精品解析：江苏连云港市东海县白塔高级中学2024-2025学年第一学期高二年级第二次学情检测数学试题

2024-2025学年度第一学期高二年级第二次学情检测 数学试题 时间：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，若，，则的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】用去表示代入计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 所以， 即， 所以. 故选：A. 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式逐项判断即可. 【详解】，，，，C对，ABD错. 故选：C. 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的下标和性质，代入计算，即可求解. 【详解】由已知得，故，所以． 故选：C 4. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对求导，然后令，解出即可. 【详解】由于，故. 令，得，解得. 故选：D. 5. 已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解. 【详解】由已知得，可设，， 则，， 即， 故选：. 6. 已知，设，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先令，求得；把所给的等式两边对求导，再令，即可求解． 【详解】由题意得，令，得. 两边对求导，可得， 令，则， 所以． 7. 等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式奇数项之和等于偶数项之和的，可求，由通项公式求得的值． 【详解】设等比数列的项数为， 所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为， ： ：， ，， 由题意可得， . 8. 已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，然后分、两种情况讨论，得到的单调性，然后可建立不等式求解. 【详解】由可得 当时，，在上单调递增，不满足题意 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增 要使得函数在区间上不是单调函数 则有，解得 故选：C 【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，这是函数的导函数的图象，则（ ） A. 在处取得极大值 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减 D. 是的极小值 【答案】AB 【解析】 【分析】结合函数的导函数图象分析确定函数的单调性、极值点与极值情况逐项判断即可. 【详解】由图可知当时，； 当时，； 则在，上单调递减，在，上单调递增， 所以是的极大值点，是极小值点，故A ,B正确，C错误； 因为不是导函数的零点，所以不是的极值，故错误. 故选：AB. 10. 已知数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若，则数列是等差数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用等比数列求和公式求和；对于B，利用累加法求通项公式；对于C，D，对递推公式变形利用等差、等比数列的定义可得. 【详解】对于A，当时，，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故A错误； 对于B，若，则，， 当时，， 当时也满足上式，故，故B正确； 对于C，若，则，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故C正确； 对于D，若，则，则， 则数列是以为首项，公差为的等差数列，故D正确. 11. 函数，已知在时取得极值，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 函数在处有极大值为0 C. 函数在处有极大值为0 D. 函数在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据给定的极值点求出a，再判断单调性、求出极值即可判断作答. 【详解】函数定义域为R，求导得：函数， 因为在时取得极值，则，解得， 此时， 当或时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处有极大值，则，A正确； ，，B正确； 函数在处有极小值，C错误； 函数在区间上单调递减，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列前n项和，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的关系进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 经检验，符合上式，∴. 故答案为： 13. 已知是的极小值点，那么函数的极大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先对函数求导，然后结合极值存在条件可求，进而可求函数的极大值． 【详解】解：因为， 由题意可得，（2）， 故，， 当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 故当时，函数取得极大值． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了函数极值存在条件的应用，属于基础题． 14. 知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，然后导数在区间上有解即可. 【详解】由题意得的定义域为， 所以， 因为函数在区间上存在递增区间，即在区间上能成立， 即，设，开口向上，对称轴为， 所以当时，单调递增，所以， 所以，则，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）在等差数列中，，．求数列的通项公式及前项和． （2）已知是各项均为正数的等比数列，，．求的通项公式及前项和． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为，由、建立方程求出，再分别利用等差数列的通项公式和前项和公式求； （2）设等比数列公比为，由各项均为正数知，结合求出，再利用等比数列的通项公式和前项和公式求． 【详解】（1）设等差数列的公差为． 由题意，解得． 所以 （2）设等比数列的公比为． 因为各项均为正数且，所以． 由，得即 解得或，结合，得． 因此，且． 16. 已知曲线 （1）求曲线S在点A(2，4)处的切线方程； （2）求过点B(1，—1)并与曲线S相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数在点A处的值为切线方程的斜率可得答案； （2）先设切点坐标，然后得出斜率，最后根据直线的点斜式方程列出切线方程，解出即可得结果． 【小问1详解】 ∵，则， ∴当时，， ∴点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 设为切点，则切线的斜率为， 故切线方程为：， 又知切线过点，代入上述方程， 解得或， 故所求的切线方程为或. 17. 已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. （1）求和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）， （2）证明：由题意得， 设数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以， 两式相减得， 所以， 故. 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求的通项公式，由等比数列基本量的运算即可求解的通项公式； （2）用裂项相消法求奇数项的和，由错位相减法求偶数项的和，即可求解. 【小问1详解】 数列的前项和，当时，， 当时，， 因为也适合上式， 所以， 设数列的公比为，因为， 所以，解得， 又，所以； 【小问2详解】 略 18. 已知函数为自然对数的底数． （1）当时，求函数的单调区间 （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导函数，求出的解，列表可解； （2）求出，利用 对恒成立，结合一元二次函数图象，即可求的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 所以 令，解得或 令，解得 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【小问2详解】 因为函数在上单调递增，所以． 即对任意恒成立， 因为， 又，所以对任意恒成立． 设，， 则 即，解得． 19. 已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． （1）求数列、的通项公式； （2）设的前项和为，求 （3）设，求的前项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别设等差数列的首项、公差和等比数列的公比，利用基本量运算即可求出数列的通项公式； （2）由（1）得到，用错位相减法求前项和； （3）先由（1）求得，化简并裂项，再利用裂项相消求． 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为． 由，得，即 由，得，即，解得，， 故 设递增等比数列的公比为，因，则． 由成等差数列，得，即， 解得或，因，则． 故 【小问2详解】 由（1）得 于是 得 两式相减得. 又， 代入可得 从而 【小问3详解】 由（1）可知，所以 又，故 因此 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期高二年级第二次学情检测 数学试题 时间：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，若，，则的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 30 4. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，设，则 （ ） A. B. C. D. 7. 等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，这是函数的导函数的图象，则（ ） A. 在处取得极大值 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减 D. 是的极小值 10. 已知数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若，则数列是等差数列 11. 函数，已知在时取得极值，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 函数在处有极大值为0 C. 函数在处有极大值为0 D. 函数在区间上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列前n项和，则数列的通项公式为______. 13. 已知是的极小值点，那么函数的极大值为______. 14. 知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）在等差数列中，，．求数列的通项公式及前项和． （2）已知是各项均为正数的等比数列，，．求的通项公式及前项和． 16. 已知曲线 （1）求曲线S在点A(2，4)处的切线方程； （2）求过点B(1，—1)并与曲线S相切的直线方程. 17. 已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. （1）求和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 18. 已知函数为自然对数的底数． （1）当时，求函数的单调区间 （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 19. 已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． （1）求数列、的通项公式； （2）设的前项和为，求 （3）设，求的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $