精品解析：广西壮族自治区河池市都安瑶族自治县2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年秋季学期期中学情教情调研 九年级数学卷 本卷满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 当前我国人工智能产业快速发展，多款国产大模型亮相数字产业展会，下列四个产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，据此逐项判断即可. 【详解】解：选项A，不是中心对称图形； 选项B，绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形； 选项C，不是中心对称图形； 选项D，不是中心对称图形. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可得到答案． 【详解】解：∵方程中，的系数为3，的系数为，常数项为1， ∴ 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1， 故选：A． 3. 在同一平面内，已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆半径的大小关系，即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为5，， ∴， ∴点P在内， 故选：A． 4. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 5. 将抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，得． 6. 如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ， ， . 7. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义． 由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且， ， 矩形的面积为2，故选B． 8. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x．则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 设平均每次降价的百分率为，根据题意可得原售价乘等于降价后的售价． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意可得． 故选：A． 9. 如图，将绕点O按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题依据旋转前后的两个图形全等以及对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角等知识依次分析各选项即可求解． 【详解】解：∵将绕点O按顺时针方向旋转后，得到， ∴，，，． 10. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第二、四象限 C. 当时， D. 当时，随着的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】判断出图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， 当时，，故A错误； ∵比例系数 ∴图象在第一、三象限，故B错误； ∴在每个象限内，y随x的增大而减小 ∴当时，随着的增大而减小，故D正确． 当时， ∴当时，，故C错误； 11. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键．设A的横坐标为a，则纵坐标为，根据题意得出点B的坐标为，代入即可求得k的值． 【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为， ∵，轴， ∴B的横坐标为，轴， ∴， ∵点B在函数的图象上， ∴， 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A(3，0)，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且点B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例函数的图象于点E，则点E的纵坐标是(　　) A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出OD的长，再过点C作CF⊥y轴于点F，根据AAS定理得出△CDF≌△DAO，故可得出C点坐标，求出k的值，再求出OB1的长，进而可得出E点坐标． 【详解】解：∵Rt△AOD中，OA=3，AD=5， ∴OD===4 过点C作CF⊥y轴于点F， ∵∠CDF+∠ADO=90°，∠CDF+∠DCF=90°， ∴∠DCF=∠ADO， 在△CDF与△DAO中， ∴△CDF≌△DAO（AAS）， ∴CF=OD=4，DF=OA=3， ∴C（4，7）． ∵反比例函数y=图象经过点C， ∴k=4×7=28， ∴反比例函数的解析式为y＝. ∵OB1=OA+AB1=3+5=8， ∴点E的横坐标为8， ∴y== ∴点E的纵坐标是. 故选C. 【点睛】本题是反比例函数综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、图形旋转的性质等知识，难度适中． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． 14. 二次函数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质分析即可． 【详解】解：将二次函数对比顶点式，可得： ，抛物线开口向上，顶点坐标为， 顶点是抛物线的最低点， 二次函数有最小值，最小值为顶点纵坐标． 15. 已知方程的两个根分别为和，求的值为______ 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，常数项，根据根与系数的关系，两根之积． 故答案为：6． 16. 如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（）的度数是______． 【答案】 或 【解析】 【分析】分点D在上方，点D在下方两种情况，根据角的和差关系分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点D在上方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的大小为； 如图所示，当点D在下方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴旋转角的大小为； 综上所述，旋转角的大小为或. 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标是，，． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点O顺时针旋转90°得到，画出； （3）求出（2）的点B旋转到点所经过的路径长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，由已知、、的坐标求出对应点、、，在网格中描点后顺次连接三点即可得到​． （2）依据平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规则：点旋转后对应点坐标为，由、、的坐标求出对应点、、，在网格中描点后顺次连接三点即可得到​． （3）点B旋转到​的路径是圆心角为、半径为OB长度的圆弧，先用勾股定理算出，再代入弧长公式，即可求出该段路径长为． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】  解：点绕点顺时针旋转到​的运动路径是圆心角为的一段圆弧，圆弧半径是原点到点的距离： 已知， 由勾股定理得； 再代入弧长公式（其中圆心角 ，半径​）， 计算得路径长： ​． 19. 如图，直线与双曲线（，）交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）若为轴正半轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把代入即可算出的值，再把代入一次函数解析式算出的坐标，把坐标代入，即可算出的值； （2）利用，列式运算即可． 【小问1详解】 解：把代入可得：， 解得：； ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴， 把代入可得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 把代入可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 20. 平陆运河是广西内河水运重大工程．如图，航道施工段旁有一块平整空地，项目部计划采购总长的彩钢围挡，依托运河堤岸搭建矩形材料堆放场、运河堤岸足够长，直接作为矩形的边，无需搭设围挡．为方便工程车辆与工人进出，在边处预留宽的进出口，进出口位置不设置围挡． （1）设矩形的边，请用含的代数式表示边的长； （2）若要求材料堆放场矩形的总面积为，求该矩形材料堆放场的长与宽； （3）当边为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）该矩形材料堆放场的长为，宽为或长为，宽为 （3）米时，矩形的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）用栅栏长减去长的两倍再加上的长即可得到答案； （2）根据（1）所求结合矩形面积计算公式建立方程求解即可； （3）设矩形的面积为，表示出与的解析式，结合函数性质直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：根据题意得， 解得，， 当时，，， 当时，，， 该矩形材料堆放场的长为，宽为或长为，宽为； 【小问3详解】 解：设矩形的面积为， 由题意可得，， ， 当时，最大，最大值为， 米时，矩形的面积最大，最大面积是． 21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，点在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，过点，的直线为． （1）求边的长； （2）求关于的函数解析式； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点，矩形绕原点顺时针旋转得到矩形，根据旋转性质：，坐标为，点在直线上，代入得到方程，即可得的长； （2）结合（1）中的值及解析式求出点的坐标即可求出反比例函数； （3）结合图像即可求不等式范围． 【小问1详解】 解：设，四边形是矩形，则，． 矩形绕原点顺时针旋转得到矩形， ，即． 在直线上， 把代入：，解得， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得：， 在直线上，将代入 ， 解得， ， 在反比例函数上， ， ． 【小问3详解】 解：联立，其中一个交点为， 直线与轴交点：令，解得， ， 的含义：直线在轴上方、且在双曲线下方， 结合图像得：． 22. 综合与探究 【初步感知】如图1，在中，，是的中线．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，线段分别与线段，交于点，线段与交于点． （1）【猜想证明】猜想：线段与的数量关系为________，与的数量关系为________，并求证：； （2）【拓展探究】在旋转过程中，完成下面探究： ①如图2，当时，求证：四边形是菱形； ②如图3，已知，，是边上的中点，在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为点，连接，，求线段的最大值． 【答案】（1）；； 证明：∵，是的中线， ∴，，， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）①证明：是的中线， ， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形． ② 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，旋转的性质得出；结合图形得到，运用即可求证； （2）①根据旋转得到，由平行线的判定得到，可证四边形是菱形，由此即可求解； ②是中点，在中，，；旋转后，轨迹是以为圆心、为半径的圆，最大值为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②为中点， ． ， ． 点绕旋转，， 最大值为． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点． 【性质初探】 （1）抛物线的开口______（填“向上”或“向下”）； （2）求证：无论取何值，抛物线的最小值恒为； 【深入探究】 （3）将抛物线向右平移（）个单位长度得到抛物线，当时，是否存在实数，使得抛物线与关于轴对称？若存在，求出值；若不存在，说明理由； （4）若抛物线与的交点在轴上． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴的平行线，分别与抛物线，的另一个交点是点、点，选取两个符合条件的值，并验证越大，越小． 【答案】（1） 向上 （2） 证明：∵ ， ， ∴ ，当时取等号， ∴ 抛物线的最小值恒为． （3） 存在实数，， 证明：抛物线的顶点式为，顶点坐标为， 将向右平移2个单位得到，则的顶点坐标为，且两抛物线二次项系数均为，开口方向、大小相同， 若与关于轴对称，则两顶点关于轴对称， 顶点关于轴的对称点为， ∴ ， 解得，符合的条件． （4） ① ； ② 选取和，验证如下： 当时，，直线与的另一交点，与的另一交点，； 当时，，直线与的另一交点，与的另一交点，. ∵ 且， ∴ 越大，越小． 【解析】 【分析】（1）根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向； （2）通过配方法将抛物线解析式化为完全平方式，利用平方的非负性证明最小值为； （3）利用平移前后抛物线顶点的坐标变化，结合关于轴对称的点的坐标特征列方程求解； （4）① 先确定轴上交点的坐标，代入平移后的抛物线解析式推导与的函数关系；② 求出直线与两抛物线的另一交点坐标，计算的长度，代入值验证结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线中，， ∴抛物线的开口向上． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：① ∵ 抛物线与轴交于点，且两抛物线的交点在轴上， ∴ ； 抛物线由向右平移个单位得到，其解析式为； 将代入的解析式，得， 整理得， ∵ ，， ∴ ，  ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， ∴关于的函数解析式为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期期中学情教情调研 九年级数学卷 本卷满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 当前我国人工智能产业快速发展，多款国产大模型亮相数字产业展会，下列四个产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 3. 在同一平面内，已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 4. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 7. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 8. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x．则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点O按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第二、四象限 C. 当时， D. 当时，随着的增大而减小 11. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 12. 如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A(3，0)，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB1C1D1，且点B1恰好落在x轴的正半轴上，此时边B1C1交反比例函数的图象于点E，则点E的纵坐标是(　　) A. B. 3 C. D. 4 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________． 14. 二次函数的最小值是______． 15. 已知方程的两个根分别为和，求的值为______ 16. 如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（）的度数是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标是，，． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点O顺时针旋转90°得到，画出； （3）求出（2）的点B旋转到点所经过的路径长． 19. 如图，直线与双曲线（，）交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）若为轴正半轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 20. 平陆运河是广西内河水运重大工程．如图，航道施工段旁有一块平整空地，项目部计划采购总长的彩钢围挡，依托运河堤岸搭建矩形材料堆放场、运河堤岸足够长，直接作为矩形的边，无需搭设围挡．为方便工程车辆与工人进出，在边处预留宽的进出口，进出口位置不设置围挡． （1）设矩形的边，请用含的代数式表示边的长； （2）若要求材料堆放场矩形的总面积为，求该矩形材料堆放场的长与宽； （3）当边为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，点在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，过点，的直线为． （1）求边的长； （2）求关于的函数解析式； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 22. 综合与探究 【初步感知】如图1，在中，，是的中线．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，线段分别与线段，交于点，线段与交于点． （1）【猜想证明】猜想：线段与的数量关系为________，与的数量关系为________，并求证：； （2）【拓展探究】在旋转过程中，完成下面探究： ①如图2，当时，求证：四边形是菱形； ②如图3，已知，，是边上的中点，在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为点，连接，，求线段的最大值． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点． 【性质初探】 （1）抛物线的开口______（填“向上”或“向下”）； （2）求证：无论取何值，抛物线的最小值恒为； 【深入探究】 （3）将抛物线向右平移（）个单位长度得到抛物线，当时，是否存在实数，使得抛物线与关于轴对称？若存在，求出值；若不存在，说明理由； （4）若抛物线与的交点在轴上． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴的平行线，分别与抛物线，的另一个交点是点、点，选取两个符合条件的值，并验证越大，越小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $