《第三章 圆 第四节 圆周角》提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第三章圆第四节圆周角》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.精准掌握圆周角定义，区分圆心角与圆周角，建立 “ 弧 — 圆心角 — 圆周角 ” 角度关系模型。 2.熟练推导圆周角定理及三大推论，能严谨证明直径直角模型、等弧等角模型，提升几何推理能力。 3.能识别圆中各类圆周角基本图形、变式图形，快速判断同弧、等弧对应的角度关系，识图破题。 4.熟练利用圆周角定理、推论进行角度计算、角度转化、多角嵌套计算，解决中考填空、几何综合题型。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.圆周角的严格定义与正误图形辨析。 2.圆周角核心定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半。 3.圆周角三大必考推论（等弧等角、直径对直角、直角对直径）。 4.同圆、等圆中弧、角之间的互相转化计算。 （二） 难点 1.同弧、等弧的精准识别（复杂图形找公共弧是最大难点）。 2.圆周角位置分类讨论（优弧、劣弧对应两角互补）。 3.直径直角模型的隐形辅助线构造（遇直径连直角）。 4.圆周角、圆心角、圆内接四边形综合嵌套计算。 5.多动点、多交点变式图形的角度推理。 )三．知识梳理 （一）圆周角的定义（必考辨析） 1.定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 如图中∠BA1C,∠BA2C,∠BA3C这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.两个缺一不可条件 （1）顶点必须在圆上； （2）角的两条边必须与圆有另外交点（两边是圆的弦）。 3.快速排除 （1）顶点在圆内、圆外→不是圆周角 （2）一边相切、一边相交→不是圆周角 判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。 【解析】图A：不是圆周角，理由：角的顶点不在圆上。图B：是圆周角，理由：角的顶点在圆上，且两边都与圆相交，满足圆周角的两个条件。图C：不是圆周角，理由：角的顶点在圆上，但只有一边与圆相交，另一边不与圆相交。图D：不是圆周角，理由：角的顶点在圆上，但只有一边与圆相交，另一边是圆的切线，不与圆相交。只有图B中的角是圆周角，其余都不是。 （二）圆周角定理（本节核心、必考） 1.定理内容： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且圆周角度数 = 这条弧所对圆心角度数的一半。 2.公式：圆周角的度数=圆心角 （核心前提：同圆/等圆、同弧/等弧，否则定理不成立。） 如图,AB为☉O的直径,∠BOC,∠BAC分别是所对的圆心角、圆周角,则图①②③中∠BAC的度数分别是__45o___, __60o__, _（）o____。 3.定理推导： 如图AB为☉O的直径 (1)设所对的圆周角为∠BAC,除了圆心O在∠BAC的一边上外,圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系? 解:(1)圆心O在∠BAC的内部和圆心O在∠BAC的外部. (2)对于这几种位置关系,结论∠BAC=∠BOC还成立吗?试给出证明. 解:结论∠BAC=∠BOC仍成立. 证明:当圆心O在∠BAC的内部时,如图, 连接AO并延长交☉O于点D.∵∠BAD=∠BOD,∠CAD=∠COD,∴∠BAD+∠CAD=1/2(∠BOD+∠COD),即∠BAC=∠BOC; 当圆心O在∠BAC的外部时,如图, 连接AO并延长交☉O于点E.∵∠BAE=∠BOE,∠CAE=∠COE,∴∠BAE-∠CAE=1/2(∠BOE-∠COE),即∠BAC=∠BOC. （三）圆周角三大黄金推论 推论1：等弧对等角、等角对等弧 同圆或等圆中：弧相等⇔所对圆周角相等 推论2：直径模型 半圆（直径）所对的圆周角是直角（90°） 【口诀】：遇直径，构直角（看到直径，优先连接弦构造Rt△） 推论3：直角返推直径 90°的圆周角所对的弦一定是圆的直径（用于：判定直径、找圆心、确定半圆。） （四）弧对应两类圆周角（提优难点） 1.劣弧对应：锐角圆周角 2.优弧对应：钝角圆周角 3.重要结论：同一条弦所对的两个圆周角互补（一个优弧、一个劣弧），考试大题、多解填空题必考！ （五）圆心角、圆周角、弧度数关系汇总 1.弧的度数 = 所对圆心角度数 2.圆周角度数 = 对应弧的度数 3.等弧⇔等圆心角⇔等圆周角（同圆等圆） （六）圆内接四边形 1.圆内接多边形的定义 如果一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形;这个圆叫做这个多边形的外接圆如图，四边形ABCD是0的内接四边形，0是四边形ABCD的外接圆。 2.性质 （1）圆内接四边形性质1:圆内接四边形的对角互补. 如图，四边形ABCD是0的内接四边形，∠D=50°则∠ABC=130° 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE=105°。 （2）圆内接四边形性质2:圆内接四边形任意一个外角等于和它相邻的内角的对角. 补充：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． （七）常用解题辅助线套路 1.看到直径：连端点弦，构造90°直角三角形 2.看到同角、等角：找公共弧、转移角度 3.求未知角：优先转化为同弧圆心角 4.动点角度题：锁定固定弧，角度不变 （八）易错分析 1.圆周角定义判断不严谨 【错误】：只要顶点在圆上就是圆周角。 【正解】：必须同时满足：顶点在圆上+两边与圆相交，缺一个都不是。 2.忽略“同圆等圆、同弧等弧”前提 【错误】：任意圆周角都是圆心角的一半。 【正解】：必须对应同一条弧，不同弧、不同圆不成立。 3.混淆“弦所对”与“弧所对” 【错误】：一条弦对应一个圆周角。 【正解】：一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），对应两个互补圆周角，填空题经常双解漏解。 4.直径模型不会用、不敢连辅助线 【错误】：题目给直径，不会构造直角。 【正解】：直径题型90%考点都是直径对直角，辅助线是解题关键。 5.认为直角一定对直径 【错误】：只要是90°圆周角，随便弦都是直径。 【正解】：必须是圆周角为90°，顶点在圆上，所对弦才是直径。 6.角度倍数关系搞反 【错误】：圆心角=圆周角。 【正解】：圆周角是圆心角的一半（圆心角更大），必考计算翻车点。 7.复杂图形找不到同弧 【错误】：看着图形不一样，认为角不相等。 【正解】：只要公共弧相同，无论角位置在哪，圆周角一定相等（角度转移核心）。 8.多解题型只写一解 【错误】：弦所对圆周角只算劣弧锐角。 【正解】：若无位置限制，必须考虑优弧钝角，两角互补，双解！ 9.等角对等弧前提遗忘 【错误】：只要角相等，弧就相等。 【正解】：必须同圆或等圆，否则角度相等弧不一定相等。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.下列四个图中，∠x是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆周角定义，即可得∠x是圆周角的有：C，不是圆周角的有：A，B，D． 故选：C． 2.如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB＝17°，则∠OAC的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° C．20° 【答案】C 【解析】∵∠ACB＝53°，∴∠AOB＝2∠ACB＝106°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝＝37°，∵∠CAB＝17°，∴∠OAC＝∠OAB﹣∠CAB＝20°.故选：C． 3.如图，某新产品促销活动中经销商在圆形展区边缘的P点处安装了一个监控摄像头，其有效监控角度为70°．为了监控整个展区，圆形边缘上至少应安装这样的摄像头（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】∵∠P＝70°，∴∠P所对弧所对的圆心角度数是140°，∵360°÷140°≈2（台）， ∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器3台．故选：B． 4．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（　　） A．85° B．75° C．70° D．65° 【答案】D 【解析】连接OC，如图，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∴．解法二：因为AB是直径，所以∠ACB＝90°所以∠BDC＝∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°．故选：D． 5．如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝105°，则∠α的度数为（　　） A．150° B．130° C．105° D．75° 【答案】A 【解析】优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，∵四边形ACBD内接与⊙O，∠ACB＝105°，∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣105°＝75°，∴∠AOB＝2∠ADB＝2×75°＝150°． 故选：A． 6．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝100°，则∠D的度数为（　　） A．25° B．50° C．40° D．80° 【答案】C 【解析】∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣100°＝80°，∴∠D＝∠AOC＝40°，故选：C． 7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝28°，则∠BOC的度数为（　　） A．28° B．42° C．56° D．62° 【答案】C 【解析】∵OC⊥AB交⊙O于点C，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC，∵∠ADC＝28°，∴∠AOC＝2∠ADC＝56°，∴∠BOC的度数为56°．故选：C． 8．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（　　） A．40° B．50° C．55° D．70° 【答案】D 【解析】∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠E＝∠FOB＝70° 故选：D． 9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（　　） A．36° B．44° C．54° D．56° 【答案】C 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵＝，∴∠ABD＝∠ACD＝36°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°，故选：C． 10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】A 【解析】连接BE，如图，∵四边形BCDE为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BED＝180°，∴∠BED＝180°﹣100°＝80°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠BED＝90°﹣80°＝10°．故选：A． 二．填空题（共30分） 11.（2026·盐城阜宁月考）AB是⊙O直径，点P在圆上，∠PAB=28°，则∠PBA=________°。 【答案】62 【解析】△APB为直角三角形，90°-28°=62° 12.（2026·宿迁一模）一条弦所对的两个圆周角大小之比1:2，则较小角为________°。 【答案】60 【解析】两角互补，x+2x=180°，x=60° 13.如图，点A、点B、点C均在⊙O上，AD是直径且AD＝2，∠B＝45°，则AC的长为 __________． 【答案】 【解析】连接OC，∵∠B＝45°，∴∠COA＝2∠B＝90°，∵直径AD＝2，∴OA＝OC＝1， 在Rt△AOC中，AC＝＝． 14.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12，BC＝5，则圆形镜面的直径为 __________． 【答案】13 【解析】连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13. 15.（2026·盐城滨海二模）弦对应的两个圆周角之和为________° 【答案】：180 【解析】：优弧、劣弧对应圆周角互补。 16．如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝120°，点E是上任意一点，连接BE、CE．则∠BEC的度数为________. 【答案】30° 【解析】连接AC，如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴∠BEC＝∠BAC＝30°． 17.如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＝25°，则∠AOC的度数为________. 【答案】50° 【解析】∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝25°，∴∠AOC＝50°， 18.如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABD＝63°、∠DCO＝24°，则∠BDC的度数为________. 【答案】39° 【解析】连接AC，如图，∵∠ACD＝∠ABD＝63°，∠DCO＝24°，∴∠ACO＝∠ACD﹣∠DCO＝63°﹣24°＝39°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝39°，∴∠BDC＝∠A＝39°． 19.如图，在⊙O中，=，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD，正确的是 __________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】在⊙O中，=，∴AB＝CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴=，故④正确；∴AC＝BD，故②正确；∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．故答案为：①②③． 20.如图，点A，B，C在半径长为4的⊙O上，点D，E分别是弦AB，弦BC的中点，连接DE，若弧AB的度数为70°，弧BC的度数为50°，则DE的长度为 __________． 【答案】2 【解析】连接OA，OC，AC，作OF⊥AC于点F，∵弧AB的度数为70°，弧BC的度数为50°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，AC＝2CF＝2AF，∵OC＝4，∴OF＝OC＝2，∴CF＝OF＝2，∴AC＝4，∵点D，E分别是弦AB，弦BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝2． 三．解答题（共60分） 21. 如图，已知，交于点B，． （1）求的度数； （2）求弧的度数． 解：（1）连接，如图，∵，，∴，∴， ∴，而，得，∴，而，∴，∴． （2）由（1）得，，又， ∴ ∴弧的度数为． 22.如图，⊙O的直径AB＝10，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD. (1)判断△ABD的形状，并说明理由； (2)若弦AC＝6，求BC的长． 解：(1)△ABD是等腰直角三角形．理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵CD是∠ACB的平分线，∴＝，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形． (2)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝＝8. 23.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝13，BC﹣AC＝7，求CE的长.  解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB，∴AD＝AB， ∴∠B＝∠D (2)设BC＝x，则AC＝x﹣7，  在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即(x﹣7)2＋x2＝132，解得：x1＝12，x2＝﹣5(舍去)，∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB， ∴CE＝CB＝12 24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证： (1)AD＝CD； (2)AB是⊙O的直径． 解：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD　 (2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°，∴AB是⊙O的直径 25．如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD，AC于点F，G. (1)判断△FAG的形状，并说明理由； (2)如图②，若点E和点A在BC的两侧，BE，AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？请说明理由． 解：(1)△FAG是等腰三角形．理由如下：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C.∵＝，∴∠ABE＝∠E＝∠C， ∴∠ABE＝∠BAD.∵∠BAD＋∠CAD＝90°，∠ABE＋∠AGB＝90°，∴∠CAD＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形． (2)成立．理由如下：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C.∵＝，∴∠ABE＝∠C，∴∠ABE＝∠BAD.∵∠BAD＋∠CAD＝90°，∠ABE＋∠AGB＝90°，∴∠CAD＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形． 26.如图①，将一块含30°角的三角板和一个量角器拼在一起，如图②是拼接示意图，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合且∠CAB＝30°，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于点E． （1）当旋转7.5秒时，连接BE，E点处量角器上的读数为　   　； （2）在（1）的条件下求证BE＝CE； （3）设旋转x秒后，E点处量角器上的读数为y度，写出y与x的函数表达式． 解：由于∠ACB＝90°，AB为斜边，所以此量角器所在圆是以AB中点O为圆心，AB为直径的圆．连接OE、BE，∠ACE＝7.5×2＝15°，∵∠ACE和∠ABE都是弧AE所对的圆周角，∴∠ABE＝∠ACE＝15°．∵OE＝OB，∴∠AOE＝2∠ABE＝30°，即E点处量角器上的度数为30°． （2）∠ECB＝90°﹣15°＝75°，∠EBC＝90°﹣30°+15°＝75°，∴∠ECB＝∠EBC．∴BE＝CE. （3）当旋转x秒后，∠ACE＝2x°，根据圆周角性质可知∠ABE＝∠ACE＝2x°， ∵OB＝OE，∴∠AOE＝2∠ABE＝4x°．即y＝4x． B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆周角的定义可知，选项A中的角是圆周角． 故选：A． 2.（2025·苏州吴中月考）在⊙O中，同弧AB所对的圆心角∠AOB=80°，则这条弧所对的圆周角为（ ） A. 20° B. 40° C. 80° D. 160° 【答案】B 【解析】圆周角等于同弧圆心角的一半，80°÷2=40°。 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝26°，则∠ABC＝（　　） A．26° B．52° C．64° D．74° 【答案】C 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC+∠CDB＝90°，∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣26°＝64°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝64°，故选：C． 4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D＝55°，则∠BOC的度数是（　　） A．35° B．55° C．60° D．70° 【答案】D 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝∠D＝55°，∴∠BAC＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．故选：D． 5．如图，已知⊙O中，AB、CB为弦，OC交AB于D，则∠AOC＝（　　） A．∠BOC B．∠ABC C．2∠BOC D．2∠ABC 【答案】D 【解析】∵圆周角∠ABC所对的弧是，圆心角∠AOC所对的弧是，∴∠ABC＝∠AOC， ∴∠AOC＝2∠ABC，故选：D． 6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使用．如图，筒车的半径为2m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，则接水槽距离水面的最大高度是（　　） A．（2+）m B．2m C．2m D．3m 【答案】B 【解析】∵筒车上均匀设置了12个盛水筒，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝2×30°＝60°， 设盛水筒经过水流在圆上的K点开始倒水，连接OK，AK，∵每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒水，∴∠AOK＝2×60°＝120°，∴∠COK＝60°+120°＝180°， ∴KC是圆的直径，∴∠CAK＝90°，∴KA⊥AC，∵OC＝OA，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACK＝60°，∵筒车的半径为2m，∴CK＝4m，∴AK＝2m，∴接水槽距离水面的最大高度是2m．故选：B． 7．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（　　） ①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'， ∴AC＝CD'＝CD，故①正确；∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正确；∴＝，由折叠得：＝，∴+＝；故③正确；延长OD交⊙O于E，连接CE， ∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：A． 8．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠BCD＝（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 【答案】C 【解析】连接AC，∵∠ABC＝50°，四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＝130°，∵点D是弧AC的中点，∴CD＝AD，∴∠DCA＝∠DAC＝25°，∵AB是直径，∴∠BCA＝90°，∴∠BCD＝∠BCA+∠DCA＝115°，故选：C． 9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝6，∠BAC＝∠BOD，则BE的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】连接OC，如图，∵∠BAC＝∠BOC，而∠BAC＝∠BOD，∴∠BOC＝∠BOD，∴＝，∴AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝3，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝6﹣r，在Rt△OCE中，32+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，∴BE＝AB﹣AE＝2×﹣6＝．故选：B． 10．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 【答案】D 【解析】∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故选：D． 二．填空题（共30分） 11.（2025·扬州期末）⊙O中，圆周角∠A=36°，则它所对弧的圆心角为________°。 【答案】72 【解析】圆心角=2倍圆周角 12.（2025·苏州相城月考）弦AB对应的圆周角一个是53°，另一个圆周角为________°。 【答案】127 【解析】两角互补 13．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　） 【答案】30° 【解析】∵∠AOC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30° 14.如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝70°，则∠OAB的度数是__________. 【答案】20° 【解析】∵∠ACB＝70°，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝＝20°， 15.如图，A、B、C为⊙O上的点，OC∥AB，连接OA，BC交于点D，若AC＝CD，OC＝2，则AB的长为 __________． 【答案】2 【解析】过点O作OE⊥AB交于点E，如图：设∠ABC＝α，则∠AOC＝2∠ABC＝2α，∵OC∥AB，∴∠BAO＝∠AOC＝2α，则∠ADC＝∠BAO+∠ABC＝2α+α＝3α，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC＝3α，∵OA＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC＝3α，∵∠AOC+∠OCA+∠OAC＝180°，即2α+3α+3α＝180°，解得：α＝22.5°，∴∠BAO＝2×22.5°＝45°，∵OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，AE＝BE，∴∠EAO+∠EOA＝90°，即∠EAO＝∠EOA＝45°，∴AE＝OE，在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2，即2AE2＝4，解得：AE=，∵OE⊥AB，∴AE＝BE，∴AB=2AE=2. 16．如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为________. 【答案】124° 【解析】作所对的圆周角∠APB，如图，∵OC⊥AB，OA＝OB，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝56°，∴∠APB＝∠AOB＝56°，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣56°＝124°． 17．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　　） 【答案】2 【解析】连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，∵∠DCE＝100°，∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，∵点D关于AB对称的点为E，∴∠BAD＝∠BAE＝40°，∴∠BOD＝∠BOE＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠COD＝40°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°， ∵OE＝OC，OH⊥CE，∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，∵直径AB＝4，∴OE＝OC＝2，∴EH＝CH＝，∴CE＝2． 18.一个圆形人工湖示意图如图所示，弦AB是湖上的一座桥．已知AB长为100m，圆周角∠C＝45°，这个人工湖半径OA的长为________． 【答案】50m 【解析】连接OB．∵∠AOB＝2∠ACB＝90°，OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AO＝AB＝50（m）． 19．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 　 ． 【答案】16 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴四边形ACBD是圆内接四边形，∴OA＝OB＝AB＝＝4，∴⊙O直径为8．如图，作四边形ACBD的外接圆⊙O，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大，即CD＝8，∴四边形ADBC的面积的最大值为 CD2＝16，故答案为：16． 20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为_______. 【答案】1+ 【解析】连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值为1+。 三．解答题（共60分） 21．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由． 解：作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAO， ∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线． 22．如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 解：（1）证明：∵，∴，∴，即，∴； （2）如图，连接，∵，∴，∴， ∴，∵，∴都在的垂直平分线上，∴． 23．已知：如图，内接于，是的弦，，垂足为，点为弧上一点，且． （1）求证：是的直径； （2）若，，求的长． 解：（1）证明：∵∴∴∵∴ ∴∵∴∴∴是的直径； （2）如图，连接∴∵∴，即∵∴由三角形的内角和定理得：解得∴是等腰直角三角形∵∴∴． 24．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠B＝∠D； （2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长． 解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D； （2）设BC＝x，则AC＝x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴（x﹣2）2+x2＝42， 解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1+． 25．如图，为的直径，交于点D，交于点E，． (1)求的度数； (2)求证：． 解：（1）∵是的直径，∴．又∵，∴．又∵， ∴．∴． （2）证明：连接，∵是的直径，∴． ∴．又∵，∴． 26.已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC． （1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE； （2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长． 解：（1）证明：如图1中，∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°，∵AG⊥CH，∴∠AGH＝90°，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABC＝∠AHG，∴∠HAG＝∠BCE． （2）如图2中，连接AC，AD，DF．∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∴AC＝AD，FC＝FD， ∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACF＝∠ADF，∵＝，∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，∴∠HDF＝∠HFD，∴FH＝DH＝3． 27.【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考] （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______，　　； （2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ______；（用的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）； 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______． 解：（1），． 故答案为：50，130； （2）当在优弧上时，；当在劣弧上时，；故答案为：或 （3）如图（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形． 证明：∵为的直径，∴，在中，∵点C在上，由（2）得，∴（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形； （4）如图， ∵△ABC为等边三角形，∴，，∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴点P的运动轨迹是，∴．连接CO，∵， ∴，∴，， ∴，在中，设，则， 根据勾股定理得，解得，∴，， ∵，∴，∴的最小值为．故答案为：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第三章圆第四节圆周角》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.精准掌握圆周角定义，区分圆心角与圆周角，建立 “ 弧 — 圆心角 — 圆周角 ” 角度关系模型。 2.熟练推导圆周角定理及三大推论，能严谨证明直径直角模型、等弧等角模型，提升几何推理能力。 3.能识别圆中各类圆周角基本图形、变式图形，快速判断同弧、等弧对应的角度关系，识图破题。 4.熟练利用圆周角定理、推论进行角度计算、角度转化、多角嵌套计算，解决中考填空、几何综合题型。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.圆周角的严格定义与正误图形辨析。 2.圆周角核心定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半。 3.圆周角三大必考推论（等弧等角、直径对直角、直角对直径）。 4.同圆、等圆中弧、角之间的互相转化计算。 （二） 难点 1.同弧、等弧的精准识别（复杂图形找公共弧是最大难点）。 2.圆周角位置分类讨论（优弧、劣弧对应两角互补）。 3.直径直角模型的隐形辅助线构造（遇直径连直角）。 4.圆周角、圆心角、圆内接四边形综合嵌套计算。 5.多动点、多交点变式图形的角度推理。 )三．知识梳理 （一）圆周角的定义（必考辨析） 1.定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 如图中∠BA1C,∠BA2C,∠BA3C这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.两个缺一不可条件 （1）顶点必须在圆上； （2）角的两条边必须与圆有另外交点（两边是圆的弦）。 3.快速排除 （1）顶点在圆内、圆外→不是圆周角 （2）一边相切、一边相交→不是圆周角 判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。 （二）圆周角定理（本节核心、必考） 1.定理内容： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且圆周角度数 = 这条弧所对圆心角度数的一半。 2.公式：圆周角的度数=圆心角 （核心前提：同圆/等圆、同弧/等弧，否则定理不成立。） 如图,AB为☉O的直径,∠BOC,∠BAC分别是所对的圆心角、圆周角,则图①②③中∠BAC的度数分别是__45o___, __60o__, _（）o____。 3.定理推导： 如图AB为☉O的直径 (1)设所对的圆周角为∠BAC,除了圆心O在∠BAC的一边上外,圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系? (2)对于这几种位置关系,结论∠BAC=∠BOC还成立吗?试给出证明. （三）圆周角三大黄金推论 推论1：等弧对等角、等角对等弧 同圆或等圆中：弧相等⇔所对圆周角相等 推论2：直径模型 半圆（直径）所对的圆周角是直角（90°） 【口诀】：遇直径，构直角（看到直径，优先连接弦构造Rt△） 推论3：直角返推直径 90°的圆周角所对的弦一定是圆的直径（用于：判定直径、找圆心、确定半圆。） （四）弧对应两类圆周角（提优难点） 1.劣弧对应：锐角圆周角 2.优弧对应：钝角圆周角 3.重要结论：同一条弦所对的两个圆周角互补（一个优弧、一个劣弧），考试大题、多解填空题必考！ （五）圆心角、圆周角、弧度数关系汇总 1.弧的度数 = 所对圆心角度数 2.圆周角度数 = 对应弧的度数 3.等弧⇔等圆心角⇔等圆周角（同圆等圆） （六）圆内接四边形 1.圆内接多边形的定义 如果一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形;这个圆叫做这个多边形的外接圆如图，四边形ABCD是0的内接四边形，0是四边形ABCD的外接圆。 2.性质 （1）圆内接四边形性质1:圆内接四边形的对角互补. 如图，四边形ABCD是0的内接四边形，∠D=50°则∠ABC=130° 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE=105°。 （2）圆内接四边形性质2:圆内接四边形任意一个外角等于和它相邻的内角的对角. 补充：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． （七）常用解题辅助线套路 1.看到直径：连端点弦，构造90°直角三角形 2.看到同角、等角：找公共弧、转移角度 3.求未知角：优先转化为同弧圆心角 4.动点角度题：锁定固定弧，角度不变 （八）易错分析 1.圆周角定义判断不严谨 【错误】：只要顶点在圆上就是圆周角。 【正解】：必须同时满足：顶点在圆上+两边与圆相交，缺一个都不是。 2.忽略“同圆等圆、同弧等弧”前提 【错误】：任意圆周角都是圆心角的一半。 【正解】：必须对应同一条弧，不同弧、不同圆不成立。 3.混淆“弦所对”与“弧所对” 【错误】：一条弦对应一个圆周角。 【正解】：一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），对应两个互补圆周角，填空题经常双解漏解。 4.直径模型不会用、不敢连辅助线 【错误】：题目给直径，不会构造直角。 【正解】：直径题型90%考点都是直径对直角，辅助线是解题关键。 5.认为直角一定对直径 【错误】：只要是90°圆周角，随便弦都是直径。 【正解】：必须是圆周角为90°，顶点在圆上，所对弦才是直径。 6.角度倍数关系搞反 【错误】：圆心角=圆周角。 【正解】：圆周角是圆心角的一半（圆心角更大），必考计算翻车点。 7.复杂图形找不到同弧 【错误】：看着图形不一样，认为角不相等。 【正解】：只要公共弧相同，无论角位置在哪，圆周角一定相等（角度转移核心）。 8.多解题型只写一解 【错误】：弦所对圆周角只算劣弧锐角。 【正解】：若无位置限制，必须考虑优弧钝角，两角互补，双解！ 9.等角对等弧前提遗忘 【错误】：只要角相等，弧就相等。 【正解】：必须同圆或等圆，否则角度相等弧不一定相等。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.下列四个图中，∠x是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 2.如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB＝17°，则∠OAC的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° C．20° 3.如图，某新产品促销活动中经销商在圆形展区边缘的P点处安装了一个监控摄像头，其有效监控角度为70°．为了监控整个展区，圆形边缘上至少应安装这样的摄像头（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（　　） A．85° B．75° C．70° D．65° 5．如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝105°，则∠α的度数为（　　） A．150° B．130° C．105° D．75° 6．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝100°，则∠D的度数为（　　） A．25° B．50° C．40° D．80° 7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝28°，则∠BOC的度数为（　　） A．28° B．42° C．56° D．62° 8．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（　　） A．40° B．50° C．55° D．70° 9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（　　） A．36° B．44° C．54° D．56° 10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 二．填空题（共30分） 11.（2026·盐城阜宁月考）AB是⊙O直径，点P在圆上，∠PAB=28°，则∠PBA=________°。 12.（2026·宿迁一模）一条弦所对的两个圆周角大小之比1:2，则较小角为________°。 13.如图，点A、点B、点C均在⊙O上，AD是直径且AD＝2，∠B＝45°，则AC的长为 __________． 14.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12，BC＝5，则圆形镜面的直径为 __________． 15.（2026·盐城滨海二模）弦对应的两个圆周角之和为________° 16．如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝120°，点E是上任意一点，连接BE、CE．则∠BEC的度数为________. 17.如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＝25°，则∠AOC的度数为________. 18.如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABD＝63°、∠DCO＝24°，则∠BDC的度数为________. 19.如图，在⊙O中，=，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD，正确的是 __________（填序号）． 20.如图，点A，B，C在半径长为4的⊙O上，点D，E分别是弦AB，弦BC的中点，连接DE，若弧AB的度数为70°，弧BC的度数为50°，则DE的长度为 __________． 三．解答题（共60分） 21. 如图，已知，交于点B，． （1）求的度数； （2）求弧的度数． 22.如图，⊙O的直径AB＝10，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD. (1)判断△ABD的形状，并说明理由； (2)若弦AC＝6，求BC的长． 23.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝13，BC﹣AC＝7，求CE的长.  24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证： (1)AD＝CD； (2)AB是⊙O的直径． 25．如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD，AC于点F，G. (1)判断△FAG的形状，并说明理由； (2)如图②，若点E和点A在BC的两侧，BE，AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？请说明理由． 26.如图①，将一块含30°角的三角板和一个量角器拼在一起，如图②是拼接示意图，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合且∠CAB＝30°，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于点E． （1）当旋转7.5秒时，连接BE，E点处量角器上的读数为　   　； （2）在（1）的条件下求证BE＝CE； （3）设旋转x秒后，E点处量角器上的读数为y度，写出y与x的函数表达式． B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 2.（2025·苏州吴中月考）在⊙O中，同弧AB所对的圆心角∠AOB=80°，则这条弧所对的圆周角为（ ） A. 20° B. 40° C. 80° D. 160° 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝26°，则∠ABC＝（　　） A．26° B．52° C．64° D．74° 4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D＝55°，则∠BOC的度数是（　　） A．35° B．55° C．60° D．70° 5．如图，已知⊙O中，AB、CB为弦，OC交AB于D，则∠AOC＝（　　） A．∠BOC B．∠ABC C．2∠BOC D．2∠ABC 6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使用．如图，筒车的半径为2m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，则接水槽距离水面的最大高度是（　　） A．（2+）m B．2m C．2m D．3m 7．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（　　） ①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠BCD＝（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝6，∠BAC＝∠BOD，则BE的长为（　　） A． B． C． D．2 10．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 二．填空题（共30分） 11.（2025·扬州期末）⊙O中，圆周角∠A=36°，则它所对弧的圆心角为________°。 12.（2025·苏州相城月考）弦AB对应的圆周角一个是53°，另一个圆周角为________°。 13．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，则∠OAB的度数是（　　） 14.如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝70°，则∠OAB的度数是__________. 15.如图，A、B、C为⊙O上的点，OC∥AB，连接OA，BC交于点D，若AC＝CD，OC＝2，则AB的长为 __________． 16．如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为________. 17．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是_________. 18.一个圆形人工湖示意图如图所示，弦AB是湖上的一座桥．已知AB长为100m，圆周角∠C＝45°，这个人工湖半径OA的长为________． 19．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 　 ． 20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为_______. 三．解答题（共60分） 21．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由． 22．如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 23．已知：如图，内接于，是的弦，，垂足为，点为弧上一点，且． （1）求证：是的直径； （2）若，，求的长． 24．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠B＝∠D； （2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长． 25．如图，为的直径，交于点D，交于点E，． (1)求的度数； (2)求证：． 26.已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC． （1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE； （2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长． 27.【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考] （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______，　　； （2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ______；（用的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）； 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $