精品解析：贵州省安顺市第一高级中学2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

安顺第一高级中学 2026—2027 学年度第一学期高一年级半期考试 数　学　试　题 （满分：150 分　　120 分钟） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，，则 （　　） A. B. C. D. 2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. ， B. 与 C. 与 D. 与 3. 已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程 有两个异号实根的一个必要不充分条件为（　　） A. ， B. ， C. D. 6. 函数 有单调递增区间但没有单调递减区间，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 函数，若是上的减函数，则（　　） A. 实数的最小值为，最大值为 B. 实数的最小值为，没有最大值 C. 实数没有最小值，最大值为 D. 实数既没有最小值，也没有最大值 8. 记 ，若正实数，，满足，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（　　） A. 集合 ，，若 ，则实数 的值为 B. 若集合 中只有一个元素，则 C. 已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为 D. 若集合 ，，则 有且只有两个元素 10. 已知正实数，满足，则（　　） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，则（　　） A. B. ，使得 C. ，都有 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设两个正实数 、 满足 ，则 的最小值为______． 13. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.已知某“同族函数”的解析式为 ，值域为 ，则该“同族函数”共有______个函数. 14. 已知 是定义在 上图象关于原点对称的函数，并且满足对 ，当 时，总有 .若存在实数 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合，集合． （1）求 （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知函数 是定义在 上的奇函数. （1）求 的解析式； （2）判断 在定义域上的单调性，并用单调性的定义给出证明. 17. 第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. （1）求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 18. 函数的定义域为，对任意，，恒有 ，且不恒为. （1）求，的值； （2）判断的奇偶性并说明理由； （3）若，且在上是增函数，试解不等式：. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” （1）写出函数的一个“优美区间”； （2）试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； （3）已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安顺第一高级中学 2026—2027 学年度第一学期高一年级半期考试 数　学　试　题 （满分：150 分　　120 分钟） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. ， B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出两个函数的定义域，根据定义域不同排除BCD，对于A再分析解析式即可判断. 【详解】对于选项A：函数、的定义域均为，且， 可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故A正确． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为， 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故D错误． 3. 已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，. 所以. 4. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 5. 一元二次方程 有两个异号实根的一个必要不充分条件为（　　） A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】方程 有两个异号实根的充要条件为，即， 包括和两种情况. 对于A，由可得，即选项A是题干结论的充分条件，不合题意； 对于B，与A同理，选项B是题干结论的充分条件，不合题意； 对于C，显然是题干结论的充要条件，不合题意； 对于D，若取，满足，但推不出； 若，因，则必有成立，即成立，故是题干结论的 必要不充分条件，D正确. 6. 函数 有单调递增区间但没有单调递减区间，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将函数变形为，结合已知条件得到，求解不等式即可. 【详解】已知函数 ， 由于有单调递增区间但没有单调递减区间，则 ，解得或， 所以实数 的取值范围是，故C正确. 7. 函数，若是上的减函数，则（　　） A. 实数的最小值为，最大值为 B. 实数的最小值为，没有最大值 C. 实数没有最小值，最大值为 D. 实数既没有最小值，也没有最大值 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数在上是减函数，需满足各段内均单调递减，且在分段点处左侧函数值不小于右侧函数值，列出关于的不等式组，解出的取值范围即可判断. 【详解】若是上的减函数，需满足以下三个条件： ①当时，一次函数单调递减，则斜率，解得； ②当时，二次函数图象开口向上，要在上单调递减，则其对称轴必须满足，解得； ③在分段点处，必须保证左侧函数值不小于右侧函数值，即， 化简得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 所以实数的最小值为，最大值为. 8. 记 ，若正实数，，满足，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把条件化为，再利用化简结论，最后结合基本不等式求的最小值. 【详解】由，，均为正实数，所以. 因为（当且仅当时取等号）. 又 又（当且仅当时取等号）； （当且仅当时取等号）； （当且仅当时取等号）. 所以（当且仅当即时取等号）. 所以， 所以，此时，所以等号成立. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（　　） A. 集合 ，，若 ，则实数 的值为 B. 若集合 中只有一个元素，则 C. 已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为 D. 若集合 ，，则 有且只有两个元素 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合性质、集合相等、集合子集的个数以及一元二次方程根的判别式进行逐一判断即可. 【详解】A选项，，，若，则，解得，A正确； B选项，集合中只有一个元素， 若，则，满足要求， 若，则，解得，故或0，B错误； C选项，，则， 又因为，所以，，集合的个数为4，C正确； D选项，是点集，是数集，则 没有元素，D错误. 10. 已知正实数，满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项：， 当且仅当时等号成立， 选项：，即， ， ，当且仅当时等号成立， 选项：， 选项：由可知：，所以， 当且仅当时等号成立. 11. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，则（　　） A. B. ，使得 C. ，都有 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】赋值即可求解判断A；分析易得当时，，再赋值得到，即可判断B；结合基本不等式及赋值即可判断C；根据函数单调性的定义判断D. 【详解】由题意，对任意的，都有， 令，得， 又，所以，则，故A正确； 当时，，所以， 又，所以，则， 所以，都有，故B错误； 因为，所以， 令，则， 所以，故C正确； 设，则， 由B知，当时，，，都有， 因为，所以，所以，且， 所以，即， 所以在上单调递减，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设两个正实数 、 满足 ，则 的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“1”的代换及基本不等式求解即可. 【详解】已知 ，，， 则， 当且仅当时，即，时，等号成立. 故的最小值为. 13. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.已知某“同族函数”的解析式为 ，值域为 ，则该“同族函数”共有______个函数. 【答案】9 【解析】 【分析】根据“同族函数”的定义，可列出函数解析式为，值域为的“同族函数”的定义域，从而确定“同族函数”的个数. 【详解】令，得； 令，得； 令，得. 若函数的值域为， 定义域中至少有个元素，至多有个元素， 当定义域中有个元素时， 定义域可以为， 当定义域中有个元素时， 定义域可以为， 当定义域中有个元素时， 定义域可以为， 所以该“同族函数”共有9个函数. 14. 已知 是定义在 上图象关于原点对称的函数，并且满足对 ，当 时，总有 .若存在实数 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】用定义判断函数的单调性，再利用函数的奇偶性和单调性把函数值不等式转化成带有参数的不等式，使用分离参数法求解即可. 【详解】因为是定义在R上图象关于原点对称的函数，所以是奇函数， 故，由得， 所以在R上单调递增， 由得， 则， 所以问题转化成存在实数，使得不等式成立， 令，， 函数对称轴为，开口向上，故， 所以，解得，即. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合，集合． （1）求 （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得，再利用集合间的关系，分和两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由，即，解得， 则，所以或，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，又，都有”是真命题， 则，又， 当，即时，，满足题意， 当，即时，则，解得，所以， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知函数 是定义在 上的奇函数. （1）求 的解析式； （2）判断 在定义域上的单调性，并用单调性的定义给出证明. 【答案】（1），定义域为； （2）在上单调递增； 证明如下： 任取，则， 因为，，，，所以； 故在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解； （2）根据函数单调性的定义直接证明即可. 【小问1详解】 因为定义域 关于原点对称，所以 ，解得， 又 为奇函数，故 ，得 ， 所以 ，定义域为 . 【小问2详解】 略. 17. 第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. （1）求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】（1） （2）当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【解析】 【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可； （2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【小问1详解】 当时， 当时， 因为时，，解得 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， 所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元． 18. 函数的定义域为，对任意，，恒有 ，且不恒为. （1）求，的值； （2）判断的奇偶性并说明理由； （3）若，且在上是增函数，试解不等式：. 【答案】（1）；； （2）为偶函数，证明如下： 由题意得的定义域关于原点对称， 令，由得， 因为，所以， 所以函数为偶函数. （3） 【解析】 【分析】（1）令可求得的值，令可取得的值； （2）令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （3）将目标不等式结合题意合理变形后求解解集即可. 【小问1详解】 令，得，所以， 令，得，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，可得，， 原不等式化为， 由为偶函数，且在上递增， 得，化简得， 解得，又且， 所以解集为． 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” （1）写出函数的一个“优美区间”； （2）试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； （3）已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】（1） （2） 函数不存在“优美区间”，理由如下： 的定义域为，且在上单调递减， 假设存在“优美区间”，则， 所以，因为，所以无解，故不存在“优美区间”. （3） 【解析】 【分析】（1）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （2）分析的单调性，假设存在“优美区间”，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （3）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，可得为二次方程的两个不相等实根，根据韦达定理，可得表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【小问1详解】 设函数在上单调递增，假设是它的“优美区间”， 则，解得， 所以函数的一个“优美区间”为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，定义域为， 且在上单调递增， 假设存在“优美区间”，则， 整理得， 所以为二次方程的两个不相等实根， 所以判别式，解得或， 由韦达定理得， 则， 令，则， 所以当时，即时，有最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $