2.1圆（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.1圆 题型一由圆的标准方程确定圆心半径 题型二求圆的标准方程 题型三圆的一般方程表示圆的条件 题型四三点求圆的一般方程 题型五圆过定点 题型六点与圆的位置关系求参数 题型七判断直线与圆的位置关系 题型八由直线与圆的位置关系求参数 题型九直线与圆的交点坐标 题型十圆的切线方程 基础达标题 题型十一直线与圆的弦长 题型十二已知弦长求参数 题型十三切线长与切点弦 圆 题型十四判断圆与圆的位置关系 题型十五求两圆的交点坐标 勉型十六已知两圆位置关系求参数 题型十七由两圆位置关系求圆的方程 题型十八相交圆的公共弦方程 题型十九相交圆的公共弦长 题型二十相交圆的公切线 题型二十一直线与圆有关的对称问题 题型一弦长最短问题 题型二圆上的点到直线的距离为定值 能力提升题 题型三与圆有关的最值问题 勉型四基本不等式求最值 拓展培优题 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 基础达标题 题型一由圆的标准方程确定圆心半径 1.已知圆方程x2+y2-4x-1=0,则该圆心坐标是 2.圆(x-2)2+（y+32-2的圆心为 ,半径是 题型二求圆的标准方程 1.设A(2,-1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是 2.(24-25高二下.上海音乐学院附属安师实验中学)圆C的圆心在x轴上，且经过A(0,1),B(2,1)两点， 则圆C的标准方程为 3.(22-23高二上·上海新川中学.期末)以点A(2,1)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为 4.根据下列条件，分别求相应圆的方程 (1)圆心为C(-,3),半径R=3; 2圆心为C(V2,1),过点A(-1,V2): 3)与x轴相交于A(1,0)、B(5,0)两点，且半径等于5. 5.(20-21高二上·上海曹杨第二中学.期末)在平面直角坐标系x0y中，已知C是函数y=云(x>0)的图像 上的动点，以C为圆心的圆与x轴交于O,A两点，与y轴交于O,B两点. (1)求证：△OAB的面积为定值； (2)设直线y=-3x+5与圆C交于M,N两点。若|OM|=ON|,求圆C的方程. 题型三圆的一般方程表示圆的条件 1.(24-25高二下.上海嘉定区封浜高级中学，期中)已知2a2x2+(a+1)y2+2x+1=0表示圆，则实数a的 值为() A.-1 B.1 C. D.- 2.(23-24高二下.上海长征中学期中)方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆的充要条件是() A.<m<1B.m>1 C.m< D.m<或m>1 3.(25-26高二上.上海中学.)若方程x2+y2-2x+my+5=0表示圆，则m的取值范围为 4.(25-26高三·上海华东师范大学第二附属中学.)若方程ax2+by2+bx-3y十a=0表示一个圆，则b的取 值范围为」 5.(24-25高二下.上海浦东新区·期中)若圆C的方程为x2+y2-2x十t=0,则实数t的取值范围为一 2/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四三点求圆的一般方程 1.(24-25高二上海南创新中学协作校月考)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(3,0), C(3,4),则△ABC的外接圆方程是() A.(x-2)2+(y-2)2=20 B.(x+2)2+(y+2)2=20 c.(x-2)2+(y-2)2=5 D.(x+2)2+(y+2)2=5 2.己知△ABC的三个顶点A(1,-2),B(0,5),C(-3,-4).那么三角形外接圆的方程是 3.(23-24高二上河北沧州期末)在△OAB中，O是坐标原点，A(-2,2),B(13). (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 4.(22-23高二上广东深圳大学附属中学.期末)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直 线的方程为x-3y-6=0,AC所在直线的方程为x-y-2=0. (1)求BC边所在直线的方程； (2)求经过M,A,B三点的圆的方程. 题型五圆过定点 1.(21-22高二下.上海中学.期中)对任意实数m,圆x2+y2-3mx-6my+9m-2=0恒过定点，则定点坐 标为一 2.(23-24高三下.上海青浦高级中学.)已知圆C:X2+y2+ax-2ay-5=0恒过定点A,B,则直线AB的方 程为 题型六点与圆的位置关系求参数 1.“k>2或k<-3”是“定点A(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0的外部"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 2.若点P(1,2)在圆x2+y2-X十y+k=0外，则实数k的取值范围为 3.(22-23高二下.上海师范大学附属中学.月考)若点(1,1)在圆x2+y2+x+ay+1=0外，则实数a的取 值范围是 4.若点(1,1)在圆x2+y2+x+ay+1=0内，则实数a的取值范围为 5.已知圆C:x2+y2+mx-my-6=0,点P(1,2)在圆C内部. 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求m的取值范围； (2)若m=2,过点P作直线PC的垂线L,1与圆C交于AB两点，求△ABC的外接圆方程， 题型七判断直线与圆的位置关系 1.(25-26高二上.上海交通大学附属中学闵行分校月考)已知直线1：ax+by-2=0与圆C:x2+y2=r2 ,点A(a,b),则下列说法错误的是() A.若点A在圆C上，则直线1与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线1与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线1与圆C相离 D.若点A在直线1上，则直线1与圆C相切 2.(24-25高二上上海闵行中学.调研)“a=1”是直线(a+1)x+（a-1)y+2a=0(a∈R)与圆 x2+y2=4相交的()条件 A.充分非必要B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分也非必要 3.(23-24高二下.上海中学东校月考)已知实数a,b,c满足3(a2+b2)=4c2(c≠0)，则直线 ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 4.(23-24高二上福建建瓯芝华中学期中)直线3x+4y+12=0与圆x-1)+(y+1)2=9的位置关系是 () A.相交且过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 5.(23-24高二上.上海华东师范大学第二附属中学期末)点M(xoy。)在圆x2+y2=a2外，则直线 xox+y,y=a2与该圆的位置关系为 6.(23-24高二下·上海华东师范大学附属周浦中学.期中)已知△ABC的顶点坐标分别为 A(-3,0),B(-1,-2V2),C(3,0).圆M为△ABC的外接圆. (1)求圆M的方程； (2)若直线1：(k-3)x+(5-k)y-2=0,求证：不论k为何值，直线1与圆M相交. 题型八由直线与圆的位置关系求参数 1.(24-25高二下.上海宝山区·期末)已知直线y=x十m和曲线y=√1-x2有两个不同的交点，则实数m的 4/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 取值范围是() A.(-V2,V2)B.[-1,V2] c.[1,V2) D.[1,V2] 2.(25-26高三上.上海曹杨第二中学.月考)设m∈Rr>0.若直线x+my-2m=0与圆 (x-4)2+(y-5)=r2始终有交点，则r的取值范围是 3.(25-26高二上.上海朱家角中学)在平面直角坐标系xOy中，“直线y=x+b,b∈R与曲线x=√1-y2相 切”的充要条件是 4.已知直线x=-1与圆(x-2)2+(y-1)2=a+5有唯一交点，则a= 5.(24-25高一下.上海宜川中学期末)若关于x的方程V4-x2-kx-2-3=0有且只有两个不同的实数根， 则实数k的取值范围是 6.(24-25高二下.上海崇明区期末)已知圆C:x2+y2-2x+t=0,直线1：2x+y=0. (1)若直线1与圆C相切，求实数t的值； (2)直线1与圆C相交于A、B两点，且OA.OB=-1,求圆C的半径r. 题型九直线与圆的交点坐标 1.(24-25高二上.上海师范大学附属中学)已知直线：y=x+2与圆0：2+y2=4相交于A、B两点，则 AB.Aò的值为 2.(23-24高二上·上海华东师范大学第二附属中学.期中)在平面直角坐标系xOy中，A为直线1：y=x上在 第一象限内的点，B(5,0),以AB为直径的圆C与直线1交于另一点D.若AB.C=0,则点A的横坐标 为 题型十圆的切线方程 1.(24-25高二下，上海闵行区五校联考调研)已知点M(1,2)在圆C:x2+y2=r2上，则过点M的圆C的切 线方程为 2.(24-25高二下.上海高行中学)圆x2+y2=5的过点M(1,2的切线的一般式方程为】 3.(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）期中)过点(-2,0)与圆x2+y2-6x=0相切的 两条直线的夹角为，则sinc= 4.已知圆C:x2+y2=4,直线1过点A(-2,1). 5/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)当直线1与圆C相切时，求直线1的方程； (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程 5.(24-25高二上.上海彭浦中学期末)已知圆的方程为x2+y2=16,求经过点P4,5)的圆的切线方程. 6.24-25高二上.上海闵行中学期末)已知A(1,2),B(3,6),动点P满足PA.PB=-4,设动点P的轨迹 为曲线C (1)求曲线C的标准方程； (2)求过点A(1,2)且与曲线C相切的直线的方程. 题型十一直线与圆的弦长 1.己知直线y=V3x+2与圆C:x2+y2=9相交于B,F两点，则EF到=() A.4y2 B.5V2 c.62 D.7W2 2.(24-25高二下.上海奉贤区期末)已知直线y=x+2与圆x2+y2=4相交于M、N两点，则 |MN|= 3.(24-25高二下.上海宝山区世外学校期中)若直线：ax+by=1上有且仅有一点P,使得 |0P|=2,则直线1被圆C:x2+y2=16截得的弦长为 4.(24-25高二下.上海虹口区·期末)已知圆C经过点A(0,1),且圆心为C(1,2). (1)求圆C的标准方程； 2)若直线经过P(1,0),Q(2,V3)两点，且与圆C相交于点M,N,求线段MN的长 5.(24-25高二下.上海浦东新区期中)过圆0：x2+y2=16外一点M(2,-6)任意作一条割线1交圆0于A、 B两点 (1)若割线的方程为x+y+4=0,求|AB的值； (2)求弦AB的中点P的轨迹 题型十二己知弦长求参数 1.(25-26高三上·上海进才中学.若直线1：y=kx+3与圆C:x2+y2=4相交于AB两点，且∠A0B= (其中O为原点)，则k的值为 2.已知直线1经过点P(2,1),且与圆C:(x+1)2+(y-2)2=9相交于AB两点，若AB1=42,则 直线的方程为 3.(24-25高二下.上海行知中学.月考)设m,n∈R,若直线：mx十ny-1=0与x轴相交于点A, 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 与y轴相交于点B,且1与圆2+y2=9相交所得弦长为4,0为坐标原点，则△A0B面积 的最小值为一 4.已知点M(3,5),圆c:(x-1)+(y-2)2=4. (1)若过点M的直线1与圆C相切，求直线1的方程： 2)若直线ax-y+4=0与圆C相交于AB两点，弦AB的长为2W3，求a的值. 5.(25-26高二上上海朱家角中学)已知过点A(-1,0)的动直线！与圆C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q两点， 1与直线m:x+3y+6=0相交于N. (1)求证：当1与m垂直时，1必过圆心C: (2)当PQ=2W3时，求直线1的方程. 6.(24-25高二下.上海敬业中学)已知圆心为C的圆经过点A(-1,-5)和B(6,2),且圆心C在直线 1:x+3y+3=0上， (1)求圆C的方程： (2)若过定点(0,2)的直线1被圆C所截得的弦长为6，求直线1的方程. 题型十三切线长与切点弦 1.若从点P(1,2)引圆(x+1)2+(y-1)2=4的切线，则切线长是 2.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0,关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a,b)向圆C所作的切线长 的最小值为 3.P是直线x+y=4上的一个动点，AB是圆x2+y2=4上的两点，若PAPB均与圆0相切，则弦长 AB的最小值为一： 4.24-25高二下.上海松江区九峰实验学校，过直线y=-x+1上任一点P向圆x2+(y+1)2=1作两条切 线，切点为A,B.则AB的最小值为 5.己知圆C:x2+y2-4x-2y+3=0 (1)从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M,若有PM=PO(O为坐标原点)，求动点P的轨迹方 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 程： (2)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程. 题型十四判断圆与圆的位置关系 1.(25-26高二上.上海海洋大学附属大团高级中学.期中)圆C1:x2+y2-4x+6y+5=0与圆 C2:x2+y2-6x+4y+11=0的位置关系为() A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 2.(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学.期中)圆C1:x2+y2-4y-5=0与圆 C2:x2+y2+2x+a2=1的位置关系不可能为() A.相切 B.相交 C.内含 D.外离 3.(23-24高二上·上海宝山区上海交通大学附属中学)已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆 C2:x2+y2-4x-4y-2=0,则圆C1与C2的位置关系是() A.内含 B.外离 C.相切 D.相交 4.(24-25高二下.上海向东中学)已知圆C1:x2+y2-4y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-4y+1=0,则两 圆的位置关系是 题型十五求两圆的交点坐标 1.(23-24高二下.上海长征中学.期中)已知圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2-4y=0,观察可得它们都经过坐 标原点(0,0)，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是一 2.(23-24高二下.上海中学东校.月考)判断圆C1:x2+y2-4x+6y+5=0与圆 C2:x2+y2-6x+4y+11=0的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 题型十六己知两圆位置关系求参数 1.(24-25高二下.上海西中学期中)若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是() A.0 B.4 C.8 D.12 8/15 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25高二下上海杨浦区期中)已知圆x2+y2=4与圆(x-a)2+y2=1内切，则实数a=一 3.已知a为常数，圆(x-)+(y+a-2)=rr>0)与圆x2+y2=1有公共点，当r取到最小值时，a的 值为 4.(24-25高二下.上海曹杨第二中学.月考)已知平面直角坐标系中两定点为A(-1,2)、B(3,0),0为坐标 原点 (1)求线段AB的垂直平分线1的方程： (2)设m>0.动点M满足|BM|=2OM|，记M的轨迹为曲线C.若曲线C与圆D: x2-6x+y2-2my+9=0外切，求m的值. 5.(24-25高二上.上海川沙中学.月考)已知圆C:x2+y2-6x-8y+m=0,其中m∈R: (1)己知圆C与圆：x2+y2=1相切，求m的值； (2)如果直线x+y-3=0与C相交所得的弦长为45，求m的值. 题型十七由两圆位置关系求圆的方程 1.(23-24高二下.上海上南中学期末)与圆x2+y2-6x-8y+21=0外切且圆心在原点的圆的标准方程 为 2.(23-24高二下.上海第二中学.期中)已知圆C:x2+y2-4x-6y=0. (1)求直线y=2x被圆截得弦长； (2)已知圆M过点(-4,0)且与圆C:x2+y2-4x-6y=0相切于原点，求圆M的方程. 3.(23-24高二上·上海育才中学.期末)已知圆C:x2+y2-4x-5=0. (1)求直线y=2x被圆截得弦长； 2)已知A(0,V5)为圆C上一点，求与圆C外切于点A,且半径为6的圆M的方程. 4.(23-24高二上·上海华东师范大学附属东昌中学.月考)已知直线1： (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)和圆C:x2+y2-8x-6y+5=0. (1)直线1恒过一定点M,求出点M坐标； (2)当m为何值时，直线1被圆C所截得的弦长最短，求出弦长： (3)在(2)的前提下，直线1是过点N(-1,-2)且与直线1平行的直线，求圆心在直线！上，且与圆C外切 的动圆中半径最小的圆的标准方程。 5.己知圆C过点(-4,0)且与圆x2+y2-4x-6y=0相切于原点，求圆C的方程， y/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型十八相交圆的公共弦方程 1.(23-24高二下.上海向明中学月考)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a+(y-b)=1的公共弦AB的长 为1，则直线AB的方程为() A.2ax+by-1=0 B.2ax+by-3=0 c.2ax+2by-1=0 D.2ax+2by-3=0 2.(24-25高二上·上海宜川中学·期末)圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-2)2+(y-3)2=9的相交弦所在直 线方程为 3.(23-24高二上安徽芜湖期末)圆x2+y2=2与圆(x-3)2+(y-4)2=16的公共弦所在直线方程 为 4.(22-23高二下.上海普陀区桃浦中学期末)若圆C1:2+y2-4x+2y=0与圆 C2:x2+y2-8x+10y+16=0交于P,Q两点，则直线PQ的方程为 5.(22-23高二上.上海建平中学.期末)已知圆C1:x2+y2-2x-2y-1=0和圆C2:x2+y2=8 (1)证明：圆C1和C2相交： (2)求圆C1和C2公共弦所在的直线方程. 题型十九相交圆的公共弦长 1.若圆x2+y2+2x-4y-5=0与x2+y2+2x-1=0相交于A、B两点，则公共弦AB的长是(). A.1 B.2 C.3 D.4 2.圆x2+y2+x-2y-20=0与圆x2+y2=25相交所得公共弦长为 3.已知圆M:x2+y2=4和圆N:x2+y2+x+y=3交于AB两点，则|AB|= 4.已知圆01：2+y2=4和圆02：(x-1)2+(y+1)2=a的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值 为」 5.已知圆x2+y2-2x+2y-3=0和圆x2+y2+4x-1=0交于AB两点，求公共弦AB的长. 题型二十相交圆的公切线 1.(24-25高二下.上海高行中学)与圆C1:x2+(y-2)2=1,C2:x2+y2=1都相切的直线有条. 2.(24-25高二下.上海宝山区上海存志高级中学.月考)古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262~公元前190 年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数 10/15 2.1圆 题型一 由圆的标准方程确定圆心半径 1．已知圆方程，则该圆心坐标是 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程即可看出. 【详解】依题意，圆转化为标准方程得，所以圆心坐标为. 故答案为：. 2．圆的圆心为 ，半径是 ． 【答案】 【分析】 根据圆的标准方程的含义求解. 【详解】因为，所以圆心为，半径为. 故答案为：； 题型二 求圆的标准方程 1．设，则以线段AB为直径的圆的方程是 . 【答案】 【分析】的中点即为圆心，即为半径，再结合中点坐标公式和两点的距离公式即可所求圆的标准方程 【详解】，所以半径， 又∵， ∴线段AB的中点坐标为，即圆心为. 所以圆的方程为. 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海音乐学院附属安师实验中学·)圆C的圆心在x轴上，且经过，两点，则圆C的标准方程为 . 【答案】 【分析】设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心坐标与半径，可得圆的方程. 【详解】解：设圆心坐标为，则， 解得，即圆心为，半径为， 所以圆C的标准方程为 故答案为：； 3．(22-23高二上·上海新川中学·期末)以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1， 故圆的标准方程是. 故答案为： 4．根据下列条件，分别求相应圆的方程． (1)圆心为，半径； (2)圆心为，过点； (3)与轴相交于、两点，且半径等于． 【答案】(1) (2) (3)或； 【分析】（1）将圆心坐标和半径代入圆的标准方程即可得出答案； （2）求出圆的半径，再代入标准方程即可求得结果； （3）易知圆心在线段的垂直平分线上，求出圆心坐标代入标准方程即可. 【详解】（1）将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为； （2）易知圆的半径为， 所以圆方程为； （3）易知圆心在线段的垂直平分线上， 不妨设圆心坐标为，由半径为可得，解得； 当圆心为时，圆方程为； 当圆心为时，圆方程为； 因此所求圆的方程为或； 5．(20-21高二上·上海曹杨第二中学·期末)在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点. (1)求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于两点。若，求圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设可得圆的方程，求出两点的坐标计算出的面积即可证明； （2）由条件得出原点在线段的垂直平分线上，所以直线与直线垂直，由斜率之积为-1求得，从而得到圆C的方程. 【详解】（1）设圆心为， 圆过原点，，圆方程为， 令，得，令，得， 为定值； （2）垂直平分线段， ，直线的方程是， ，解得或（舍）， 则圆的方程为. 题型三 圆的一般方程表示圆的条件 1．(24-25高二下·上海嘉定区封浜高级中学·期中)已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 2．(23-24高二下·上海长征中学·期中)方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 3．(25-26高二上·上海中学·)若方程表示圆，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程直接计算可得. 【详解】因为方程表示圆，即表示圆， 所以，解得或. 所以当时，方程表示圆心为，半径为的一个圆. 故答案为：. 4．(25-26高三·上海华东师范大学第二附属中学·)若方程表示一个圆，则的取值范围为 ． 【答案】且， 【分析】根据圆的一般式满足的关系即可求解. 【详解】由题意可得，故方程变形为， 因此，解得且， 故答案为：且， 5．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)若圆的方程为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由圆的一般方程可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为圆的方程为，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型四 三点求圆的一般方程 1．(24-25高二上·海南创新中学协作校·月考)的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解. 【详解】设的外接圆方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为. 故选：. 2．已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 【答案】 【分析】设的外接圆方程为，然后将三个点的坐标代入求解即可. 【详解】设的外接圆方程为，则 ，解得， 所以三角形外接圆的方程为. 故答案为： 3．(23-24高二上·河北沧州·期末)在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出边上的高线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程； （2）设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程． 【详解】（1）∵直线AB的斜率， ∴AB边上的高所在直线的斜率， 又AB边上的高所在直线过原点O， ∴AB边上的高所在直线的方程为． （2）设的外接圆的方程为（）， 则，解得， ∴的外接圆方程为． 4．(22-23高二上·广东深圳大学附属中学·期末)矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为. (1)求边所在直线的方程； (2)求经过，，三点的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两条直线得点，由C与A关于点M对称得，由与垂直，得边所在直线的方程； （2）联立直线方程解出B点坐标，设圆的一般方程，将M，A，B坐标分别代入，解出圆的方程. 【详解】（1）由，得，则， 因为矩形ABCD两条对角线相交于M，所以C与A关于点M对称， 设，所以，得，则， 因为边所在直线的方程为，斜率为， 与垂直，所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，即； （2）由，解得，故点的坐标为， 设所求圆的方程为，且， 则，得， 则所求圆的方程为：. 题型五 圆过定点 1．(21-22高二下·上海中学·期中)对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 2．(23-24高三下·上海青浦高级中学·)已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由圆的方程化简，确定的坐标，由此确定直线的方程. 【详解】方程，可化为， 所以点为直线与圆的交点， 所以若点的坐标为，则点的坐标为， 所以直线的方程为， 故答案为：. 题型六 点与圆的位置关系求参数 1．“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 2．若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 故答案为：. 3．(22-23高二下·上海师范大学附属中学·月考)若点在圆外，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得关于的不等式，求解得答案． 【详解】点在圆外， ，且， 解得或． 实数的取值范围为． 故答案为：. 4．若点在圆内，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】 由关于的二次方程表示圆可得或，又由点在圆内可得，取交集即可. 【详解】 解：由题可知， 解得或， 又因为点在圆内，所以， 解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．已知圆，点在圆内部． (1)求的取值范围； (2)若，过点作直线的垂线与圆交于两点，求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据点与圆的位置关系的性质进行求解即可； （2）根据互相垂直的直线斜率的关系，结合直线与圆的相交系方程进行求解即可. 【详解】（1）因为点在圆内部， 所以， 解得， 即的取值范围是； （2）当时，， 因为，所以， 因为，所以， 所以直线的方程为，化简得． 的外接圆经过直线与圆的交点， 故设其方程为， 代入点的坐标，可得，解得． 故的外接圆方程为， 即．（标准方程为） 题型七 判断直线与圆的位置关系 1．(25-26高二上·上海交通大学附属中学闵行分校·月考)已知直线l：与圆C：，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】C 【分析】利用点线距离公式求圆心与直线距离，结合点与圆的位置关系判断与圆的半径大小，即可判断各项直线与圆的位置关系. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则，即，所以，直线l与圆C相切，故D正确． 故选：C 2．(24-25高二上·上海闵行中学·调研)“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可. 【详解】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交， 当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离， 化简得，显然恒成立，故不能推出. 所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件. 故选：A. 3．(23-24高二下·上海中学东校·月考)已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 【答案】C 【分析】根据条件，即可圆心到直线的距离，再结合直线与圆位置关系的判断方法，即可判断. 【详解】圆心到直线的距离为 ，即 故直线与圆相交，圆心代入直线方程得到，不符合题意. 故选：C 4．(23-24高二上·福建建瓯芝华中学·期中)直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】D 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交但不过圆心， 故选：D. 5．(23-24高二上·上海华东师范大学第二附属中学·期末)点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】根据点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系分析判断. 【详解】因为点是圆外一点，故有， 则圆心到直线的距离为， ∴直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交. 6．(23-24高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 题型八 由直线与圆的位置关系求参数 1．(24-25高二下·上海宝山区·期末)已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 2．(25-26高三上·上海曹杨第二中学·月考)设.若直线与圆始终有交点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意确定直线过定点，再由直线与圆始终有交点，代入得，再解不等式即可. 【详解】直线，即， 当时，方程恒成立， 所以直线过定点， 又直线与圆始终有交点， 所以定点在圆上或圆内， 则，即，又 所以解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 3．(25-26高二上·上海朱家角中学·)在平面直角坐标系中，“直线，与曲线相切”的充要条件是 . 【答案】 【分析】由题意，作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案. 【详解】由曲线，可得， 表示以原点为圆心，半径为的右半圆， 是倾斜角为的直线与曲线相切， 则圆心到直线的距离等于半径，即， 所以，结合图象可得. 故答案为：. 4．已知直线与圆有唯一交点，则 . 【答案】4 【分析】由直线和圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意，可知直线与圆相切，由直线和圆的方程可知圆心到直线的距离，圆的半径， 所以由可得，解得. 故答案为：4. 5．(24-25高一下·上海宜川中学·期末)若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直线与曲线有两个公共点，作出图形，求出当直线与曲线相切时实数的值，以及直线过点时的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】若关于的方程有且只有两个不同的实数根， 则函数的图象与的图象有且只有两个交点， 由得， 所以是以为圆心，2为半径的圆在轴及轴上方的部分， 又因为的图象恒过定点， 故在同一坐标系中作出函数的图象与的图象，    当直线与半圆相切时，可得，解得， 当过点时，可得，解得， 又函数的图象与的图象有且只有两个交点， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 6．(24-25高二下·上海崇明区·期末)已知圆 ，直线 ． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将圆的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解； （2）联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得，即可得解. 【详解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线 的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足. 所以，. （2）由题意，联立可得， 设， 则，解得， 根据韦达定理可得， 则， 所以，满足. 所以，圆的半径满足，故. 题型九 直线与圆的交点坐标 1．(24-25高二上·上海师范大学附属中学·)已知直线与圆相交于、两点，则的值为 . 【答案】4 【分析】联立直线与圆的方程求A、B的坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求. 【详解】由题意，联立，有，解得，， 若，则，则. 故答案为：4. 2．(23-24高二上·上海华东师范大学第二附属中学·期中)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若，则点A的横坐标为 . 【答案】5 【分析】先设点坐标，然后表示出圆的方程，将直线与圆的方程联立，求出点坐标，然后根据向量垂直求出参数，求出点坐标. 【详解】设，因为，所以， 则圆的方程为，即， 联立，解得， 由，得，解得或， 又，所以，即 ，所以点的横坐标为5. 故答案为：5 题型十 圆的切线方程 1．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先求得半径，然后根据点斜式求得切线方程. 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 2．(24-25高二下·上海高行中学·)圆的过点的切线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由点在圆上，所以过点的切线和(圆心) 垂直，求出斜率，用点斜式求出方程. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 点在圆上,则， 则切线的斜率， 则切线的方程为,变形可得; 故答案为: 3．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 ． 【答案】/0.96 【分析】根据圆的切线的求解方法可求得切线斜率，利用直线夹角公式可求得，再结合同角三角函数关系可求得结果. 【详解】由得：，则圆心为，半径； 则过点作圆的切线，切线斜率必存在，可设切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：，， ，又，. 故答案为：. 4．已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线斜率是否存在两种情况讨论可求切线的方程； （2）设点，可得，利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程. 【详解】（1）已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. （2）设点，则由点M是线段AB的中点得，所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. 5．(24-25高二上·上海彭浦中学·期末)已知圆的方程为，求经过点的圆的切线方程． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出切线的斜率，再写出切线方程． 【详解】因为，所以点在圆为外，如图所示， 则过点的圆的切线方程有两条. 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 设圆心到直线的距离为，而圆的半径为， 则，解得，所以； 当切线的斜率不存在时，则. 综上，切线方程为或. 6．(24-25高二上·上海闵行中学·期末)已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【详解】（1）设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 题型十一 直线与圆的弦长 1．已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】设圆心到直线的距离为， 则， 所以. 故选：A. 2．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)已知直线与圆相交于、两点，则 . 【答案】 【分析】利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 3．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)若直线 上有且仅有一点 ，使得 ，则直线 被圆 截得的弦长为 【答案】 【分析】先根据直线上有且仅有一点使得，得出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长计算公式求出弦长. 【详解】因为直线上有且仅有一点，使得，这意味着直线与以原点为圆心，半径为的圆相切. 则原点到直线的距离为： 由于直线与以原点为圆心，半径为的圆相切，所以，即. 已知圆，其圆心为，半径. 由前面可知圆心到直线的距离. 根据圆的弦长计算公式，可得直线被圆截得的弦长为： . 故答案为：. 4．(24-25高二下·上海虹口区·期末)已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2)2. 【分析】（1）由两点距离求半径，再结合圆心写出圆的标准方程； （2）根据已知及点斜式写出直线方程，应用几何法求相交弦的长度. 【详解】（1）由题设，所以圆的标准方程为． （2）由题意，，故，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以的长等于． 5．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点. (1)若割线的方程为，求的值； (2)求弦的中点的轨迹. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得的值； （2）设点，由化简可得出点的轨迹方程，结合实际条件可得出点的轨迹. 【详解】（1）圆的圆心为原点，半径为， 圆心到直线的距离为，所以. （2）设点，当直线不过原点时，连接，则， 且，， 由题意可得，化简得， 当直线过原点时，点与点重合，此时点的坐标也满足方程， 所以点的轨迹是点为圆心，半径为，且位于圆内的一段弧. 题型十二 已知弦长求参数 1．(25-26高三上·上海进才中学·)若直线与圆 相交于两点，且 (其中O为原点)，则的值为 . 【答案】 【分析】由得是等边三角形，从而得到圆心到直线的距离，然后由点到直线距离公式求解即可. 【详解】易知圆心即坐标原点，半径为，因为且， 所以为边长为的等边三角形， 所以的高线即圆心到直线的距离为，解得. 故答案为： 2．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 3．(24-25高二下·上海行知中学·月考)设 ，若直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，且 与圆 相交所得弦长为 4， 为坐标原点，则 面积的最小值为 . 【答案】5 【分析】先由几何法求出圆心到直线的距离，再结合基本不等式求解即可. 【详解】圆 ，圆心为，半径为， 设 与圆 相交所得弦长为 4， 由几何法求得圆心到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离为，即， 又， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：5 4．已知点，圆. (1)若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【详解】（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. （2）圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 5．(25-26高二上·上海朱家角中学·)已知过点的动直线与圆相交于，两点，与直线相交于.    (1)求证：当与垂直时，必过圆心； (2)当时，求直线的方程. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)或 【分析】（1）根据垂直得到直线的斜率，从而得到直线方程为，点满足上式，证明出结论； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合垂径定理和得到答案. 【详解】（1）的圆心为，半径为2， 的斜率为，当与垂直时，直线的斜率为3， 故直线方程为，点满足上式， 故当与垂直时，必过圆心； （2）当直线斜率不存在时，直线方程为， 中，令得， 故，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 到直线的距离， 所以，解得， 直线的方程为，即； 综上，直线的方程为或. 6．(24-25高二下·上海敬业中学·)已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先求出线段的垂直平分线方程，然后与直线联立方程组可求出圆心的坐标，从而可求出圆的半径，进而可求出圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，然后判断出直线的斜率存在，设直线为，再利用点到直线的距离公式列方程求出，从而可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意得线段的中点坐标为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由，得，即， 所以圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）因为直线被圆所截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，则圆心到直线的距离为3，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线为，即， 则，化简整理得，解得或， 所以直线为或. 题型十三 切线长与切点弦 1．若从点引圆的切线，则切线长是 ． 【答案】 【分析】由两点之间的距离公式可得，再根据勾股定理即可得解. 【详解】记圆，圆心为，半径， 则， 所以切线长为. 故答案为：3. 2．若圆，关于直线对称，则由点(a,b)向圆C所作的切线长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由题意可得直线经过圆的圆心，推出与的关系，利用点与圆心的距离、半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以圆心在直线上， 所以，即. 又圆的半径为， 当点与圆心的距离最小时，切线长取得最小值， 又点与圆心的距离为： ，当时取等号， 所以切线长的最小值为. 故答案为：. 3．是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为，所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心（即原点）到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 4．(24-25高二下·上海松江区九峰实验学校·)过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】圆的圆心为，结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 5．已知圆 (1)从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，若有（为坐标原点），求动点P的轨迹方程： (2)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的圆心坐标与半径，根据即可得到关系式，整理即可求出结果； （2）根据切线是否经过原点进行讨论，再根据圆心到直线的距离等于半径即可求出结果. 【详解】（1）因为圆，则， 又因为，所以， 即； （2）当切线过原点时，设切线为，则， 解得，因而.. 当切线不过原点时，设切线为， 则，解得或. 从而或， 所以切线方程为. 题型十四 判断圆与圆的位置关系 1．(25-26高二上·上海海洋大学附属大团高级中学·期中)圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系判断即可得解. 【详解】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 2．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 3．(23-24高二上·上海宝山区上海交通大学附属中学·)已知圆，圆，则圆与的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论. 【详解】根据题意将圆化为标准方程可得，即圆心，半径. 将圆化为标准方程可得，即圆心，半径. 此时圆心距为, 显然，即两圆相交. 故选：D. 4．(24-25高二下·上海向东中学·)已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 【答案】内切 【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断. 【详解】因为圆，圆， 所以圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以两圆的位置关系为内切. 故答案为：内切. 题型十五 求两圆的交点坐标 1．(23-24高二下·上海长征中学·期中)已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 2.(23-24高二下·上海中学东校·月考)判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【答案】内切，公共点为 【分析】首先根据圆的方程求圆心，半径，并计算圆心距，结合圆与圆的位置关系，即可判断，求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心为 ，半径为， 圆的标准方程为，圆心为 ，半径为， 圆心距为， 则两圆内切， 联立，则， 则公共点坐标为. 题型十六 已知两圆位置关系求参数 1．(24-25高二下·上海西中学·期中)若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】求出圆心距满足的范围，得到答案. 【详解】设圆心距为，由于两圆相交，故，即， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 2．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知圆与圆内切，则实数 ． 【答案】 【分析】根据两圆内切列方程，求解即可解答. 【详解】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 3．已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为1， 由两圆有公共点，得， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最小值，取得最小值，此时两圆外切，满足两圆有公共点， 所以当取到最小值时，的值为1. 故答案为：1 4．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·月考)已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)设的中点为，求出点的坐标，计算直线的斜率，即可得直线的斜率，由点斜式即可得直线的方程； （2）设，由得曲线的方程，最后由曲线和圆外切即可求解. 【详解】（1）设的中点为，则由中点坐标公式有， 则，，设直线的斜率，则， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程为. （2）设，则由已知有， 由有：， 所以圆，圆心， 圆，圆心， 因为圆和圆外切，所以，解得， 因为，所以. 5．(24-25高二上·上海川沙中学·月考)已知圆C：，其中； (1)已知圆C与圆：相切，求m的值； (2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值. 【答案】(1)9或 (2) 【分析】（1）两圆外切时解方程，内切时解方程即得解； （2）由几何法求弦长解方程即得解. 【详解】（1）由圆，可得， 则圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径， 若两圆外切，则，解得； 若两圆内切，则，解得； （2）圆的圆心坐标为，半径为． 圆心到直线的距离， 又直线与圆相交所得的弦长为， ，解得， 所以的值为． 题型十七 由两圆位置关系求圆的方程 1．(23-24高二下·上海上南中学·期末)与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可知圆的圆心和半径，结合外切可得所求圆的半径，即可得结果. 【详解】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 2．(23-24高二下·上海第二中学·期中)已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 3．(23-24高二上·上海育才中学·期末)已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解， （2）根据外切的性质，由点点距离公式即可求解. 【详解】（1）的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， （2）由题意可知在直线上，由于，, 所以直线方程为， 设，则， 化简可得，解得或， 由于两圆外切，且点为切点，所以不符合，舍去， 故，圆心为则圆的方程为 4．(23-24高二上·上海华东师范大学附属东昌中学·月考)已知直线l：和圆C：． (1)直线l恒过一定点M，求出点M坐标； (2)当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出弦长； (3)在（2）的前提下，直线是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程． 【答案】(1) (2)当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，弦长为 (3) 【分析】（1）根据直线方程的特征，通过解方程组进行求解即可； （2）根据圆的性质，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可； （3）根据外切的性质，结合点到直线距离公式、互相垂直的两直线的斜率关系进行求解即可. 【详解】（1）， 因为， 所以有，所以直线l恒过一定点， 即； （2）由， 所以，半径， 当时，直线l被圆C所截得的弦长最短， 所以有， 即， 所以 此时直线l的方程为， 点到直线l的距离， 因此直线l被圆所截得的弦长最短为； （3）如图所示： 由（2）可知直线l的方程为， 因为直线是过点且与直线l平行的直线， 所以设直线的方程为，把点的坐标代入，得 ，即直线的方程为， 过与直线垂直的方程设为，把代入，得 ，所以， 由， 到直线的距离为， 所以圆心在直线上，且与圆外切的动圆中最小的圆的半径为： ， 因此圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为： .    【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的性质、勾股定理、点到直线距离公式. 5．已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】 【分析】设圆（），依题意得到关于，，的方程组，求解可得，，的值，则圆的方程可求； 【详解】圆，即，圆心，半径， 设圆（）， 则，解得， 圆的方程为； 题型十八 相交圆的公共弦方程 1．(23-24高二下·上海向明中学·月考)若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两圆方程相减得到直线的方程为，然后再根据公共弦的长为即可求解. 【详解】将两圆方程相减可得直线的方程为， 即， 因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为， 则到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故选：D. 2．(24-25高二上·上海宜川中学·期末)圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】通过已知的圆的方程，利用相减法找到两个圆的交点所在直线方程即可. 【详解】圆的方程是，简化后为， 联立 ，两式相减，得到， 化简可得. 因此，过两圆交点的直线方程为. 故答案为：. 3．(23-24高二上·安徽芜湖·期末)圆与圆的公共弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】两相交圆的方程相减后，即可求得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】由可得圆心为，半径为， 由可得圆心为，半径为， 两圆圆心距离为，两半径之和为，两半径之差为， 有，故两圆相交， 两圆方程作差为， 化简可得，即两圆公共弦所在直线方程为. 故答案为：. 4．(22-23高二下·上海普陀区桃浦中学·期末)若圆与圆交于P，Q两点，则直线PQ的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线PQ的方程，运算求解即可. 【详解】∵圆与圆相交，则两圆方程之差即为直线PQ的方程， 将与作差得， 整理得， 即直线PQ的方程为. 故答案为：. 5．(22-23高二上·上海建平中学·期末)已知圆和圆. (1)证明：圆和相交； (2)求圆和公共弦所在的直线方程. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用两圆圆心距与两圆半径之间的关系即可证明圆和相交； （2）利用两圆方程相减即可求得圆和公共弦所在的直线方程. 【详解】（1）圆，圆心为（1，1），半径为 圆，圆心为（0，0），半径为 圆心距，故圆和相交. （2）由（1）可得圆和相交， 联立两圆方程，， 并上下相减可得圆和公共弦所在的直线方程为. 题型十九 相交圆的公共弦长 1．若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 2．圆与圆相交所得公共弦长为 ． 【答案】 【分析】两圆方程作差得公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得到直线的距离，最后由即可得解. 【详解】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 3．已知圆和圆交于两点，则 . 【答案】 【分析】求出相交弦所在直线方程，再利用弦长公式即可. 【详解】将圆和圆的方程作差得. 圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为：. 4．已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 【答案】6 【分析】将两圆方程作差，得两圆的公共弦所在的方程，即可求解． 【详解】解：将两圆方程联立，得：， 得， 两式相减，得：， 则两圆的公共弦所在的方程为：， 因为公共弦所在的直线经过原点， 所以：， 得， 故答案为：6 5．已知圆和圆交于两点，求公共弦的长． 【答案】 【分析】先求出两圆公共弦所在直线的方程，再根据圆的弦长公式即可得解. 【详解】由圆和圆， 两式相减得，即， 即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆，即， 所以圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以. 题型二十 相交圆的公切线 1．(24-25高二下·上海高行中学·)与圆，都相切的直线有 条． 【答案】3 【分析】根据两圆心距离与两个圆的半径和差关系判断两圆位置关系，即可判断公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为，因为， 所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条． 故答案为：3 2．(24-25高二下·上海宝山区上海存志高级中学·月考)古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 . 【答案】2 【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点的轨迹方程为，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线. 【详解】由题意设， 易知，即可得， 整理得点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，大于，小于， 则动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故公切线的条数为2. 故答案为：2 3．已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为 ． 【答案】 【分析】求解经过与圆相切的直线方程，然后判断与相切的直线方程即可． 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当过点且与相切的直线斜率不存在时，此时直线方程为， 而直线与圆不相切，所以切线的斜率存在， 当过点且与相切的直线斜率存在时， 设切线方程为，即， 则，解得或， 故切线方程为或， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆不相切，故不满足题意， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，满足题意， 综上所述，过点且与，都相切的直线方程为. 故答案为：． 4．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 5．已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【详解】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为 ，即． 6．(23-24高二上·上海吴淞中学·月考)证明圆与圆内切，并求切点坐标以及两个圆的公切线方程. 【答案】证明见解析，； 【分析】根据两圆方程得出其圆心与半径，即可得出两圆心距离与半径之差的关系，即可根据两圆位置关系的条件得出答案，由两圆公切线的求法将两圆方程作减得出公切线方程，再将公切线与其中一圆联立即可得出切点坐标. 【详解】将两圆化为标准方程得： ，， 即两圆的圆心坐标分别为与，半径分别为，， 则两圆心距离为， 则，故两圆内切， 两圆方程作减得两圆公切线：， 与圆联立，消去得：，解得， 则，故两圆的切点坐标为. 题型二十一 直线与圆有关的对称问题 1．(24-25高二上·上海第六十中学·期末)已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，和圆， 圆心和半径分别是， 则两圆心中点为， 若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线， 但两圆心中点不在直线上，故A错误； 对于B，到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C错误； 对于D，如图，设关于直线对称点为，    则解得即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D正确. 故选：D. 2．(23-24高三下·天津和平区·二模)过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案. 【详解】圆的圆心为， 直线关于直线对称时，与直线垂直， 所以直线的方程为， 由解得，所以. 故选：A. 3．(24-25高二下·上海东实验学校·月考)圆关于直线对称，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题设得直线过圆心，进而得，再结合基本不等式常数“1”的代换方法计算即可求解.. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，则， 所以， 当且仅当时，即当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 4．(24-25高二上·上海松江区上海师范大学附属外国语中学·期中)若圆：关于直线对称，则实数 . 【答案】 【分析】根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，即可代入求值. 【详解】由题知，直线过圆的圆心， 则，解得. 故答案为： 5．(24-25高二上·上海进才中学·期中)已知圆关于直线对称，且过点 (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2)或 【分析】（1）根据圆心在直线上和点在圆上，列方程可求，进而可得圆的圆心和半径. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可求直线的斜率，进而得到的方程. 【详解】（1）由题意： . 所以圆： . 所以圆的圆心为，半径. （2）因为，所以圆心到直线的距离为：. 设直线的点斜式方程为：，即. 由 或. 所以直线的方程为：或. 6．(24-25高二上·上海交通大学附属中学闵行分校·月考)已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 题型一 弦长最短问题 1．(24-25高二下·上海师范大学附属中学宝山分校·月考)若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为 ． 【答案】 【分析】首先求出直线过定点，判断点在圆内，当直线时直线与圆相交的弦长最短，再由弦长公式计算可得. 【详解】直线，则， 令，解得，所以动直线恒过点， 又圆的圆心为，半径， 所以， 所以点在圆内， 所以当直线时直线与圆相交的弦长最短， 最短弦长为. 故答案为： 2．(22-23高二下·上海徐汇中学·期中)已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出过定点的圆的最长、最短弦长，再求出四边形面积作答. 【详解】依题意，圆的圆心，半径， 点与圆心的距离， 则点在圆内，过点及圆心的直线与圆相交，得最长弦长， 当时，最短，过的最短的弦长， 所以四边形的面积. 故答案为： 3．(25-26高二上·上海中学·)直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为 . 【答案】9 【分析】求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 4．(22-23高一上·上海嘉定区安亭高级中学·)点是半径为5的内一点，且，在过所有的弦中，弦长最短的弦长度为 ． 【答案】8 【分析】过点作弦，交于、，则是过最短的弦，结合图象求解即可. 【详解】如图，过点作弦，交于、，连接， 其中是过最短的弦，， 所以. 故答案为：8. 5．(24-25高二下·上海桃浦中学·期末)已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)弦长为；直线方程为 【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【详解】（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即. （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 题型二 圆上的点到直线的距离为定值 1．(23-24高二下·上海控江中学·期中)圆上到直线的距离为1的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求圆心到直线的距离，结合圆的性质分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 可知圆心到直线的距离， 且，所以圆上到直线的距离为1的点有2个. 故选：B. 2．(22-23高二下·上海向明中学·期中)圆上到直线距离为的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，再结合图象分析可得结果. 【详解】因为化为标准方程为， 所以圆心，圆的半径， 又因为圆心C到直线的距离为， 所以， 所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示， 所以圆C上到直线的距离为的点共有3个. 故选：B. 3．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 4．(24-25高二上·上海闵行中学·调研)已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，整理直线方程为一般式，求得圆心到直线的距离，结合题意，可得答案. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 由直线，则一般式为， 圆心到直线的距离， 由题意可知，解得. 故答案为：. 题型三 与圆有关的最值问题 1．(25-26高三上·上海进才中学·)已知点P与点的距离不大于1，则点 P 到直线的距离最小值为 . 【答案】5 【分析】根据题意，由条件可得点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得点的轨迹是以为圆心，半径的圆及其内部， 即， 圆心到直线的距离为， 因此点到直线的最小距离为. 故答案为：. 2．(24-25高三上·上海延安中学·开学考)已知圆，则圆心到直线的最大距离为 . 【答案】 【分析】根据题意，由题意可得直线过定点，当定点与圆心的连线与直线垂直时，距离最大，再由两点间距离公式，即可得到结果. 【详解】因为直线，即，令，解得， 所以直线经过的定点为，当圆心与定点的连线与直线垂直时， 距离最大为. 故答案为： 3．若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由方程表示的图形的几何意义以及所求代数式的几何意义画出图形可求出最小值. 【详解】解：曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆， 表示点到点的距离， 表示点到直线的距离，设点在直线上的射影点为， 则， 当且仅当、、三点共线且点为线段与圆的交点时，等号成立，    故的最小值为. 故答案为：. 4．(21-22高二上·上海闵行中学·期末)已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出曲线的图像，数形结合判断并计算点到直线的最大距离和最小距离. 【详解】即， 所以曲线是圆心为，半径为1的圆的上半部分， 如图，点是曲线上的动点， 则点到直线距离的最大值为原点到直线距离加上圆的半径，即， 点为时到直线的距离最小，最小值为． 则点到直线距离的取值范围是． 故答案为： 5．已知直线与圆，求圆上各点到直线的距离的最大值． 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆上各点到直线的距离的最大值为即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以圆上各点到直线的距离的最大值为. 题型四 基本不等式求最值 1．(24-25高三下·上海中国中学·)已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于两点．已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为 ． 【答案】20 【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解即可. 【详解】    由整理得：，可得圆心，半径为， 取可得，解得或，则； 取，可得，解得或，则. 因圆与圆相外切，且半径为，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，如图所示. 则点的轨迹方程为， ， 于是，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为20. 故答案为：20. 2．(24-25高二下·上海向明中学·期末)已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据条件可得，结合基本不等式求的最大值； （2）先验证过点斜率不存在直线满足条件，再由直线与圆有且只有一个交点结合几何关系列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径， 因为直线经过圆心， 所以，又，， ，当且仅当时等号成立， 即， 所以的最大值为； （2）过点斜率不存在的直线为， 联立，可得， 所以直线与圆有且只有一个交点，满足条件， 过点的斜率为的直线方程为， 若直线与圆有且只有一个交点， 则点到直线距离为， 所以，化简可得， 解得，即直线方程为， 所以若直线过点且与圆有且仅有一个公共点， 则该直线方程为或. 3．(24-25高一下·上海宜川中学·期末)已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．   (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在直线，使得向量与共线，直线的方程为 【分析】（1）法一：设弦的中点为，分直线的斜率不存在与直线的斜率存在两种情况讨论可求得直线的方程；法二：设直线的方程为，利用点到线的距离可得，求解即可； （2）法一：由题意得，结合，可求面积的最小值；法二：前面与法一相同，利用，结合二次函数的知识可求得的最小值，进而可得结论； （3）设直线的方程为，、，与圆的方程联立方程组，结合根与系数的关系，可得，进而得，结合已知得，判断方程有无解即可. 【详解】（1）（解法一）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意．            ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； （解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为， ，，则由，解得或， 故直线的方程为或； （2）（解法一）由于、为圆的两条切线， 所以， 又，而的最小值为点到直线的距离，   所以， 故四边形面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点的坐标为，则， ， 所以当时，， 故四边形面积的最小值为； （3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 4．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·月考)在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. (1)求圆的标准方程； (2)若为正三角形，求点的坐标； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出曲线与坐标轴的交点坐标，设出圆的一般方程，利用待定系数法求解. （2）利用切线长定理，结合直角三角形边角关系列式求解. （3）求出圆心到直线的距离，设，利用切线长定理求出的范围，并用表示出，再利用数量积的定义求出函数关系，进而求出最小值即得. 【详解】（1）依题意，当时，圆过点，当时，圆过点， 设圆的一般式方程为， 则，解得，因此， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆的圆心，半径为， 由为正三角形，得，解得， 设，则，解得或， 所以点的坐标为或. （3）圆心到直线的距离，设， ，则， ， 设，则，， 函数在上单调递增，， 所以的取值范围为. 5．(24-25高二上·上海高桥中学·期中)已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）只需证明直线过定点，且该定点在圆内部即可； （2）设圆心到的距离分别为，则，由，，可得的表达式，结合基本不等式可整理出，从而可求出面积的最大值. 【详解】（1）直线即， 令，解得，所以直线过定点， 而，所以点在圆内部， 故无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）设圆心到的距离分别为，则． 则，，所以四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积最大为. 1．(24-25高二下·上海行知中学·月考)已知曲线，则下列结论正确的个数是（   ） （1）若为曲线上两点，则的最大值为 （2）曲线围成的图形的面积是 （3）若为曲线上一点，则的最小值为4 （4）曲线围成区域内(含曲线)格点(横坐标与纵坐标都为整数的点)的个数为20 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据曲线的方程，分象限讨论其图象，然后作出草图，并得每部分所在的圆，，，等大，且都过坐标原点，即可判断选项A，结合图形直接求面积判断选项B，设点在曲线上，记圆过原点的直径为，直线与直线的夹角为，根据的范围即可判断选项C，根据图形即可判断选项D. 【详解】当，时，由曲线的方程，得， 曲线在第一象限内的部分是圆心为，半径为的圆弧. 同理，曲线在第二、三、四象限内的部分都是圆弧， 当时，；当时，. 曲线在坐标系中如图， 曲线关于坐标原点、轴、轴、直线、直线均对称. 记曲线在第一象限及轴正半轴、轴正半轴上的部分为曲线， 曲线所在的圆为圆， 曲线及圆关于轴对称的图形分别为曲线，其所在圆为圆， 关于坐标原点对称的图形分别为曲线，其所在圆为圆， 关于轴对称的图形分别为曲线，其所在圆为圆. 由题意可知，圆，，，等大，且都过坐标原点. 因为点在曲线上，所以， 当且仅当为曲线与直线或的交点时，等号成立， 所以的最大值是，故①正确； 曲线围成的图形的面积为，故②正确； 由曲线的对称性，不妨设点在曲线上. 因为， 所以当的值最小时，的值也最小. 因为点在圆上，记圆过原点的直径为，直线与直线的夹角为， 由题意可知，，则， 所以当时，取得最小值，所以的最小值为，故③正确； 由图可知，曲线围成的区域内格点的个数为，故④错误. 故选：C. 2．(23-24高二下·上海松江二中·期末)在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出的取值范围可得答案. 【详解】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点 ， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）.， 所以、、都符合. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点. 3．(25-26高二上·上海西中学·开学考)设，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】将原问题转化为直线上点与圆上的点之间的距离问题，求解圆心到直线的距离，即可求解最小值. 【详解】表示点、两点距离的平方， 由得点的轨迹方程为， 由得点Q的轨迹方程为，表示圆心为，半径的圆. 所以点、两点距离的最小值为圆心O到直线的距离减去半径， 即，则， 故的最小值等于. 故答案为： 4．(25-26高三上·上海复旦大学附属中学·月考)已知实数、、、满足：，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，根据给定条件可得为单位圆上两点，且，再利用的几何意义列式，结合三角函数恒等变换求得最小值. 【详解】设，，由，，可得、在单位圆上， 又，可得，可得. 设直线，则所求即为. 设，，， 结合图象，当时，、在同侧. 先考虑同侧，所求即为 ，而， 取值范围是， 所以所求式最小值在取到，此时最小值为. 再考虑异侧（含或在上），此时， 所求即为 ， 而，取值范围是， 因此所求式最小值为，在或时取到. 故答案为：. 5．(24-25高二下·上海中学·期中)平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设两个圆的方程为，依题意可得且，根据圆过点得到，设的倾斜角为，则，令，则，代入前述方程，利用韦达定理求出，最后由二倍角公式计算可得. 【详解】由题意设两个圆的方程为 ， 依题意可得且． 因为两圆均过点，所以①， 设的倾斜角为，则，． 令，则．将其代入式①整理得． 由韦达定理可得，从而（负值已舍去）， 所以， 故直线的方程为． 故答案为： 6．(25-26高二上·上海交通大学附属中学·)设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． (1)写出圆的圆心的坐标以及半径； (2)设，当直线与圆交于、两点时，求弦的中点的轨迹； (3)设直线的斜率为，若恒与圆相交（仍记交点为、），求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)圆心，半径； (2)以中点为圆心，为半径的圆在圆内的一段圆弧； (3)，. 【分析】（1）化圆的方程为标准形式，求出圆心坐标及半径； （2）利用圆的性质及定义确定的轨迹. （3）利用点在圆内求出的范围，将直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示列式求出的范围. 【详解】（1）圆的圆心，半径. （2）当时，圆的圆心，半径， 连接，取中点，连接，，又为弦的中点， 当与不重合时，，为直角三角形，则， 当与重合时，，因此， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又点在圆内， 所以弦的中点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在圆内的一段圆弧.    （3）圆的圆心，半径，点， 直线恒过定点，由直线恒与圆相交于、两点， 得点在圆内，则，又，解得， 所以正实数的取值范围是； 直线，由消去得，， 设，则， ，由为锐角，得， 即，整理得， 则，又，整理得，解得， 显然不共线，所以实数的取值范围是.    7．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M： 相切． (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆与圆有公共点，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一知的欧拉线即为的垂直平分线，根据与直线垂直得到斜率，结合过中点得到所求直线方程； （2）由直线与圆相切得到圆的圆心和半径，由两圆有公共点得到两圆的位置关系进而得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】（1）因为，所以是等腰三角形，由三线合一得：的外心、重心、垂心均在边的垂直平分线上， 设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直， 由、可得：的中点，即， 由，得，故的方程为即； （2）因为与圆M：相切，故圆心，， 圆的圆心坐标为，半径， 则要想圆M与圆有公共点，则两圆外切、相交或内切， 只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值， 即，故，解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $