高二数学上学期第三次月考02（苏教版，范围：选择性必修第一册第1章～第4章，举一反三）

2026-2027学年高二数学上学期第三次月考卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第4章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 2．（5分）已知等差数列的前项和为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．（5分）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 7．（5分）在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（5分）已知倾斜角为的直线经过坐标原点，且与双曲线分别交于，两点（其中点位于第一象限），过作轴于点，若，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法正确的是（   ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．4与9的等比中项为 C．在公比不为1的等比数列中，若，则mn的值可能为8 D．等比数列是递增数列，则的公比 10．（6分）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时，两直线之间的距离为 11．（6分）抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用了这个光学性质.如图，某探照灯的轴截面是抛物线的一部分，其方程为 ，焦点为，光线从点出发，经抛物线反射，反射光线所在直线为， ，若，则所在直线的方程为，为抛物线上的动点.下列选项正确的是（ ） A．抛物线的方程为 B．若直线过点，且倾斜角为，且，则的值为3 C．若直线过点，，则的面积为 D．若，当取得最大值时，的值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）直线的倾斜角大小为___________. 13．（5分）直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是___________． 14．（5分）已知圆上的一点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)过点，且与：平行的直线的方程． 16．（15分）设数列满足 . (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和. 17．（15分）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 18．（17分）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第三次月考卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线平行系数关系列式计算再检验是否重合即可求解. 【解答过程】直线与直线平行， 则，所以或， 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不符合题意； 故选：A. 2．（5分）已知等差数列的前项和为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的前项和的公式与等差数列的性质计算即得. 【解答过程】依题意，,解得 则. 故选：B. 3．（5分）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【解答过程】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D. 4．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的性质结合已知条件求出焦点及点坐标，进而得出相关向量，利用垂直关系得出数量积为0，构造方程求出的关系，最后利用离心率公式计算求解． 【解答过程】椭圆左、右焦点，轴，把代入椭圆方程，得， 点位于第二象限内， ，则，故， 又，， ，，即， ，解得， ，故D正确． 故选：D． 5．（5分）已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】将两圆方程化成标准方程，分别求出圆心和半径，由此判断两圆的位置关系，从而得到它们的公切线的条数. 【解答过程】由，得，所以圆心，半径为； 由，得，所以圆心，半径为. 所以. 因为，所以两圆相交. 所以它们有两条公切线. 故选：C. 6．（5分）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】A 【解题思路】根据题意，蒲生长长度与莞生长长度都构成了等比数列，利用等比数列的求和公式得到关于的不等式，解之即可得解. 【解答过程】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天. 故选：. 7．（5分）在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】结合题设条件将所求式理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和．通过点关于直线对称，由三点共线时可得其最小值. 【解答过程】如图： 作点关于直线的对称点，则． 设，则有，解得，所以． 已知点，则， 而，所以点到轴的距离为， 所以可理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和． 过作轴，由图知 ，当且仅当，，三点共线时，和有最小值． 因直线与轴交于点，此时轴，且， 由图知，当点移动到点时，取得最小值为4． 故选：B. 8．（5分）已知倾斜角为的直线经过坐标原点，且与双曲线分别交于，两点（其中点位于第一象限），过作轴于点，若，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，，联立消元，求出及点到直线的距离，进而得到面积与的函数关系,利用函数的单调性即可得面积的取值范围. 【解答过程】由题意设， 联立消去得，，所以， 又，所以， 设，则，， 由，得，所以 设到的距离为，所以， 所以的面积 ． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法正确的是（   ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．4与9的等比中项为 C．在公比不为1的等比数列中，若，则mn的值可能为8 D．等比数列是递增数列，则的公比 【答案】ABC 【解题思路】A选项利用等差数列，等比数列的定义进行验证即可；B选项利用等比中项定义求解；C选项由等比数列的性质可知，即可求解；D选项举反例可判断. 【解答过程】对于A选项，设非零常数列的通项公式为， 则，所以是公差为的等差数列， 又，所以是公比为的等比数列， 所以非零常数列既是等差数列，又是等比数列.故A正确； 对于B选项，4与9的等比中项为，故B正确； 对于C选项，由等比数列的性质可知，且， 所以，的可能值为，或，或，或，或，， 则，或，或，故C正确； 对于D选项，当，时，数列是递增数列，故D错误. 故选：ABC. 10．（6分）已知直线，则下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时，两直线之间的距离为 【答案】ABD 【解题思路】设所求直线方程为，将点代入，求得，可判定A正确；化简直线为，求得直线过定点，可判定B正确；结合两直线垂直的判定方法，可判定C不正确；由求得，得出的方程，结合两平行线间的距离公式，可判定D正确. 【解答过程】对于A，设过点且垂直于直线的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 所以所求直线为，所以A正确； 对于B，直线， 可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点，所以B正确； 对于C，当时，可得直线， 此时， 所以与不垂直，所以C不正确； 对于D，当时，则满足，解得， 此时， 则两平行线间的距离为，所以D正确. 故选：ABD. 11．（6分）抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用了这个光学性质.如图，某探照灯的轴截面是抛物线的一部分，其方程为 ，焦点为，光线从点出发，经抛物线反射，反射光线所在直线为， ，若，则所在直线的方程为，为抛物线上的动点.下列选项正确的是（ ） A．抛物线的方程为 B．若直线过点，且倾斜角为，且，则的值为3 C．若直线过点，，则的面积为 D．若，当取得最大值时，的值为 【答案】ABD 【解题思路】根据点在抛物线上计算得出判断A，应用焦半径公式计算判断B，联立方程组得出韦达定理计算面积判断C，两点间距离公式结合焦半径公式计算应用基本不等式计算判断D. 【解答过程】对于A，因为，所在直线的方程为，所以，， 所以，所以，解得或， 因为，所以，即抛物线的方程为，故A正确. 对于B，抛物线的焦点坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的方程为. 设直线与抛物线的交点为，， 联立直线与抛物线的方程，消去并整理，得，解得，， ，，，所以的值为3，故B正确. 对于C，由题意不妨设，，如图所示， ，所以，. 设直线的方程为， 由消去得. 所以，所以，，所以，故C错误. 对于D，由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，由为抛物线上一点，可得， 因为，所以， 所以， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最大值，所以，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）直线的倾斜角大小为___________. 【答案】 【解题思路】由直线方程可得直线的斜率，即可求得直线的倾斜角. 【解答过程】由题意可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，故， 故答案为：. 13．（5分）直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是___________． 【答案】 【解题思路】设出两点，代入双曲线方程，利用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可确定直线的方程. 【解答过程】设，则有，两式相减，可得， 为线段的中点，故有， 即，若，则，即两点重合，不满足题意， 故，因此可得直线的斜率为， 又因为直线过， 故直线，整理得， 故答案为：. 14．（5分）已知圆上的一点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】先表示圆上的点到直线 的距离，求出圆心到直线的距离，利用圆C上的点到直线 的距离的取值范围为即可求解. 【解答过程】表示圆上的点到直线 的距离， 圆圆心为,半径为， 圆心到直线的距离为. 所以直线与圆相离，所以圆C上的点到直线 的距离的取值范围为， 即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)过点，且与：平行的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设直线方程为，由已知列出方程求解即可； （2）根据互相平行直线的斜率相等得出斜率，再由点斜式即可求解． 【解答过程】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得， ∴直线方程为， 即． （2）已知直线：，则直线的方程可化为， ∴直线的斜率为． 与平行，的斜率为． 又过点， 由点斜式知直线的方程为，即． 16．（15分）设数列满足 . (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）结合等差数列的定义，利用构造法可证明数列为等差数列； （2）结合等比数列求和公式，利用分组求和及错位相减法可得. 【解答过程】（1）证明：由题可知， 两边同时除以得：，且， 故是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）易知， 前项和， 令， 故， 两式相减得 ， 则， 所以. 17．（15分）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)或； (2)四边形面积的最小值为， 【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用半径相等得到方程，求出，进而确定圆心和半径，得到圆的方程； （2）由对称性可知，四边形的面积，且当最小时，切线长最短，由点到直线距离公式得到的最小值，从而求出最小值，从而求出面积的最小值，并根据垂直关系求出直线方程为，联立求出点的坐标. 【解答过程】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.    18．（17分）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3) 【解题思路】（1）根据等差数列和等比数列的知识求得公差和公比，从而求得通项公式． （2）利用裂项相消法求得． （3）利用错位相减法求得，利用差比较法求得的取值范围． 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以． （2）由（1）知，， 则． ． （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是． 19．（17分）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【解题思路】（1）根据离心率公式、已知条件及的关系求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理及三角形的形公式可得，，从而可得，由，可得，即，解此不等式组，即可得答案； （3）设存在满足条件的点，其坐标为，由中点坐标公式得，从而得，由，求解即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的离心率为， 所以，， 所以， 又因为点在双曲线上， 所以，解得，所以， 所以求双曲线的方程为； （2）由题意可得， 所以直线的方程为， 由，得， ， 设， 则， 由此可得， 因为， 所以， 令，则， 所以， 消去，得， 因为，所以，， 所以， 即，解得， 即的取值范围为； （3）因为， 即， 所以， 又因为为线段的中点，所以， 设存在满足条件的点，其坐标为， 则， 所以， 要使此值为定值，则，解得， 所以存在，使得恒为定值4. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $