2.1 圆（分层作业练题型）高二数学沪教版选择性必修第一册

分层作业 2.1 圆 目 录 A组 巩固过关 2 题型01圆的标准方程求解及应用 2 题型02圆的一般方程与方程互化 3 题型03直线与圆位置判定及求参 5 题型04直线与圆的最值范围问题 7 题型05弦长问题与韦达定理应用 9 题型06圆的切线方程与切线长计算 11 题型07圆与圆位置判定及求参 12 题型08两圆公共弦与圆系方程应用 14 题型09直线与圆的定点定值问题 15 题型10直线与圆的实际应用问题 20 B组 能力进阶 23 C组 思维拔高 37 圆的标准方程求解及应用 1．（2026·高二·江西·阶段检测）以点为圆心且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意得圆的半径， 则圆的标准方程为. 故选：D. 2．（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于的奇数都是三个素数之和，如，.若从中任取个不同的素数组成点，其中，且组成的所有点都在圆上，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知：所有可能的结果为：，，， ，，，则， 圆的圆心为中点，半径， 圆的标准方程为：. 故选：D. 3．（2026·高二·河南·期中）若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，线段的中点，， 圆过，两点，当圆的半径最小时，线段为圆的直径， 所以圆的标准方程为. 故选：D 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 圆的一般方程与方程互化 5．过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆的一般方程为， 由题意可知，圆经过三点，则，解得， 所以圆的方程为，即，故B正确. 6．（2026·高二·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 7．（贵州省县中新学校计划项目2025-2026学年高二期中联考数学试题）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以圆心为， 即，，所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为. 故选：A. 8．（2026·高二·全国·单元测试）直线经过圆的圆心，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆， 则圆心为，代入直线方程， 得，解得. 直线与圆位置判定及求参 9．（2026·高二·浙江台州·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将曲线方程两边平方，得（）, 可知该曲线表示圆心在原点、半径为1的圆在轴上方部分，包含、两点. 由直线方程可知其过定点，斜率为， 由圆心到直线的距离，解得，此时两直线为； 再考虑直线过点，可得；直线过点，可得. 要使直线与曲线有两个不同的交点， 只需使直线的斜率满足或, 即得实数的取值范围为. 10．（2026·高二·浙江温州·期中）若圆上到直线的距离为的点至多有2个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离. 因为圆上到直线距离为的点至多有2个， 所以，所以 11．（2026·高二·上海徐汇·期中）曲线，与直线有两个交点，则实数范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由曲线，，可得，， 所以曲线，为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线与曲线有两个交点时，可得. 与半圆相切，则，整理得，解得，即. 经过点，则，解得，即. 所以实数范围是. 12．（2026·高二·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【解析】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 直线与圆的最值范围问题 13．（2026·高二·全国·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 即圆心，半径为的圆. 设 ，即直线 ， 则圆心到该直线距离，解得， 所以 的最大值为 . 14．（2026·高二·北京顺义·阶段检测）已知点，动直线：，作于点，则点到坐标原点距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将直线的方程整理为， 令，解得，即直线恒过定点， 因为，垂足为，所以， 根据直径所对圆周角为直角，可知点的轨迹是以线段为直径的圆， 因为、，则圆心为的中点，半径， 原点到圆心的距离为， 而圆上点到圆外点的最小距离为点到圆心的距离减半径， 故点到原点的最小距离为. 15．（2026·高二·江苏扬州·阶段检测）已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 16．已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】根据，则直线的方程为，即， 又由，则圆心为， 则， 所以点到直线的最小值， . 故选：C 弦长问题与韦达定理应用 17．（2026·高二·广东佛山·期中）已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 【解析】（1）设圆的圆心为，则圆的方程为， ，解得， 所以圆的方程为； （2）由（1）知圆心，，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以当直线斜率不存在时，，此时符合题意； 当直线斜率存在时，设，即， 此时，整理得，解得， 所以直线的方程为或． 18．（2026·高二·甘肃兰州·期中）已知圆心为的圆过，两点，且圆心在直线：上． (1)求此圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程． 【解析】（1）∵，， 线段的中点为，直线的斜率，线段的中垂线的斜率为，从而线段的中垂线的方程为，即. 联立，解得圆心. ∴圆的半径，故此圆的方程为. （2）由可得弦心距. 当直线的斜率不存在时，即其方程为，圆心到直线的距离为，符合题意. 当直线的斜率存在时，设方程为，即，则圆心到直线的距离，解得，此时直线的方程为. 综上可得，直线的方程为或. 19．（2026·高二·上海松江·期中）已知圆：， (1)直线过点且与圆相切，求直线的方程； (2)已知直线：，求证：恒过定点；并求直线被圆截得的最短弦长. 【解析】（1）圆的圆心为，半径， 设直线的方程为：（A、B不同时为0）， 因为过点，所以，， 因为直线与圆相切，所以， 即，所以， 两边同时平方得，化简得， 解得或， 当时，，，直线的方程为，即； 当时，A、B都不为0，， 直线的方程为，即； 所以直线的方程为和. （2）由，得， 由 ，得，所以直线过定点； 当时，圆心到直线的距离最大， 因为半径为定值，所以此时弦长最短， 因为， 所以最短弦长为. 圆的切线方程与切线长计算 20．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）过原点作圆的切线，切点为，则切线长度为_____． 【答案】 【解析】由圆的方程，可得该圆的圆心为，半径， 原点到圆心的距离为. 因为是切线的切点，根据圆的切线性质可知，即为直角三角形，且. 由勾股定理可得切线长. 21．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知圆C的方程为，过直线上一点P作圆C的两条切线，若两切点之间的距离为，则点P的坐标为________ 【答案】 或 【解析】记圆的圆心为，半径，设两切点为，的中点为. 由弦长性质可知，， 由勾股定理得： . 因为是圆的切线，故， 由射影定理可得，代入得： ，所以. 设，因在直线上，故， 又，所以， 联立解得，或，. 经验证两点均满足作圆两条切线的条件，故点的坐标为或. 22．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）过点的直线与圆相切于点，则的长为______． 【答案】 【解析】由题意得，，由两点间距离公式得， 而过点的直线与圆相切于点，可得，， 由勾股定理得. 23．（2026·高二·江苏宿迁·阶段检测）求过点，且与直线：切于点的圆的方程________． 【答案】（或整理为一般式） 【解析】设圆心， 由条件可知，直线的斜率为， 所以， 线段的中点为，线段的垂直平分线为， 则圆心在直线上，，所以， 所以圆心,, 所以圆的标准方程为. 圆与圆位置判定及求参 24．（2026·高三·甘肃白银·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，圆被轴截得的弦长为8，且与圆：内切，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆心，圆的半径为，圆心到轴距离， 根据弦长公式可知：， 圆：，圆心，半径，两圆内切可知， 同时，则， 代入得，令， 则， 解得，则 25．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）若圆上存在点满足，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，由得， 因为圆上存在点满足， 故圆与圆有公共点， 其中的圆心为，半径为2， 所以， 两边平方得，，故恒成立， 两边平方得，解得， 所以a的取值范围是. 26．（2026·高二·江西赣州·期末）若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 【答案】A 【解析】圆：的圆心为，半径为， 而圆：的圆心为，半径为， 因两圆外切，则，解得. 故选：A. 27．（2026·高二·福建·期中）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】C 【解析】因为，所以，，； 由，所以，. 因为直线平分圆的面积，所以圆心在直线上。 所以. 所以， 所以，又，所以圆与圆内切. 两圆公共弦与圆系方程应用 28．（2026·高二·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 29．（2026·高二·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 30．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 31．（2026·高二·安徽六安·阶段检测）已知直线：与圆：相交于，两点，过点，及的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线：与圆：相交于，两点 设点，及的圆的方程为，与的公共弦为， 故有，代入， 得，解得， 故选：A 直线与圆的定点定值问题 32．（2026·高二·全国·期中）如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 【解析】， 设，则直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，即，则，同理， 所以直线的斜率， 则直线的方程为，即， 所以直线恒过定点. 33．已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 【解析】（1）依题意，圆C的半径， 所以圆C的标准方程是：. （2）设直线方程为：，由消去y并整理得：， 则有点，而直线：，同理， 于是得直线的斜率， 所以直线m的斜率是定值，该定值为. 34．（2026·高二·河北张家口·期末）已知直线与圆交于两点． (1)当最大时，求直线的方程； (2)若，证明：为定值． 【解析】（1）当最大时，为直径，即直线过圆心， 把圆心代入直线的方程，有，解得，直线的方程为. （2）设，，由题意知k存在， 由，得 所以 ， ，且， 因为 ， ，， 所以 ，即为定值. 35．（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）已知圆：，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？求出该定点，并说明理由． 【解析】（1）设点，， 由点的坐标为，且是线段的中点， 则， 可得，，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为． （2）圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点， 则可设， 因为，都是圆的切线， 所以，， 所以，在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由①-②整理得， 所以直线的方程为， 即， 令，解得， 所以直线过定点． 36．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知直线l与圆O：相交于A，B两点，且． (1)若直线l过点，求直线l的方程； (2)①若线段的中点为点D，求点D的轨迹方程； ②记①中D的轨迹为曲线C，过点作直线m与曲线C交于两点，点Q的坐标为，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【解析】（1）可知圆心，半径，当时，圆心到直线的距离， 依题意，当直线l的斜率存在时，可设直线，化简得， 由到直线的距离为，解得， 即直线，变形得； 当直线l的斜率不存在时，直线到圆心距离为，符合条件； 综上所述，直线的方程为或. （2）①由（1）可知线段的中点到圆心的距离为，所以点D的轨迹方程为. 直线与圆的实际应用问题 37．（2026·高二·浙江·期中）一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 作于，作于， 直线的方程为， 故 又可得，， ， 从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时. 故选：A 38．（2026·高二·内蒙古鄂尔多斯·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 【答案】C 【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 则直线，即，圆， 记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为， 则，所以被监测的时长为分钟. 故选：C 39．（2026·高二·安徽合肥·期中）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．2小时 【答案】B 【解析】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：B. 1．（26-27高二上·内蒙古锡林郭勒·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，由圆，点和点，为圆上的动点，可得 ，其中， 易知点在圆外，点在圆内，如图所示， 可得， 当且仅当为的延长线与圆的交点时，取得等号， 所以的最大值为. 2．（26-27高二上·北京西城·期中）若为单位圆上两个动点，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得，在平面直角坐标系中，原点，， 则， 所以，即在单位圆上，圆心角恒为， 又是点到直线的距离， 记， 则的最大值表示为的最大值. 若点在直线左下方，则，， 若点在直线右上方，则，， 所以当都在直线左下方时，距离容易取到较大值， 此时， 所以要最大化，等价于最小化， 设，则， 所以，， 所以 ， 所以 所以. 3．（26-27高二上·宁夏银川·期中）数学美的表现形式不像自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线．对于曲线，下列说法错误的是（    ） A．曲线上任意两点间距离的最大值为 B．若点在曲线的内部不含边界，则 C．若曲线与直线有公共点，则 D．若曲线与圆有公共点，则 【答案】D 【解析】当时，， 它是圆心为，半径的圆在第一象限内以及坐标轴上的部分； 当时，， 它是圆心为，半径的圆在第二象限内以及轴上的部分； 当时，， 它是圆心为，半径的圆在第三象限内的部分； 当时，， 它是圆心为，半径的圆在第四象限内以及轴上的部分． 作出曲线如图所示，其中，，，． 对于A，因为曲线在第一象限内的点到原点的距离的最大值为， 且曲线关于轴、轴、原点均对称， 所以曲线上任意两点间距离的最大值为，A正确； 对于B，因为点在曲线的内部不含边界， 所以点也在曲线的内部不含边界． 故点坐标满足，即， 解得，即，B正确； 对于C，易知当直线与曲线相切时，即为取值的临界情况． 当直线与曲线相切于第二象限时， 点到直线的距离， 解得或（舍去）； 当直线与曲线相切于第四象限时， 点到直线的距离， 解得（舍去）或． 故曲线与直线有公共点，则，C正确； 对于D，易得曲线与坐标轴的交点为，． 当圆过，时， 最小，最小值为； 当圆与圆外切时，最大，最大值为． 故若曲线与圆有公共点，则，D错误． 4．（26-27高二上·天津河西·期中）直线与圆交于，两点，则_______．点是圆上一点，则面积的最大值为_______． 【答案】 6 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 故， 点是圆上一点，则到直线的距离最大值为， 故面积的最大值为. 5．（26-27高二上·北京海淀·期中）设直线 与圆 相交于 ， 两点，且 的面积为 ，则 _________ 【答案】 【解析】由圆的方程，可得圆心，半径，， 由 ， 得，因此， 即为等腰直角三角形， ， 设圆心到直线的距离为，由三角形面积公式，得 ，解得， 所以圆心到直线的距离为 ，两边同时平方得 ，解得. 6．（26-27高二上·云南昆明·期中）设点，，直线关于直线对称的直线与圆：有公共点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】圆：，圆心，半径，直线的斜率. 设关于直线的对称点. 由，解得，即，半径. 因为，直线方程为，即. 直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离. 即.整理得，解得或. 所以实数的取值范围是. 7．（26-27高二上·天津滨海新区·期中）已知圆关于直线对称的圆的方程为，若点是圆上点，则点到直线距离的最小值是______． 【答案】 【解析】设圆的圆心坐标为， 对称的圆的方程为，圆心，半径为， 所以圆的半径为2， 点和关于直线对称， 直线的斜率为1， 可得方程组，解得， 所以圆的方程为，圆心，半径， 到直线的距离为， 所以圆上点到直线距离的最小值是. 8．（26-27高二上·浙江台州·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内到两定点的距离之比等于常数的点的轨迹是一个圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知点，点是圆上任意一点，若在轴上存在不同于点的定点，使得恒成立，则_________________． 【答案】0 【解析】设点，由，得, 则，即， 因为点在圆上，所以，代入得： ， 令解得（舍）或，得， 则. 9．（26-27高二上·陕西商洛·期中）已知圆，直线． (1)证明：直线恒过定点，且直线与圆恒交于两点； (2)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹的方程． (3)已知点为圆上任一点，过点作直线与曲线相切于、两点（、不重合），求的最小值． 【解析】（1）证明：将直线的方程整理为， 联立，解得定点坐标为． 圆心到该定点的距离为（圆半径为）， 定点在圆内部，因此直线恒过圆内定点，与圆恒交于两点． （2）设、，由中点公式得，即， 代入圆的方程，可得， 化简得轨迹的方程为． （3）设轨迹的圆心为，半径， 由切线长的性质，可得． 设，则， 推导得， 由在圆上，，且， 则，即有． 令，则，对勾函数． 由于，当且仅当，即时，等号成立． 故当时，函数取得最小值，最小值为． 故的最小值为． 10．（26-27高二上·贵州铜仁·期中）已知圆经过、两点，圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设平行于的直线与圆相交于、两点，且，求直线 的方程； (3)设点满足：存在圆上的点，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 由，，，得， 即，解得. 所以， 因此圆的方程为. （2）由，得，又因为直线平行，所以直线的斜率， 设，即. 圆心到的距离， 由，，圆的半径， 由圆的弦长公式，得， 即，解得或. 因此直线的方程为或. （3）设，由，，， 所以，，又因为，所以 即直线，所以点在直线上. 若存在圆上的点满足上述直线方程， 等价于直线与圆有公共点， 因此圆心到该直线的距离， 即 ，解得， 因此实数的取值范围为. 11．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程； (2)若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？ 【解析】（1） 分别以AD，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得，因为点M需在矩形场地内， 所以，故所求轨迹方程为； （2）当线段FP与（1）中圆相切时，则， 所以，所以， 若电子狗在线段FP上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是． 12．（26-27高二上·甘肃白银·期中）已知点，，动点满足，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)求与圆的公共弦所在直线的方程； (3)若，证明：上恰有2个点到直线的距离为1． 【解析】（1）设点．由，得， 两边平方得，整理得， 则的方程为（或）． （2）由，得， 所以与圆的公共弦所在直线的方程为（或）． （3）证明：的圆心为，半径， 圆心到直线的距离． 因为，所以，则， 即， 所以上恰有2个点到直线的距离为1． 13．（26-27高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，过动点（）作圆：的两条切线，切点分别为和，设直线，分别与轴交于，两点． (1)当时，求的面积； (2)证明：直线恒过定点； (3)设直线与的外接圆交于点（异于），证明：点在定直线上． 【解析】（1）当时，点坐标为．显然当切线斜率不存在时不合题意， 故设过的圆的切线斜率为，则切线方程为． 由圆心到切线的距离等于半径1，有，解得或． 故两条切线的方程分别为． 不妨设的方程为的方程为， 则．的面积． （2）方法一：由题意， 故，均在以为直径的圆上（记作圆），如图中虚线所示． 所以，线段为圆与圆的公共弦． 由，得圆圆心为，半径． 所以圆的方程为， 整理得. 将圆的方程与圆的方程作差， 可得直线的方程为. 将直线的方程化为， 令，解得． 所以直线恒过点． 方法二：设，则直线的斜率（不垂直轴时）， 由，直线的方程为， 整理得， 当垂直轴时，上述方程依然成立. 由在圆上，有，将代入上式得， ，即. 所以，直线的方程为． 同理，直线的方程为． 由于点为直线与的交点， 故有. 根据上述两式，，两点的坐标均满足二元一次方程， 所以，直线的方程即为． 将直线的方程化为， 令，解得． 所以直线恒过点． （3）因为切线，关于直线对称，所以． 在的外接圆中，由得，故在的垂直平分线上． 所以，为的垂直平分线与直线的交点． 设过的圆的切线斜率为，则切线方程为． 由圆心到切线的距离等于半径1，有，整理得， . 设直线，的斜率分别为，则为上述关于的二次方程的两根． 由韦达定理，． 在直线，的方程中分别令， 可得． 所以的垂直平分线方程为． 由，易得直线的方程为． 联立两条直线方程得，解得，即． 由点坐标，有，即． 所以，点在直线上． 14．（26-27高二上·云南昆明·期中）动圆：与直线：交于，两点. (1)证明：动圆必过两定点； (2)当时，过原点的直线与圆交于，不同两点，且直线不过的圆心.过，分别作圆的切线，，，求证：在一条定直线上； (3)是否存在定点，无论为何值，都有恒为常数0，若存在，求定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：由动圆：，化简得， 所以，解得或， 所以动圆必过，两定点. （2）证明： 由，可得圆为，设，，， 则圆心，设直线上的任一动点，切点为， 所以，，且， 所以， 即， 化简得， 所以过点的切线方程为， 同理：过点的切线方程为， 因为，所以，， 所以，在直线上， 所以直线为， 又因为，所以，即， 所以在定直线上. （3）存在，或. 设，，联立， 整理可得，由题意可得，且， 设，则，， 所以， 化简可得， 无论为何值，都有恒为常数，即， 解得或， 所以的坐标为或两定点.    1．（26-27高二上·北京海淀·期中）已知圆经过，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设圆与轴的另一个交点为，动点在圆：上． ①试判断圆与圆的位置关系，并说明理由； ②直接写出面积的取值范围； (3)设过点的直线与圆交于，两点，直线与直线相交于点，问点是否在定直线上？若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 【解析】（1）直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的中点为，即， 所以线段的垂直平分线的方程为：， 即. 由，得， 所以. 所以. 所以圆的标准方程为. （2）①圆与圆相外切. 理由如下：圆：的圆心，半径为， 所以， 所以，所以圆与圆相外切. ②由（1）得，圆的标准方程为.令，则，解得或. 所以.所以. 所以直线的斜率为， 所以方程为，即. 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的范围为， 所以面积的取值范围是. （3）显然，过点的直线斜率不为， 所以设其方程为，， 由，得， 所以， 所以，. 由，， 得直线的方程为：，即； 直线的方程为：，即. 由，得， 所以，即. 所以点在定直线上. 2．（26-27高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线l上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作．已知圆． (1)已知点和点，直线，求和； (2)若圆，且圆和圆圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系； (3)若圆，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：． 【解析】（1），，，所以， 直线方程为，是上一点， 所以 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，即； （2）圆标准方程是，圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，，即，解得， 此时圆心距， 因为，， 所以，即圆和圆相交. （3）证明：圆E与x轴交于M，N两点， 则方程，即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得，又，所以， ，方程（*）的两解为，则， 由韦达定理有， 所以，解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，，交点为和， 点在圆外，则，因此，， 设直线的方程为，设， 由得， ，， ，， ， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 3．（26-27高二上·北京东城·期中）已知点，，． (1)求边上中线所在直线的方程与外接圆的方程； (2)设外接圆与轴另一交点为，设为第一象限内外接圆上一个动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．试判断直线与的位置关系，并证明你的结论． 【解析】（1） 由，，得的中点为，两点与都在轴上，故中线所在直线方程为. 设外接圆的圆心为. 因为关于原点对称，的中垂线为轴，故圆心在轴上. 由圆心到与到的距离相等，得, 即，解得. 故圆心为，半径，外接圆方程为. （2）平行，理由如下： 在中令，得. 已知，故外接圆与轴另一交点为. 直线过、，斜率，方程为. 直线过、，斜率，方程为. 设为第一象限外接圆上的点，则，，. 直线过、， 解得， 直线过、，方程为. 令，解得，即. 直线的斜率(化简用到)， , 因为，且与不重合，故. 4．（26-27高二上·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，已知、，动点满足，记动点的轨迹为.已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、. (1)求曲线的方程； (2)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由； (3)设直线、、的斜率分别为、、.证明：存在常数，使得恒成立. 【解析】（1）设， 又因为、，， 所以， 整理得. 所以曲线是以原点为圆心，半径的圆，方程为. （2）设，， 因为，所以点恒在圆外. 设切点，则切线方程为，将点代入，得； 同理，对切点，有. 所以直线的方程为，即. 则，解得. 所以直线恒过定点. （3）由，，，， 得，，. 由直线的方程与圆的方程联立得 ，消去得. ， 所以， 因为，所以，，即都不在轴上. 所以. 又因为，即， 所以. 所以存在常数，使得恒成立. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1 圆 目 录 A组 巩固过关 2 题型01圆的标准方程求解及应用 2 题型02圆的一般方程与方程互化 2 题型03直线与圆位置判定及求参 3 题型04直线与圆的最值范围问题 3 题型05弦长问题与韦达定理应用 4 题型06圆的切线方程与切线长计算 5 题型07圆与圆位置判定及求参 5 题型08两圆公共弦与圆系方程应用 6 题型09直线与圆的定点定值问题 6 题型10直线与圆的实际应用问题 8 B组 能力进阶 9 C组 思维拔高 12 圆的标准方程求解及应用 1．（2026·高二·江西·阶段检测）以点为圆心且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于的奇数都是三个素数之和，如，.若从中任取个不同的素数组成点，其中，且组成的所有点都在圆上，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·河南·期中）若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 圆的一般方程与方程互化 5．过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 7．（贵州省县中新学校计划项目2025-2026学年高二期中联考数学试题）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·全国·单元测试）直线经过圆的圆心，则的值为（ ） A． B． C． D． 直线与圆位置判定及求参 9．（2026·高二·浙江台州·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·高二·浙江温州·期中）若圆上到直线的距离为的点至多有2个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．（2026·高二·上海徐汇·期中）曲线，与直线有两个交点，则实数范围是（     ） A． B． C． D． 12．（2026·高二·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 直线与圆的最值范围问题 13．（2026·高二·全国·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 14．（2026·高二·北京顺义·阶段检测）已知点，动直线：，作于点，则点到坐标原点距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·高二·江苏扬州·阶段检测）已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 弦长问题与韦达定理应用 17．（2026·高二·广东佛山·期中）已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 18．（2026·高二·甘肃兰州·期中）已知圆心为的圆过，两点，且圆心在直线：上． (1)求此圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程． 19．（2026·高二·上海松江·期中）已知圆：， (1)直线过点且与圆相切，求直线的方程； (2)已知直线：，求证：恒过定点；并求直线被圆截得的最短弦长. 圆的切线方程与切线长计算 20．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）过原点作圆的切线，切点为，则切线长度为_____． 21．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知圆C的方程为，过直线上一点P作圆C的两条切线，若两切点之间的距离为，则点P的坐标为________ 22．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）过点的直线与圆相切于点，则的长为______． 23．（2026·高二·江苏宿迁·阶段检测）求过点，且与直线：切于点的圆的方程________． 圆与圆位置判定及求参 24．（2026·高三·甘肃白银·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，圆被轴截得的弦长为8，且与圆：内切，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）若圆上存在点满足，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（2026·高二·江西赣州·期末）若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 27．（2026·高二·福建·期中）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 两圆公共弦与圆系方程应用 28．（2026·高二·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 29．（2026·高二·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 30．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·高二·安徽六安·阶段检测）已知直线：与圆：相交于，两点，过点，及的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 直线与圆的定点定值问题 32．（2026·高二·全国·期中）如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 33．已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 34．（2026·高二·河北张家口·期末）已知直线与圆交于两点． (1)当最大时，求直线的方程； (2)若，证明：为定值． 35．（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）已知圆：，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？求出该定点，并说明理由． 36．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知直线l与圆O：相交于A，B两点，且． (1)若直线l过点，求直线l的方程； (2)①若线段的中点为点D，求点D的轨迹方程； ②记①中D的轨迹为曲线C，过点作直线m与曲线C交于两点，点Q的坐标为，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 直线与圆的实际应用问题 37．（2026·高二·浙江·期中）一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 38．（2026·高二·内蒙古鄂尔多斯·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 39．（2026·高二·安徽合肥·期中）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．2小时 1．（26-27高二上·内蒙古锡林郭勒·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·北京西城·期中）若为单位圆上两个动点，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·宁夏银川·期中）数学美的表现形式不像自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线．对于曲线，下列说法错误的是（    ） A．曲线上任意两点间距离的最大值为 B．若点在曲线的内部不含边界，则 C．若曲线与直线有公共点，则 D．若曲线与圆有公共点，则 4．（26-27高二上·天津河西·期中）直线与圆交于，两点，则_______．点是圆上一点，则面积的最大值为_______． 5．（26-27高二上·北京海淀·期中）设直线 与圆 相交于 ， 两点，且 的面积为 ，则 _________ 6．（26-27高二上·云南昆明·期中）设点，，直线关于直线对称的直线与圆：有公共点，则实数的取值范围是________. 7．（26-27高二上·天津滨海新区·期中）已知圆关于直线对称的圆的方程为，若点是圆上点，则点到直线距离的最小值是______． 8．（26-27高二上·浙江台州·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内到两定点的距离之比等于常数的点的轨迹是一个圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知点，点是圆上任意一点，若在轴上存在不同于点的定点，使得恒成立，则_________________． 9．（26-27高二上·陕西商洛·期中）已知圆，直线． (1)证明：直线恒过定点，且直线与圆恒交于两点； (2)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹的方程． (3)已知点为圆上任一点，过点作直线与曲线相切于、两点（、不重合），求的最小值． 10．（26-27高二上·贵州铜仁·期中）已知圆经过、两点，圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设平行于的直线与圆相交于、两点，且，求直线 的方程； (3)设点满足：存在圆上的点，使得，求实数的取值范围． 11．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程； (2)若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？ 12．（26-27高二上·甘肃白银·期中）已知点，，动点满足，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)求与圆的公共弦所在直线的方程； (3)若，证明：上恰有2个点到直线的距离为1． 13．（26-27高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，过动点（）作圆：的两条切线，切点分别为和，设直线，分别与轴交于，两点． (1)当时，求的面积； (2)证明：直线恒过定点； (3)设直线与的外接圆交于点（异于），证明：点在定直线上． 14．（26-27高二上·云南昆明·期中）动圆：与直线：交于，两点. (1)证明：动圆必过两定点； (2)当时，过原点的直线与圆交于，不同两点，且直线不过的圆心.过，分别作圆的切线，，，求证：在一条定直线上； (3)是否存在定点，无论为何值，都有恒为常数0，若存在，求定点的坐标；若不存在，请说明理由.    1．（26-27高二上·北京海淀·期中）已知圆经过，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设圆与轴的另一个交点为，动点在圆：上． ①试判断圆与圆的位置关系，并说明理由； ②直接写出面积的取值范围； (3)设过点的直线与圆交于，两点，直线与直线相交于点，问点是否在定直线上？若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 2．（26-27高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线l上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作．已知圆． (1)已知点和点，直线，求和； (2)若圆，且圆和圆圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系； (3)若圆，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：． 3．（26-27高二上·北京东城·期中）已知点，，． (1)求边上中线所在直线的方程与外接圆的方程； (2)设外接圆与轴另一交点为，设为第一象限内外接圆上一个动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．试判断直线与的位置关系，并证明你的结论． 4．（26-27高二上·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，已知、，动点满足，记动点的轨迹为.已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、. (1)求曲线的方程； (2)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由； (3)设直线、、的斜率分别为、、.证明：存在常数，使得恒成立. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $