江苏苏州第一中学校2026-2027学年第一学期十月自主学习能力检测高二数学试卷

江苏省苏州第一中学校2026—2027学年第一学期 十月自主学习能力检测 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等比数列中，若，，则（ ）． A． B． C． D． 2．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）． A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．在等比数列中，已知，，则的值为（ ）． A． B． C．或 D．或 4．，则数列的前12项和为（ ）． A．112 B．48 C．80 D．64 5．设等差数列的公差为d，前n项和为，当首项和d变化时，是定值，则下列各项也为定值的是（ ）． A． B． C． D． 6．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）． A． B． C． D． 7．已知数列各项为正数，的前n项和为，已知数列、、都是等差数列，则数列的公差为（ ）． A．1 B．2 C．4 D．8 8．若，，，，构成等差数列，公差，，且其中有三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是（ ）． A． B．，，可能构成等比数列 C．一定大于0 D．若，，则为5的倍数 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．设数列的前n项和为，已知，且，则下列说法正确的是（ ）． A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前n项和为 10．公差为d的等差数列，为其前n项和，下列说法正确的是（ ）． A．若，，则是数列中绝对值最小的项 B．若，则 C．若，，记（，2，…），则数列有最大项，无最小项 D．若，，则 11．已知数列各项为正数，的前n项和为，满足，且，在，之间插入n个，连同的项构成数列，则（ ）． A． B． C．数列的前200项中的项有18项 D．数列的前200项和为813 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设等差数列、的前n项和分别为，，若，则__________． 13．已知数列满足，，则的值为__________． 14．定义在R上的函数满足是奇函数，则的对称中心为，，则数列的通项公式为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 设数列的前n项的和为． （1）若是等比数列，且，，求． （2）若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值． 16．（本题满分15分） 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列． （2）求数列的前n项和． 17．（本题满分15分） 已知数列、满足，，记为的前n项和． （1）若为等比数列，其公比，求． （2）若为等差数列，其公差，证明：． 18．（本题满分17分） 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式． （2）设，． （ⅰ）试写出，，的值． （ⅱ）求数列的前20项和． 19．（本题满分17分） 若数列对于任意的，，满足（m，s，t为非零常数），称数列为“型数列”．已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，． （1）求数列，的通项公式． （2）设是数列的前n项的和，求数列的前项的和． （3）若，是否存在实数m，s，t，使得数列为“型数列”？若存在，求出m，s，t的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州第一中学校2026—2027学年第一学期 十月自主学习能力检测 高二年级数学试卷 参考答案与详细解析 1．【答案】A． 2．【答案】B． 3．【答案】C． 4．【答案】C． 5．【答案】C． 6．【答案】B． 7．【答案】D． 8．【答案】D． 9．【答案】BD． 10．【答案】ABC． 11．【答案】AD． 12．【答案】10． 13．【答案】29． 14．【答案】． 15．解：（1）设等比数列公比为q．因为，， 所以，即，得． 由，得． （2）设公差为．由，得，化简得，故． 于是，，，所以． 16．解：（1）将递推式两边同除以，得． 所以数列相邻两项的差为1，且首项为，故它是首项为2、公差为1的等差数列． （2）由（1）得，故．采用错位相减法： ，． 两式相减，得． 当时，括号内的和为，故．当时，也符合此式． 综上，． 17．解：（1）由，得，所以． 结合，知是首项为1、公比为的等比数列． 故． （2）由，得，递推式为． 当时，累乘得． 对此式也成立，故． 于是裂项相消可得， 其中，所以，所减去的量严格为正，结论得证． 18．解：（1）记题给前n项和为． 当时，． 当时也有．故，，因各分母非零，得． 设公差为，则，所以； 又，代入，得． 因，故，．所以． 检验：，求和确为． （2）（ⅰ）由，得，，． （ⅱ）由，每一组的三项为，，． 前18项恰为前6组，第19、20项分别为7，， 故 ． 所以． 19．解：（1）由得． 结合，，知是首项为1、公差为1的等差数列，故． 由得． 因为，递推可知对一切都有．因此． （2）由得，所以． 将前项两两配对，第项与第项之和为． 所以． （3）不存在符合定义的非零实数m，s，t． 由（1）得，直接计算可得，，，，． 假设存在所求m，s，t，由定义，分别取，3，4， 得到，前两式消元得，． 代入第三式，得，即，所以，继而． 这与定义中m，s，t均为非零常数矛盾．故不存在，不能把当作符合定义的答案． 学科网（北京）股份有限公司 $