1.3 两条直线的位置关系（分层作业练题型）高二数学沪教版选择性必修第一册

分层作业 1.3 两条直线的位置关系 目 录 A组 巩固过关 2 题型01两直线平行关系的判定方法及应用 2 题型02两直线垂直关系的判定条件及应用 2 题型03直线围合平面图形的面积求解问题 3 题型04两直线交点坐标的求解及综合应用 3 题型05含参数直线的位置关系辨析 3 题型06三角形中的直线综合 4 B组 能力进阶 6 C组 思维拔高 9 两直线平行关系的判定方法及应用 1．（2026·高一·甘肃武威·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 2．过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 3．已知是直线：外一点，则方程与的倾斜角（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．不相等 4．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 两直线垂直关系的判定条件及应用 5．（2026·高二·山西朔州·阶段检测）已知直线的斜率，直线的斜率，则与（      ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 6．（2026·高二·广西南宁·阶段检测）已知直线，，则两条直线位置关系（     ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交不垂直 7．（2026·高二·四川绵阳·阶段检测）直线和的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 8．（2026·高二·上海杨浦·期中）直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 直线围合平面图形的面积求解问题 9．（2026·高二·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（    ） A． B． C． D．1 10．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知，直线：与y轴的交点为A，：与x轴的交点为B，与的交点为，则四边形的面积的最小值为_______． 11．（2026·高二·全国·单元测试）与直线平行，且与坐标轴围成的三角形的面积是24的直线的方程是__________． 两直线交点坐标的求解及综合应用 12．（2026·高二·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2026·高二·甘肃定西·期中）直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·高二·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 15．已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 含参数直线的位置关系辨析 16．（2026·高二·云南玉溪·期中）直线的斜率是，直线经过点，，，则的值为________． 17．（2026·高二·陕西渭南·期中）已知直线 ，，若 ，则实数 的值是 ________． 18．（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）已知两条不重合的直线：和：，，若，则的值为__________． 19．（2026·高二·甘肃·期中）已知直线：，：，若，则实数的值为__________． 20．（2026·高一·上海奉贤·阶段检测）已知直线与互相垂直，则实数的值为________． 三角形中的直线综合 21．（2026·高二·安徽阜阳·阶段检测）已知直线：，：，其中为实数． (1)当时，求的值； (2)当时，求过直线，的交点且平行于直线的直线方程． 22．（2026·高二·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.    (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 23．（2026·高二·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上． (1)若是边上的高，求直线的方程； (2)若是边上的中线，求直线的方程． 24．（2026·高二·天津滨海新区·期中）已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 1．（2026·高二·四川成都·阶段检测）在中，已知顶点，，过点的角平分线方程是，则直线的方程为________________． 2．（2026·高三·江苏宿迁·期中）若方程表示两条平行的直线，则的值为__________. 3．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，点，为直线上一动点，则的最小值是_________，对应点的坐标是_________． 4．（2026·高二·广东广州·期中）已知直线：与直线：，. (1)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程； (2)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程. 5．（2026·高二·天津河东·期中）已知的三个顶点 (1)求边所在直线在轴上的截距; (2)求边上的中线所在直线与边上的高所在直线的交点的坐标. 6．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知直线，均过点． (1)若直线过点且，求直线的方程； (2)如图，为坐标原点，若直线的斜率为，其中，与轴交于点，与轴交于点，求最小值． (3)如图，为坐标原点，若直线的斜率为，其中，且与轴交于点，直线过点（为常数），且与轴交于点，求直线，与两坐标轴围成的四边形面积的最小值． 7．（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）在 中， 边上的高所在的直线方程为 ， 边上的高所在的直线方程为 ，点 的坐标为 ， 的垂心为 ． (1)求垂心 的坐标； (2)求 边所在的直线方程； (3)若 为原点， 为直线 上任意一点，求 的最小值及此时点 的坐标． 8．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程（用斜截式表示）； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 9．（2026·高二·天津东丽·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求边所在直线的方程． 10．（2026·高二·青海西宁·阶段检测）已知直线：与直线：，． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程． 11．（2026·高二·福建泉州·阶段检测）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的方程； (2)求直线的方程及点的坐标. 12．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）已知，求(均写成一般式方程)： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)边垂直平分线方程及点关于对称点； (3)过点且在坐标轴上截距相等的直线方程．    1．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）如图直线l过点，与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，的面积为24．点P为线段上一动点，且交于点Q． (1)求直线斜率的大小； (2)若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定P点在上的位置，并求出线段的长； (3)在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）将一张长为2宽为1的矩形纸片置于平面直角坐标系中，其中． (1)若直线与均过点B，且，分别求出与的直线斜截式方程． (2)将矩形纸片折叠，使O点落在线段上，记为点，记折痕所在直线为l，其斜率为k，求k的取值范围． 3．（2026·高二·广东惠州·阶段检测）已知与是两条不重合的直线，为实数. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若与相交，求的取值范围. 4．（2026·高二·安徽合肥·阶段检测）已知直线l过点． (1)若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程； (2)已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求所在直线的方程． 5．（2026·高二·重庆渝北·阶段检测）已知点，，直线：，点为直线上的动点． (1)已知三角形的重心在直线上，求点的坐标； (2)若点在第一象限，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，求的最小值． 6．（2026·高二·广东惠州·阶段检测）（1）已知直线经过点、点，直线经过点、点. ①求直线的倾斜角； ②若，求的值. （2）已知点，直线经过点，且与以、为端点的线段有公共点，求直线的斜率的取值范围. 7．（2026·高二·河南许昌·阶段检测）已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线的一个方向向量为，求直线的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 8．（2026·高二·贵州遵义·期末）已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求边上的高线的方程. 9．（2026·高二·北京·期中）过点作直线， (1)若直线被直线所截得的线段被点平分，求直线的方程； (2)若直线将平面分成6个部分，求直线的方程. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.3 两条直线的位置关系 目 录 A组 巩固过关 2 题型01两直线平行关系的判定方法及应用 2 题型02两直线垂直关系的判定条件及应用 3 题型03直线围合平面图形的面积求解问题 4 题型04两直线交点坐标的求解及综合应用 5 题型05含参数直线的位置关系辨析 7 题型06三角形中的直线综合 8 B组 能力进阶 11 C组 思维拔高 22 两直线平行关系的判定方法及应用 1．（2026·高一·甘肃武威·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 【答案】A 【解析】两直线的斜率都是2，但在轴上的截距分别为：3，-5， 故两直线平行， 故选：A 2．过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】B 【解析】由题意，由点和点，可得，所以的方程为， 又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故选：B． 3．已知是直线：外一点，则方程与的倾斜角（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．不相等 【答案】A 【解析】由直线方程，即， 又：， 又在直线外，所以， 则， 所以直线与平行， 即两直线倾斜角相等， 故选：A. 4．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【解析】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 两直线垂直关系的判定条件及应用 5．（2026·高二·山西朔州·阶段检测）已知直线的斜率，直线的斜率，则与（      ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 【答案】B 【解析】由， 所以与垂直． 6．（2026·高二·广西南宁·阶段检测）已知直线，，则两条直线位置关系（     ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交不垂直 【答案】B 【解析】因为直线的斜率分别为和，且，所以与的位置关系是垂直. 7．（2026·高二·四川绵阳·阶段检测）直线和的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】C 【解析】由题意两直线的斜率分别为和，且都过点， 因为且， 所以两直线相交但不垂直. 8．（2026·高二·上海杨浦·期中）直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】B 【解析】由题意，直线与直线中， 可得，所以直线与直线的位置关系是垂直． 故选B． 直线围合平面图形的面积求解问题 9．（2026·高二·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】过定点，也过定点，如图所示， 在的方程中，令，则， 在的方程中，令，则， 则点，， ． 由二次函数性质可得，当时，S取得最小值． 故选：C. 10．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知，直线：与y轴的交点为A，：与x轴的交点为B，与的交点为，则四边形的面积的最小值为_______． 【答案】 【解析】由题意得，， 由解得， 则 ， 等号成立时， 故四边形的面积的最小值为 11．（2026·高二·全国·单元测试）与直线平行，且与坐标轴围成的三角形的面积是24的直线的方程是__________． 【答案】或 【解析】设， 当时，，当时，， ∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为， ∴， ∴， ∴直线的方程为或. 故答案为：或. 两直线交点坐标的求解及综合应用 12．（2026·高二·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 13．（2026·高二·甘肃定西·期中）直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设与的交点坐标为，与的交点坐标为， ，即，， 由中点坐标公式得，， 即，解得，所以，， 则直线的方程为，即. 故选：C 14．（2026·高二·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【解析】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 15．已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 含参数直线的位置关系辨析 16．（2026·高二·云南玉溪·期中）直线的斜率是，直线经过点，，，则的值为________． 【答案】 【解析】直线经过点，，， ，，解得. 17．（2026·高二·陕西渭南·期中）已知直线 ，，若 ，则实数 的值是 ________． 【答案】 【解析】两直线平行需 且不重合，求解即可。 由 得 或 ． 当 时， 与 表示同一条直线，舍去； 当 时，，，两直线平行．故 ． 18．（2026·高二·北京朝阳·阶段检测）已知两条不重合的直线：和：，，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】由题意得，解得. 19．（2026·高二·甘肃·期中）已知直线：，：，若，则实数的值为__________． 【答案】1 【解析】对，，若， 有，即，解得. 20．（2026·高一·上海奉贤·阶段检测）已知直线与互相垂直，则实数的值为________． 【答案】 【解析】已知直线与互相垂直，所以，解得. 三角形中的直线综合 21．（2026·高二·安徽阜阳·阶段检测）已知直线：，：，其中为实数． (1)当时，求的值； (2)当时，求过直线，的交点且平行于直线的直线方程． 【解析】（1）， 则， 解得或. （2）当时：：，： 联立得，得：， 即直线，的交点为， 又直线与平行，设直线为， 将代入得：， 所以直线方程为. 22．（2026·高二·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.    (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【解析】（1）∵四边形为平行四边形，∴.∴. ∴直线的方程为，即. （2）∵，∴. ∴直线的方程为，即. 23．（2026·高二·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上． (1)若是边上的高，求直线的方程； (2)若是边上的中线，求直线的方程． 【解析】（1）由得，所以，直线的斜率为， 因为，所以，直线的斜率为， 则直线的方程为，即. （2）点在直线上，设， 点关于的对称点为在直线上， 所以，解得，即点， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 24．（2026·高二·天津滨海新区·期中）已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 【解析】（1）的斜率：， 所求直线的方程为，整理得. （2）因为，，所以的中点坐标为， 因为，所以边上的中线所在直线的方程为. （3）的斜率：， 所以边上的高所在直线方程的斜率， 边上的高所在直线方程为，整理得. （4）由题意知：的中点坐标为，， 边的垂直平分线的斜率：， 边的垂直平分线的方程为，整理得. 1．（2026·高二·四川成都·阶段检测）在中，已知顶点，，过点的角平分线方程是，则直线的方程为________________． 【答案】 【解析】设点关于直线l的对称点坐标，则中点坐标为，直线斜率， 点与点关于直线对称，即， 整理得化简得解得即点坐标， 因为直线平分角，所以点在直线上，可得， 结合有直线的方程为：， 化简得. 2．（2026·高三·江苏宿迁·期中）若方程表示两条平行的直线，则的值为__________. 【答案】2 【解析】方程可化为， 即， 所以， 则或， 因为表示两条平行的直线， 所以，解， 当时，两直线为和，符合题意， 当时，两直线为和，即， 则两直线重合，不符合题意，所以的值为2. 故答案为：2 3．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，点，为直线上一动点，则的最小值是_________，对应点的坐标是_________． 【答案】 4 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，所以直线的方程为， 联立：，解得，所以点， 故答案为：4； 4．（2026·高二·广东广州·期中）已知直线：与直线：，. (1)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程； (2)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程. 【解析】（1）因为点在直线上， 所以，解得， 因为直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为， 当两截距均为时，设直线方程为， 所以，此时直线的方程为； 当两截距均不为时，设直线的方程为， 将点代入得，解得， 此时直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. （2）由可得， 由得，所以， 因为边上的高所在直线的方程为， 所以， 所以直线的方程为：，即， 又因为所在直线的方程为， 由解得，所以， 设，则中点， 代入得，整理得， 由，解得，所以， 所以直线的方程为：，即. 5．（2026·高二·天津河东·期中）已知的三个顶点 (1)求边所在直线在轴上的截距; (2)求边上的中线所在直线与边上的高所在直线的交点的坐标. 【解析】（1）由题得，所在直线的斜率， 所以直线方程为，即， 令，解得，故所在直线在轴上的截距为. （2）由题得，边的中点， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，整理为. 又直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率为，且该高过顶点， 所以边上的高所在直线的方程为，整理为. 联立方程，解得， 故交点的坐标为. 6．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知直线，均过点． (1)若直线过点且，求直线的方程； (2)如图，为坐标原点，若直线的斜率为，其中，与轴交于点，与轴交于点，求最小值． (3)如图，为坐标原点，若直线的斜率为，其中，且与轴交于点，直线过点（为常数），且与轴交于点，求直线，与两坐标轴围成的四边形面积的最小值． 【解析】（1）由题意知，直线过点和点， 则直线的斜率. 因为，所以，即，解得. 又直线过点，所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为. 令，则，即；令，则，即. 因为，所以，. 所以. 又，所以，， 所以， 当且仅当，即（舍去，因为），等号成立. 所以. 故最小值为4. （3）设直线的方程为. 令，则，即. 因为直线过点和，其斜率为， 则直线的方程为，即. 令，则，即. 四边形的面积. ，. 所以. 因为，所以当时，取得最小值，此时. 故四边形面积的最小值为. 7．（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）在 中， 边上的高所在的直线方程为 ， 边上的高所在的直线方程为 ，点 的坐标为 ， 的垂心为 ． (1)求垂心 的坐标； (2)求 边所在的直线方程； (3)若 为原点， 为直线 上任意一点，求 的最小值及此时点 的坐标． 【解析】（1）因为垂心在两条高所在的直线上，所以其坐标满足，解得，故． （2）边上的高所在直线的斜率为，故直线的斜率为1，又经过，所以其方程为． 边上的高所在直线的斜率为，故直线的斜率为，又经过，所以其方程为． 因为在边上的高所在直线上，联立，解得． 因为在边上的高所在直线上，联立，解得． 所以，直线的方程为，即． （3）设关于直线的对称点为，由对称性知垂直于直线，且线段的中点在直线上． 由（2）知，所以，即． 线段的中点坐标为，将其代入直线的方程， 得，化简得． 因此，解得，，即． 对直线上的任意一点，由对称性得， 所以， 当且仅当在线段上时等号成立． 直线的方程为，联立，解得． 由于，该交点在线段上，等号可以取得， 故的最小值为，此时． 8．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程（用斜截式表示）； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 【解析】（1）直线的斜率为， 边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即． （2）记的中点为，的坐标为， 直线的斜率为， 边上的中线所在直线的方程为． （3）设点的坐标为， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以，即， 所以，， 故当为时，四边形为平行四边形． 9．（2026·高二·天津东丽·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求边所在直线的方程． 【解析】（1）由题意得，AC边上的高所在直线的斜率为，则直线的斜率为， 又直线AC过点，则其方程为，即； （2）设点的坐标为，因为AC边上的高过点B，故点B满足，即 ① 设AB的中点为D，则可得，将其代入整理得 ②， 联立①②，解得，，即得； （3）联立 ，解得，即， 又因，则直线BC的斜率为， 则其方程为，即. 10．（2026·高二·青海西宁·阶段检测）已知直线：与直线：，． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程． 【解析】（1）或. （2） 第一个式子解得，或， 第二个式子解得， 所以，. （3）将点代入直线的方程：， 所以点为点， 当直线在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 将点代入直线的方程 所以直线方程为 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线方程为 将点代入直线的方程 所以直线方程为即 所以直线的方程为或 11．（2026·高二·福建泉州·阶段检测）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的方程； (2)求直线的方程及点的坐标. 【解析】（1）由是边上的高知，所以. 直线的方程可化为，所以，从而. 又在直线上，由点斜式得，即直线的方程为. （2）点在直线上，又在的平分线上， 联立与解得，即. 因为，所以. 由、得，所以. 由点斜式得直线的方程为，即. 联立与，两式相减得，代回得，所以. 12．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）已知，求(均写成一般式方程)： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)边垂直平分线方程及点关于对称点； (3)过点且在坐标轴上截距相等的直线方程． 【解析】（1），的中点， 由两点式方程可得直线的方程为，整理得， ，即边上的中线所在的直线方程为. （2）的中点，， 边的垂直平分线所在的直线的斜率为， 由点斜式方程可得边的垂直平分线所在的直线方程为， 整理得. 设点关于对称点，，， 即①， 的中点，在上，， 整理得②， 联立①②，解得，即. （3）当直线的截距均为时，此时直线过和，可得此时直线的方程为，整理得； 当直线的截距不为时，设直线的纵横截距为，由截距式方程可得， 又直线经过，，得，故直线的方程为. 综上，直线方程为或.    1．（2026·高二·天津滨海新区·阶段检测）如图直线l过点，与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，的面积为24．点P为线段上一动点，且交于点Q． (1)求直线斜率的大小； (2)若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定P点在上的位置，并求出线段的长； (3)在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由图可设，，， 设直线的方程为，，， 直线l过点， 的面积为24． 所以可得方程组，解得， 所以，，斜率， （2）因为，所以， 因为，所以， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得：， 即， 由（1）可知，，， 所以，点为中点，坐标为. （3）存在， 由（1）可知，直线的方程为，即， 当直角顶点为时，满足，又满足， 又因为，所以四边形为正方形， 所以设，，， 将点代入直线方程中得：， 解得，所以此时坐标为； 当直角顶点为时，既满足，又满足， 因为，点在轴上，所以点和原点重合， 设点，所以点，代入直线方程中得， 解得，符合题意，所以此时坐标为； 当直角顶点为时，既满足，又满足， 所以， 因为，所以，所以， 设，， 点在直线上，所以，，所以点， 因为，所以， 因为，所以，所以，所以， 即，解得，符合题意，此时坐标为， 综上所述，点M的坐标为或或. 2．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）将一张长为2宽为1的矩形纸片置于平面直角坐标系中，其中． (1)若直线与均过点B，且，分别求出与的直线斜截式方程． (2)将矩形纸片折叠，使O点落在线段上，记为点，记折痕所在直线为l，其斜率为k，求k的取值范围． 【解析】（1）因为是长为2宽为1的矩形，且， 所以，，因为，所以，， 即，， 直线的方程为，故直线的斜截式方程为； 直线的方程为，故直线的斜截式方程为. （2）根据题意可得直线l为线段的垂直平分线， 因为在线段上，所以， 当时，，此时； 当时，，故，此时，所以， 综上，. 3．（2026·高二·广东惠州·阶段检测）已知与是两条不重合的直线，为实数. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若与相交，求的取值范围. 【解析】（1）由直线与平行， 得，解得， 所以的值是2. （2）由与垂直， 得，解得， 所以的值为或. （3）由与相交， 得，解得且， 所以的取值范围是. 4．（2026·高二·安徽合肥·阶段检测）已知直线l过点． (1)若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程； (2)已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求所在直线的方程． 【解析】（1）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线的方程为，， 将代入得，，解得， 故直线的方程为，即； 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，解得， 故直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； （2）因为，高所在的直线方程为， 所以设直线的方程为， 将代入，得，解得， 故直线的方程为， 联立，解得，故， 设，则， 在直线上，故①， 又在上，故②， 联立①②得，，故， 所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即. 5．（2026·高二·重庆渝北·阶段检测）已知点，，直线：，点为直线上的动点． (1)已知三角形的重心在直线上，求点的坐标； (2)若点在第一象限，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，求的最小值． 【解析】（1）点，，设点， 则三角形的重心为， 因为三角形的重心在直线上， 所以 所以点的坐标为. （2）设点， 当时，直线BC方程为，点为，点， 直线的方程为，即， 与y轴交于点为， 当时，直线的方程为，则点为， 直线的方程为，则点为， ， 令. ， 当且仅当即时等号成立，有最小值，， ，的最小值为. 6．（2026·高二·广东惠州·阶段检测）（1）已知直线经过点、点，直线经过点、点. ①求直线的倾斜角； ②若，求的值. （2）已知点，直线经过点，且与以、为端点的线段有公共点，求直线的斜率的取值范围. 【解析】（1）①设直线的斜率为，倾斜角为，. 由两点斜率公式得：，即. 又，所以. ②设直线的斜率为，由，得. 由两点斜率公式得：. 令，整理得，解得. 直线的方程为， 代入得，代入方程右侧得， 故与不重合，符合条件. （2）设直线的斜率为，，. 当直线绕点旋转时，若与线段有公共点，则斜率介于与之间， 故的取值范围为. 7．（2026·高二·河南许昌·阶段检测）已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线的一个方向向量为，求直线的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为直线的方向向量为，由直线斜率与方向向量的关系可得：. 设倾斜角为，，由，得. （2）证明： 设，直线m与l及x轴的交点分别为，l与y轴交于F点， 由，，可知直线，则，， 显然四边形为直角梯形，其面积为， 所以，故时，恒有，即过定点； （3）不存在，理由如下： 设，则易知， 因为直线AB与相交，所以， 联立直线方程可知：，， ， ， 若存在满足条件的直线，则有， 则，整理得，即，与前提矛盾， 故不存在直线符合题意. 8．（2026·高二·贵州遵义·期末）已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求边上的高线的方程. 【解析】（1）设点坐标为，点坐标为， 因为是中点，，所以， 在中线上，代入得：， 化简得，又在直线上，满足， 联立解得，即， 点在直线上，联立和， 解得，即 直线的斜率为，直线的方程为， 整理得 （2）由边上的高线可知，故， 点，直线的方程为，整理得. 9．（2026·高二·北京·期中）过点作直线， (1)若直线被直线所截得的线段被点平分，求直线的方程； (2)若直线将平面分成6个部分，求直线的方程. 【解析】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，与的交点为，与的交点为，线段的中点坐标为,不符合题意中的所截得的线段被点平分； 设直线的斜率为，直线的方程为：， 联立，解得交点坐标， 联立，解得交点坐标， 又因为点是线段的中点，所以，解得， 故所求直线方程为,即. （2）若直线将平面分成6个部分，则直线经过的交点或与直线或平行， 联立，解得交点，直线经过则直线的斜率为， 由点斜式写出直线方程为即， 当直线与平行时，直线的斜率与直线的斜率相等即， 由点斜式写出直线方程为即， 当直线与平行时，直线的斜率与直线的斜率相等即， 由点斜式写出直线方程为即， 综上所述直线的方程为：或或. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $