辽宁省沈阳市辽宁省实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

辽宁省实验中学2025年秋季学期期中阶段测试 高二年般数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题人：张鑫 校对人：马祥 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.直线5x+2y-1=0的一个方向向量是() A.(2,-5) B.(2,5) c.(-5,2) D.(5,2) 若真线1/平面a,且1的方向向登为m,20,平面a的法向量为0,2).则m为 A.4 B.1 c.-1 D.4 3.已知在正四面体ABCD中，M为棱BD的中点，O为△ACD的重心，设AB=a,AC=,AD=C 则OM=( 4a-6+e 8.a+6+c 2 3 6 236 c克+- 3 36 4.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仪是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法” 得到椭圆的面积为圆周率π乘以椭圆的长半轴长和短半轴长，若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上， 且椭圆C的离心率为 ，面积为4W2,则椭圆c的方程为( 3y二1b.4。、 A. =1c+ =l D.y =1 8 4 818 188 5如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D中，AB=1,AD=1,AA=1,∠BAD=90°， ∠BAA=∠DAA=60°，则线段BD,的长为( A.5 B.5 C.3 D.5 6.已知直线，l的斜率分别为k,kz,倾斜角分别为a,a(a,a2≠0)，则"cos(a,-a2)<0"是 "kk2<0”的() A充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.U棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=BC=2AC,则异面直线 PB与AC所成角的余弦值为() 2W2 A. D. 3 数学试卷共4项，第项 8.若直线1：c一y+3k+1=0与曲线C:√4-x=M1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是() 29)[252c9(号-2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下面四个结论正确的是〔) A.已知向量ā=(l,1,x),b=(-3,x,9),若x 10,则a,)为钝角 B.已知a=(2,0,-),i=(3,-2,5),则向最a在向量6上的投影向量是(3，-2,5) 38 C.若直线ar+y+c=0经过第三象限，则ab>0,bc<0 D.已知A,B,C三点不共线，对于空间任意二点0，若OP=-20A+4O8+3OC,则P,A,B,C四点共面 4 10.已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，则下列四个命题中正确的是( A两条异面直线DC和BC所成的角为号 B.直线B0与平面48CD所成的角等于子 C.点C到平而ABD,的距离为 3 D.四面体BDCA的体积是； 3 京+后=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F,H焦距为2c,离心率为e直线 x2.y2 11.已知椭圆C: :y=:+C(k∈R)与椭圆交于A,B两点，则下列说法中正确的有( A.△ABF的周长为4e B.若e=方，则A例的最小值为3c C.若B的中点为M,则太wk= a 2若万A=4c，则e的取值范相为[， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知直线1：y=k(x一2)+2，当k变化时，点P(-1,)到直线1的距离的取值范围是 13.已知点P(2,一1,3)关于坐标平面Oxr的对称点为P,点户关于坐标平iOxz的对称点为P·点P关于 y轴的对称点为R，则P乃仁 数学试卷共4项，布2项 14.已知实数x,y满足x-2+U-y=1,则2=+2兰的取值范围是_ N2+y2 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 己知直线x+中y+2=0;直线红：mx-2y+m=0. (1)若，求实数m的值； (2)若2，且它们之间的距离为2√2，求真线2的斜截式方程. 16.(15分)已知两圆x2+y2-2x-6y+6=0和x2+y2-10r-12y+m=0.求：· (1)m取何值时两圆相内切？ (2)当m=36时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 17.(15分)如图，在三棱柱ABC-ABC,中，侧棱CC垂直于底面ABC,∠ACB=90°，AC=BC=2, CC工3，D,E分别是线段AA和CC,上的点，且AD=1,CE=2,M为线段AB的中点. (1)求证：CM∥平面DB,E: (2)求直线AB与平面DBE所成角的正：弦值. (3)求平面AMC,与平面DB,E所成锐二面角的余弦值 数学试卷共4项，第3页 181?分)已起精aC若+片=a>b>0的左右东点分别为R,5,短维的上下强点分期为B.马： 长轴长为2√2，△B,FF,为等腰直角三角形. (1)求椭圆C的方程； (2》请浆出过点Q万.马)且与搭划C相切的直数方程，并表示为-段式 2 (3)过左焦点F且与坐标轴不垂直的直线1，与曲线C相交于A,B两点，AB的中点为M,.求三角形MBF 面积的取值范围. 19.(7分)己知圆方程、椭圆方程都是二元二次方程，但是二元二次方程可以表示多种曲线，甚至可以 表示两条直线，例如“x2-y2+2y-1=0”可以写为“(x+y-1)(x-y+1)=0”即表示直线“x+y-1=0 和x一y+1=0”,请解决如下问题 (1)已知方程2x+y2-3y-x-1=0表示两条直线，请写出这两条直线的一般式方程。 (2)己知方程x2+x)+y2=1表示中心在原点，经过“旋转”之后的椭圆，请求出该椭圆的对称轴所在 的直线方程，椭圆的长轴长，短轴长和焦距。 (3)已知旋转变换的规则如下：点P(x,y)绕原点逆时针旋转B后得到点P(x',y),其中 x'=xcos0-ysin 0 ,现有二元二次方程13x2+7y2-6W3x-16=0,是-一个中心在原点，焦点在x轴 y'=xsin 0+ycos@' 上的椭圆E逆时针旋转B角（日∈[0，）)后所得的方程，请求出椭圆E的标准方程和日的值 数学试卷共4项，弟4页 高二数学答案： 18 ACAA AABD 9.BD 10.ACD 11.ACD 12.l0V10 13.2V5 15.(1)(1,1)(m,-2)=0 m-2=0解得m=2 ------5分 2)1=1 m-2 ∴.m=-2 7分 :x+y- =0 2 12+n d=- 一9分 2 =2W2 解得n=4或-12 11分 .y=-x+2 -12分 或y=-x-6 -13分 16(1)圆C:(x-1)2+(y-3)2=4和圆C2:(x-5)2+(y-6)2=61-m 1C,C2=V16+9=5=√61-m-2 解得m=12 6分 (2)公共弦：4x+3y-15=0 9分 d=4+9-151_2 -12分 √16+9 5 弦长=24-(-8y6 =5 15分 17.(1)证明：取AB中点N,连接MN交DB于F,连接EF .:侧棱CC,垂直于底面ABC ∴.三棱柱ABC-AB,C,为直三棱柱 .MNI∥AAI∥CC .·M为AB,中点 .MF为△AB,D中位线 1/4 ：MF∥A,D,MF=5AD=1 又.C,E=1 .C,E∥MF .四边形MFEC,为平行四边形 .CM∥EF 又：CM文平面DB,E,EFc平面DB,E .CM∥平面DB,E 4分 (2)由题意知，CA,CB,CC,两辆垂直，故以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 则D(2,0,1),B1(0,2,3),E(0,0,2,),A(2,0,0),B(0,2,0) -5分 设平面DB,E的一个法向量为n=(x,y,2), DB=(-2,2,2),DE=(-2,0,1), n.DB=0∫-x+y+z=0 n.DE=0 -2x+z=0 令x=1可得y=-1,z=2 即n=(1,-1,2) 一8分 记直线AB与平面DB,E的夹角为O .AB=(-2,2,0) 4B.n 4 .sin 10分 2W2.×√63 (3)设平面AMC的法向量为n,=(a,b,e), M(1,1,3) AM=(-1,13),AC=(-2,0,3) n2·AM=0「-a+b+3c=0 → n2·AC=0-2a+3c=0 令c=2,则a=3,b=-3 n2=(3,-3,2) -13分 设平面AMC与平面DBE 所成锐二面角为 2/4 |3+3+45V33 cos a= √6√22 33 15分 18、(1)由题意，a=V2,6=c=1,所以椭圆c的方程为之+广=1 一2分 (2)设过点Q的直线为n ①若n斜率不存在，则方程为x=-、2,恰好与椭圆相切，符合题意 -4分 m斜率存在：设斜率为k则1方程为)=k(x+V② 2 与+=1联立，得2+3)N+(2k+IW2x+(2k+2k-3=0 念△=0解得k=、 -9分 直线”方程为x-4y+3V2=0 综上所述，直线n方程为x+V2=0或x-4y+3V2=0 -———10分 (3)由题意，设直线：x=y-1(m≠0) x=my-1 x2+2y2=2 得：(m2+2)y2-2y-1=0 M(2 2W2,直线xy-0B -12分 /2 m -1川2.m+2 d=m2+2m2+2-= +1 V2 2m2+2 0t=0时 设1=m+2(≠2)则m=1-2m+2 t 1 m2+2t2-4t+6 t≠0时 1+6-4 +94e(m26-4b6-4+ 一15分 17分 3/4 19.。(1)方程可写为y2-3xy+2x2-x-1=0 利用求根公式y=3x±V+4+4_3x士+2) 2 2 整理得2x-y+1=0和x-y-1=0 一4分 (2)将方程中的x替换为y,y替换为x,方程不变，所以对称轴为少=X 一一5分 将方程中的x替换为-y,y替换为-x,方程不变，所以对称轴为y=-x 一一6分 ++=1与联立，解有=士百 2√6 此轴长为3 x+y+y=1与y=x联立，解得x=1 此轴长为2V2 2-202-22-9 3 一一一9分 (3)由题意， 13(xcose-ysin 0)2+7(xsin 0+ycose)2-6v3(xcos0-ysin )(xsin 0+ycose)-16=0 化简得：(7+6cos20-3W3sin20)x2+(7+6sin20+3v3sim20) -(6sim20+6V3cos20)xy-16=0 若要得到椭圆标准方程，需要6sin20+6V3cos20=0 解特an20=520=200= 3 3 ——15分 代入方程得：4x2+16y2-16=0 即4+y=1 -17分 4/4