∴， ，
但不能证明，故选项说法错误，符合题意；故选：B．
2.（2025·盐城一模改编）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（ ）
A. B． C． D．
【答案】C
【JX 】由圆内接四边形的性质可知：，∵，∴， ∵， ∴．
3.（2026·盐城射阳二模改编）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A. B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，是的切线，，，，，．
4．（2025·盐城建湖期末改编）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（ ）
A. B． C． D．
【答案】B
【解析】如图由图可知：的外心坐标是；故选B．
5．（2026·盐城大丰一模改编）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（ ）
A. B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．则的度数为．
6．（2025·盐城亭湖二模改编）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（ ）
A. B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点作，交于点，交于点，设筒车的半径为，则，∴．∵，∴．在中，，∴，解得，∴筒车的直径是．
7.．（2026·盐城阜宁二模改编）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（ ）
A. B． C． D．
【答案】B
【解析】设与交于点E，如图所示：∵，，∴，∵，为半径，∴，∴，∴．
8．（2025·盐城滨海期末改编）如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】设与的交点为，设与的交点为，如图所示，由题意可知，，在和中，，，在和中，，，根据和，观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积．，半圆的面积为，阴影部分的面积为．
9.（2026·盐城东台二模改编）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）.
A.4 B. C. D. 2
【答案】：D
【解析】：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选：D．
10.（2025·盐城盐都二模改编）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )
A. B. C. D．2
【答案】：A
【解析】：由题意可知，AF＝AE＝BF＝BG＝2，DE＝DN＝3，设GM＝x，则MN＝x，DM＝3＋x，CM＝3－x.在Rt△DMC中，∵DM2＝CM2＋CD2，∴(3＋x)2＝(3－x)2＋42，解得x＝，∴DM＝DN＋MN＝3＋＝.故选A.
二．填空题（共30分）
11.（2026·盐城二模改编）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是 ．
【答案】-1
【解析】如图，连接AP，∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），∴AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，∴AB＝AC，∵∠BPC＝90°，∴AP＝BC＝AB＝t，要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，∴点P在AD上，∵A（0，1），D（3，3），
∴AD＝＝，∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝﹣1，故答案为﹣1．
12.（2025·盐城射阳一模改编）如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________个．
【答案】5
【解析】如图，根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，画出⊙O.根据几何直观即可得到⊙O除经过A，B，C三点外还能经过的格点数是5个．
13．（2026·盐城建湖二模改编）如图，点，，在上，若，则______度．
【答案】
【解析】是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角，．，．即．
14.（2025·盐城大丰期末改编）如图，为的内切圆，切点分别为，已，则的半径为__________．
【答案】1
【解析】如图，连接﹒∵为切线，∴，∴，∵，∴四边形为矩形，∵，∴矩形为正方形﹒设的半径为r，则﹒∵为的内切圆，∴，∴在中，根据勾股定理得，解得（舍去）﹒∴的半径为1﹒故答案为：1
15．（2026·盐城亭湖二模改编）如图，正五边形内接于，求的度数___ ．
【答案】
【解析】如图，连接， 五边形是正五边形，，．故答案为：．
16．（2025·盐城阜宁二模改编）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________．
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，扇形半径为，由题意得，，∴圆锥底面周长，∴扇形面积．
17．（2026·盐城滨海一模改编）如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________．
【答案】70
【解析】连接，∵，∴∵，∴，∴∴的度数为，故答案为：．
18．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，为上一点，，为圆上一动点，为的中点，连接，若的半径为，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】如图，取的中点，连接，，，∵为的中点，为的中点，∴是的中位线，∴为定值，，∴点的移动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，∴当点在线段上时，最小；当点在线段的延长线上时，最大；∵，∴，在中，，∴最大为，最小为，∴．
19.（2026·盐城康居路二模改编）如图，直角三角形ABC中，，将三角形的斜边AB放在定直线L上，将点A按顺时针方向在L上转动两次，转动到的位置，设BC＝1，AC＝，AB＝2，则点A所经过的路线长是____________．
【答案】．
【解析】点A的路线是由以B为圆心AB＝2为半径，圆心角为120度所对的弧，加上与以为圆心，AC＝为半径的四分之一圆弧长之和，即＝． 故答案为：．
20．（2025·盐城景山中学期末改编）如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为________．
【答案】
【解析】设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，，，，与是等圆，，，，点是的中点，，，在中，，，，
，
的半径为：故答案为：．
三．解答题（共60分）
21.（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，AD是高线，AE是中线．
（1）以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，则点B，D，E，C与⊙A的位置关系怎样？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，∴BC＝＝5cm，∵AD•BC＝AB•AC，∴AD＝cm，∵AE是中线，∴AE＝BC＝2.5cm，∵r＝3cm，∴AB＝r，AD＜r，AE＜r，AC＞r，∴点B在⊙A上，点D、点E在⊙A内，点C在⊙A外；
（2）⊙A的半径r的取值范围为＜r＜4．
22.（8分）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD＝AB＝8（m），
又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m．
（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），
在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN＝＝＝，∴MN＝2EN＝2m＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．
23．（10分）（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、．
①求证的形状，并说明理由；
②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积．
解：(1)过点作于点，连接、．
∵是等腰三角形，是底边中点，∴，且平分．∵与相切于，∴．∵，∴．∵是的半径，∴也等于的半径，∴是的切线．
(2)①是等腰直角三角形，证明如下：∵是的直径∴．∵平分，∴．∴，∴．∴是等腰直角三角形．②．
24.（8分）将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．
（1）
求线段的长度；
（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程．
解：（1）∵MG∥PQ，∴∠FGM=∠FBP=30°．∴在中，（米）．（2）连接A1A2，则必过点D1，且四边形A1BGA2是矩形．∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．∵四边形ABCD和四边形A1BC1D1都是正方形，∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．∴（米）．∴在整个运动过程中，点A运动至A2的路程为：（米）．
25.（12分）如图1，正方形内接于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中，连接并延长交于点，连接，，过作于点，连接．
(1)如图1，若，，共线，求的值；
(2)试探究的大小与的关系，并说明理由；
(3)当为等腰直角三角形时，求的值．
解：（1）如图所示，连接，取的中点T，连接，∵四边形是正方形，
∴，∴都是的直径，∴点O为正方形对角线的交点，∴，∵，且，，共线，∴，；
由旋转的性质可得，∴；∵T为的中点，∴，∴是等边三角形，∴，
∴，即；
（2）的大小与无关，，是个定值，理由如下：如图所示，连接，∵四边形是正方形，∴，，
∴；由旋转的性质可得，
∴ ，，
∴，∴，
∴，∴，
∴；又∵，
∴，∴；∵，∴，
∴，∵，∴，∴，
∴E、F、D、G四点共圆，∴，∴的大小与无关，，是个定值；
（3）如图3-1所示，当时，过点A作交于M，∵，
∴是等腰直角三角形，∴，；∵四边形是正方形，∴ ，∴，∴，∴，由（2）可得，∴，∴， ∴；
如图3-2所示，当时，∵是等腰直角三角形，∴∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；
综上所述，的值为或．
26.（14分）深入学习
【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．
【数学理解】如图①，在中，AB是弦，，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
（1）若的半径为5，OP的长为3，则AB的长为______．
（2）若的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是______．
【问题解决】
（3）若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°．
（4） 已知如图②给定的线段EF和，点Q是内一定点．过点Q作弦AB，满足，请问这样的弦可以作______条．
解：（1）连接OA，如图，∵OP⊥AB，∴AP=BP=AB，在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP==4，∴AB=2AP=8，故答案为：8；
（2）：设⊙O的半径为r（r＞0）（定值），OP=x（x＞0），由（1）知，AB=2AP，
AP=， ，∵二次项-4x2的系数-4＜0，∴x＞0时，AB2随x的增大而减小，∵OP＞0，∴AB2随x的增大而减小，
∴AB也随x的增大而减小，即AB的长随OP的长增大而减小，故正确结论的序号是②，
故答案为：②；
（3）：连接OA，OB，∵弦心距等于该弦长的一半，∴OP=AP，∴∠AOP=45°，
∴∠AOB=2∠AOP=90°，故答案为：90；
（4）：如图，作，则AB=EF，根据圆的轴对称性可知，这样的弦可以作2条，故答案为：2．
(
1
)
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
