精品解析：上海市南洋模范初级中学2026-2027学年第一学期七年级数学期中考试试卷

2026学年第一学期七年级数学期中考试试卷 （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列代数式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，解题的关键在于对每一个选项的分子分母进行因式分解，看是否存在公因式，若不存在，则为最简分式． 通过检查各选项分子与分母是否有公因式，判断是否可约分，从而确定最简分式． 【详解】解：、因为分子分母有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分子与分母无公因式，所以不可约分，是最简分式； 故选：． 2. 如果，则应为（ ）． A. 5 B. -5 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】把等式右边进行整式的乘法运算，然后对比左右两边即可求解． 【详解】解：由可得： ， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查整式的乘除，熟练掌握整式的乘除运算是解题的关键． 3. 若是完全平方式，则m的值是（ ） A. 9 B. 1或9 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵是完全平方式， ∴原式可化为， ∵， ∴， 当时，解得； 当时，解得． 4. 在，，0，1中选一个值求的值，合适的是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，排除使分母或除式为0的取值，即可得到答案． 【详解】解：， 要使原式有意义，需各分母及除式均不为0， ∵第一个分式的分母为， ∴，即， ∵除式的分母为， ∴，即， ∵除式的分子不能为0，即， ∴ ， 综上，不可取，，，仅符合条件． 5. 课上老师提出了一道分式加法的题目，甲、乙、丙、丁四名学生用合作的方式完成计算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给后一人，具体化简过程如图所示，接力中，出现错误的学生是（ ） A. 只有丁 B. 甲和乙 C. 甲和丁 D. 乙和丁 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得： ； ∴出现错误的学生是甲和丁． 6. 将三支长度相同的蜡烛A、B、C同时点燃．当蜡烛A剩一半时，蜡烛B和蜡烛C剩余部分的长度之比为；当蜡烛B剩一半时，蜡烛A和蜡烛C剩余部分的长度之比为，若整个燃烧过程中，每支蜡烛燃烧速度均保持不变，则当蜡烛C剩一半时，蜡烛A和蜡烛B剩余部分的长度之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设蜡烛原长为，蜡烛、、的燃烧速度分别为、、，然后可得，，联立可得，进而可得、剩余长度之比为，最后问题可求解． 【详解】解：设蜡烛原长为，蜡烛、、的燃烧速度分别为、、， ∵蜡烛剩一半时，燃烧时间，此时、剩余长度之比为， ∴， 约去整理得①， ∵蜡烛剩一半时，燃烧时间，此时、剩余长度之比为， ∴， 约去整理得②， 联立①②，解得， ∵蜡烛剩一半时，燃烧时间， ∴此时剩余长度为，剩余长度为， ∴、剩余长度之比为， 将，代入，得，， ∴比值为． 二、填空题（本大题共有12题，每题2分，满分24分） 7. 计算：________ 【答案】 【解析】 【分析】需运用单项式乘多项式的运算法则，借助乘法分配律将运算拆分为两次单项式乘单项式的计算，注意符号处理与同底数幂的指数运算规则． 【详解】解：根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加 ∵单项式乘多项式满足乘法分配律，即， ∴代入本题对应项分步计算： 第一步，计算，根据同底数幂相乘、底数不变指数相加的规则，可得． 第二步，计算，同理可得． 将两个计算结果相加，得到最终运算结果为． 8. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提取公因式法进行因式分解，即可得到答案. 【详解】解：. 9. 化简：________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式分解分母，找到分子分母的公因式，约分化简即可． 【详解】解：∵ ∴原式 10. 计算：________ 【答案】 【解析】 【分析】观察到两个幂的底数可统一为3，通过幂的乘方、同底数幂的除法法则简化运算，避免计算大数值乘方． 【详解】解：∵， ∴． ∵负数的奇次幂为负， ∴， ∴原式． 根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴． ∴原式． 11. 若（x＋2）0=1，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： x+2≠0， ∴x≠﹣2， 故答案为： x≠﹣2． 【点睛】本题考查了零指数幂有意义的条件，即＝1，其中，掌握零指数幂有意义的条件是解题的关键． 12. 若分式的值为，则的值是________ 【答案】 【解析】 【详解】解：分式的值为， 且， 解得． 13. 计算： ________ 【答案】 【解析】 【分析】需将整式部分与分式通分为同分母形式，再按照同分母分式的加减法则计算，计算时可利用平方差公式简化步骤． 【详解】解：∵该式为分式加减运算，最简公分母为， ∴将整式转化为以为分母的分式，即． ∵由平方差公式可得， ∴原式可改写为． ∵同分母分式相减，分母保持不变，分子做减法运算， ∴原式． 14. 若（________________）的化简结果为一个二次三项式，则括号内的单项式是________． 【答案】## 【解析】 【分析】需消去原式中的三次项，使化简后的多项式最高次数为2且项数为3． 【详解】解：∵原式中的次数为，是三次项，其余项、、的最高次数为2， ∴化简结果为二次三项式时，必须消去三次项， ∴括号内应填入的单项式为． 代入验证：合并同类项后得到，该多项式最高次数为2，共有3个非零项，符合二次三项式的要求． 15. 若，则______； 【答案】23 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，已知，可知，进而可得结果． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：23． 16. 若 ，则代数式 的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】已知，可通过设公共参数表示，代入代数式约去参数即可求得值，需保证代数式分母不为零. 【详解】解：∵ ， ∴ 设，，其中（若，则代数式分母为0，无意义）. 将，代入代数式： 分子为， 分母为， ∴ 代数式的值为． 17. 我们学过因式分解，如：，其中和是的因式．我们发现，把代入可得原式；把代入可得原式．事实上如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式．运用上述结论解决问题：如果 有一个因式是，那么_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给出的因式与整式值为0的对应关系，已知因式为，则对应使整式值为0的值为，将其代入整式建立关于的方程即可求解． 【详解】解：∵已知是的因式， ∴当时，， 将代入上式，得 ， 计算各项得 ， 即， 解得． 18. 若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设连等式的公共比值为参数，利用分式的倒数变形建立方程，推导与的比例关系，代入最后一个连等式求解参数，进而计算目标分式的值． 【详解】解：设题中连等式的公共比值为，即， ∵，且各分式有意义， ∴，可对前三个分式取倒数，得，即①， ，即②， ，即③， 将①②③三式相加，得，即④， 用④分别减去①②③，得，，， ∴，，， 将，，代入最后一个连等式，得， ∵分式有意义， ∴，即， 化简左边：分子为， 分母为， 约去公因子，得左边为， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 代入目标分式：． 三、简答题（本大题共8题，第19~25题4分，第26题5分，满分33分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】首先计算乘方项，同时根据多项式除以单项式法则计算，最后合并运算结果即可． 【详解】解： 20. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】利用平方差公式解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 21. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】将改写为，应用完全平方公式初步分解，运用平方差公式继续分解，最后运用积的乘方性质化简． 【详解】解： 22. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】将看作整体进行因式分解即可 【详解】解：原式 23. 因式分解： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 24. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 25. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式和多项式的乘法展开，然后合并同类项，根据一元一次方程的解法求解即可 【详解】解： ， 移项得  合并同类项得  解得 26. 因式分解： 【分析】观察发现，该整式无法直接运用学过的方法进行因式分解，但整式和都能因式分解，由此可得： 原式（ ）（ ）（ ）（ ） 观察前四个整式，将一次项系数相同的两项重新组合可得： （ ）（ ） 这样，我们就可以将其中重复出现的部分看成整体，请你继续完成下面的过程： 【答案】，，，，，， 解： ． 【解析】 【分析】根据题意分别计算各个步骤，然后化简，最后再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】略 四、解答题（本大题共4题，第27~29题6分，第30题7分，满分25分） 27. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 28. 【提出问题】如果（a、b、c、d都不为0），那么分式、、（、）的值有什么关系？ 【观察猜想】 （1）先找若干个不为0的数a、b、c、d（、），使得成立，再代入这组数值计算分式的值，观察这三个分式的值之间有什么关系． 解：当_________、_________、________、________时， 因为_________，____________， 所以三个分式之间的数量关系为：________________． 【严谨证明】 （2）对于任意一组不为0的数a、b、c、d（、），若成立，这几个分式的关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）解：当，，，时，，，三个分式的数量关系为（数值选取不唯一，符合条件即可）． （2）该关系仍然成立， 证明：设， ∵、、、都不为， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意代入适当的值即可求解； （2）设，然后可得，，进而根据分式的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 29. 如图，将2块边长的大正方形，2块边长的小正方形，5块长、宽的小长方形按图中虚线拼接成一张大长方形纸板． （1）观察图形，请从因式分解的角度，用一个含有a、b的等式表示拼接过程．________． （2）已知大长方形纸板的周长为． ① 求的值； ② 当图中阴影部分的面积为时，求图中空白部分的面积． 【答案】（1） （2）①7；② 【解析】 【分析】（1）等积法列出等式即可； （2）①根据题目中的条件，列出大长方形的周长即可求解；②根据题意列出方程组，求出的值，表示出空白部分的面积的代数式求解即可． 【小问1详解】 解:大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为的大正方形，块是边长都为的小正方形，块是长为，宽为的相同的小长方形， 大长方形的面积为； 大长方形的长为，宽为， ； 【小问2详解】 解：根据大长方形的周长计算公式及由题意，得， ， 解得； ②由题意得， ， 解得， 空白部分的面积为． 30. 【阅读理解】如果一个正整数能表示成（是正整数且）的形式，那么称这个正整数为“方整数”．小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方整数”，并从中寻找规律： ， ，， ，，， ， 小杰采用不同的方法，找到一类“方整数”，试图发现“方整数”更本质的特征： 设为正整数且， 因为， 所以这样的数都是“方整数”． 【尝试运用】 （1）填空：________“方整数”（填“是”或“不是”）； 因为，所以是“方整数”； （2）已知（是正整数且，是常数），当________时，不论取何值，都是“方整数”； 【深入探究】 （3）请你模仿小杰的方法找到一类“方整数”，并描述你找到的这类“方整数”的特征； （4）请写出到之间的所有“方整数”，并说明理由（不包含和）． 【答案】（1）是；，； （2）； （3）这样的数都是“方整数”，即所有的倍数（除外）都是“方整数”； （4）解：由题意得这样的数都是“方整数”， ∴， ， ， ， ， 由可得，所有的倍数（除外）都是“方整数”，则， 同理可得，， 由于，无法表示成（是正整数且）的形式， ∴综上可得到之间的所有“方整数”为，，，，，，（不包含和）． 【解析】 【分析】根据“方整数”定义即可求解； 由，然后通过“方整数”定义可得，然后求出的值即可； 模仿小杰的方法找到一类“方整数”即可； 根据“方整数”定义即可求解． 【小问1详解】 解：，∵， ∴是“方整数”； 因为， ∴是“方整数”； 【小问2详解】 解：， ， ∵要使不论、取何值，都是“方整数”， ∴，即， 此时， ∴当时，不论取何值，都是“方整数”； 【小问3详解】 解：设为正整数且， 因为， 所以这样的数都是“方整数”，即所有的倍数（除外）都是“方整数”； 【小问4详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期七年级数学期中考试试卷 （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列代数式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，则应为（ ）． A. 5 B. -5 C. 1 D. -1 3. 若是完全平方式，则m的值是（ ） A. 9 B. 1或9 C. D. 4. 在，，0，1中选一个值求的值，合适的是（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 课上老师提出了一道分式加法的题目，甲、乙、丙、丁四名学生用合作的方式完成计算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给后一人，具体化简过程如图所示，接力中，出现错误的学生是（ ） A. 只有丁 B. 甲和乙 C. 甲和丁 D. 乙和丁 6. 将三支长度相同的蜡烛A、B、C同时点燃．当蜡烛A剩一半时，蜡烛B和蜡烛C剩余部分的长度之比为；当蜡烛B剩一半时，蜡烛A和蜡烛C剩余部分的长度之比为，若整个燃烧过程中，每支蜡烛燃烧速度均保持不变，则当蜡烛C剩一半时，蜡烛A和蜡烛B剩余部分的长度之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有12题，每题2分，满分24分） 7. 计算：________ 8. 因式分解：_______． 9. 化简：________ 10. 计算：________ 11. 若（x＋2）0=1，则x的取值范围是______． 12. 若分式的值为，则的值是________ 13. 计算： ________ 14. 若（________________）的化简结果为一个二次三项式，则括号内的单项式是________． 15. 若，则______； 16. 若 ，则代数式 的值是________ 17. 我们学过因式分解，如：，其中和是的因式．我们发现，把代入可得原式；把代入可得原式．事实上如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式．运用上述结论解决问题：如果 有一个因式是，那么_____________． 18. 若，，则_________． 三、简答题（本大题共8题，第19~25题4分，第26题5分，满分33分） 19. 计算： 20. 计算： 21. 因式分解： 22. 因式分解： 23. 因式分解： 24. 计算： 25. 解方程： 26. 因式分解： 【分析】观察发现，该整式无法直接运用学过的方法进行因式分解，但整式和都能因式分解，由此可得： 原式（ ）（ ）（ ）（ ） 观察前四个整式，将一次项系数相同的两项重新组合可得： （ ）（ ） 这样，我们就可以将其中重复出现的部分看成整体，请你继续完成下面的过程： 四、解答题（本大题共4题，第27~29题6分，第30题7分，满分25分） 27. 先化简，再求值：，其中 28. 【提出问题】如果（a、b、c、d都不为0），那么分式、、（、）的值有什么关系？ 【观察猜想】 （1）先找若干个不为0的数a、b、c、d（、），使得成立，再代入这组数值计算分式的值，观察这三个分式的值之间有什么关系． 解：当_________、_________、________、________时， 因为_________，____________， 所以三个分式之间的数量关系为：________________． 【严谨证明】 （2）对于任意一组不为0的数a、b、c、d（、），若成立，这几个分式的关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 29. 如图，将2块边长的大正方形，2块边长的小正方形，5块长、宽的小长方形按图中虚线拼接成一张大长方形纸板． （1）观察图形，请从因式分解的角度，用一个含有a、b的等式表示拼接过程．________． （2）已知大长方形纸板的周长为． ① 求的值； ② 当图中阴影部分的面积为时，求图中空白部分的面积． 30. 【阅读理解】如果一个正整数能表示成（是正整数且）的形式，那么称这个正整数为“方整数”．小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方整数”，并从中寻找规律： ， ，， ，，， ， 小杰采用不同的方法，找到一类“方整数”，试图发现“方整数”更本质的特征： 设为正整数且， 因为， 所以这样的数都是“方整数”． 【尝试运用】 （1）填空：________“方整数”（填“是”或“不是”）； 因为，所以是“方整数”； （2）已知（是正整数且，是常数），当________时，不论取何值，都是“方整数”； 【深入探究】 （3）请你模仿小杰的方法找到一类“方整数”，并描述你找到的这类“方整数”的特征； （4）请写出到之间的所有“方整数”，并说明理由（不包含和）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $