精品解析：广西壮族自治区河池市都安瑶族自治县2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

广西壮族自治区河池市都安瑶族自治县2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题 一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先进行左右移项，再进行提公因式分解因式即可求解方程． 【详解】解：由得 ，即 ，解得 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解决本题的关键． 3. 下列说法正确的是( ). A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 长度相等的弧是等弧 D. 过圆心的线段是直径 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的有关概念，熟练掌握圆的概念是解题的关键．根据元的概念一一判断即可． 【详解】解：直径是经过圆心的弦，不是所有的弦都是直径，所以A，D选项错误； 圆上任意两点间的部分是弧，所以半圆是弧，故B正确； 只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，故C错误； 故选B． 4. 如图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可． 【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为， 当时，水柱的最大高度是， 故选：B． 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是根据圆内接四边形，两对角互补，求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． 故选：C． 6. 已知方程的两个根是，则的值为（ ） A. 1 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系即可得到，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵方程的两个根是， ∴， 故选D． 7. 关于抛物线，下列结论中正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 与轴没有交点 D. 与轴交于点 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案. 【详解】A：对称轴为直线x=-1，故A错误； B：当时，随的增大而减小，故B正确； C：顶点坐标为(-1,-2)，开口向上，所以与x轴有交点，故C错误； D：当x=0时，y=-1，故D错误； 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质. 8. 若一元二次方程配方后为，则的值分别是（ ） A. 6，4 B. 6，5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把整理成一元二次方程的一般形式，然后与比较即可. 【详解】因为， 所以， 因为一元二次方程， 即配方后为， 所以，， 所以，． 故选A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 9. 将抛物线的顶点平移到，则平移的方式为（ ） A. 向左平移7个单位长度 B. 向右平移7个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴平移的方式为向右平移1个单位长度， 故选：D． 10. 如图，的直径为10，圆心O到弦的距离的长为3，则弦的长为( ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】连接，先根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的直径为10， ∴， ∵圆心O到弦的距离的长为3， 由垂径定理知，点M是的中点，， 由勾股定理可得，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂直于弦（不是直径）的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧，也考查了勾股定理的应用． 11. 某旅游景区2023年五一期间接待游客36万人次．这两年当地加大宣传力度，该景区逐渐为人所熟知，2025年五一期间接待游客49万人次．设该景区接待游客人次的年平均增长率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该景区接待游客人次的年平均增长率为，则2024年五一期间接待游客万人次，则2025年五一期间接待游客万人次，据此列出方程即可． 【详解】解：设该景区接待游客人次的年平均增长率为， 由题意得， 故选：B． 12. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 一元二次方程的一般式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c都是常数，且），将方程左边展开，移项使右边为零，合并同类项得到一般式． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 14. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 15. 如图，为的直径，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】在上截取，连接，过点作于点，证明，得出，结合垂线段最短可知当点与点重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，过点作于点，如图， ，， ， 由旋转可知，， ，即， 在和中， ， ， ， 当最短时，最小， 垂线段最短， 当点与点重合时，最短，即为的长， ，，， ， ， ， ， 线段的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，除注明直接写出答案外．） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 18. 在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 1 … y … 1 … （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 【答案】（1） （2）顶点坐标为， 画出函数图象如图： 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、画二次函数的图象等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可确定顶点坐标，然后再画出函数图象即可． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 19. 已知一元二次方程． （1）当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根； （2）当时，请判别方程根的情况． 【答案】（1），方程另外一个根为 （2）原方程有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点， （1）将和方程的一个根为代入方程求出c值，再解方程即可； （2）根据判断出的取值范围，进而进行判断即可； 熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键． 【小问1详解】 时，若方程的一个根为， 解得：， 得到方程为，解得或， ，方程另外一个根为； 【小问2详解】 ， ∴ ， 原方程有两个不相等的实数根． 20. 如图，E是正方形中边上一点，把绕点A顺时针旋转． （1）旋转后点D与点______重合； （2）尺规作图：作出旋转后的图形，其中点E的对应点为点F（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）； （3）若，求的度数． 【答案】（1）B （2）解：如图， （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，直角三角形中的两个锐角互余，尺规作图，熟练掌握旋转的性质和尺规作图的方法是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，即可得到旋转后点与点重合； （2）延长，在的延长线上截取线段，连接，即可得到旋转后的图形； （3）根据旋转的性质得出，再根据直角三角形中的两个锐角互余，计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：正方形， ，， 绕点A顺时针旋转， 旋转后点与点重合， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ． 21. 如图，为的直径，C为弧的中点，弦于D，交于E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵C为弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）利用弧中点的定义可得，由垂径定理可得，由此可证明结论； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 设圆的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 22. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实 验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m）， 面积为S（单位：）． 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为 （1）直接写出y 与x，S 与 x 之间的函数解析式（不要求写x 的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S 能达到吗？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由； （3）矩形实验田的面积S 能达到吗？如果不能，请说明理由；你能求出矩形实验田的面 积S 的最大值吗？若能，求出S的最大值并求出此时的x 的值． 【答案】（1） （2）矩形实验田的面积能达到； （3） 当时，则， 即， ∵， ∴方程无解， ∴矩形实验田的面积S 不能达到． ， 又∵， ∴当时，S有最大值，最大值为800， ∴S的最大值为，此时的x 的值为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，根的判别式，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）当时，则，根据，得出方程无解，所以矩形实验田的面积S 不能达到；将与的函数配成顶点式，求出的最大值即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ； 【小问2详解】 解：矩形实验田的面积能达到；理由如下： ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到． 【小问3详解】 略 23. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西壮族自治区河池市都安瑶族自治县2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题 一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是( ). A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 长度相等的弧是等弧 D. 过圆心的线段是直径 4. 如图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程的两个根是，则的值为（ ） A. 1 B. C. 6 D. 7. 关于抛物线，下列结论中正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 与轴没有交点 D. 与轴交于点 8. 若一元二次方程配方后为，则的值分别是（ ） A. 6，4 B. 6，5 C. D. 9. 将抛物线的顶点平移到，则平移的方式为（ ） A. 向左平移7个单位长度 B. 向右平移7个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 10. 如图，的直径为10，圆心O到弦的距离的长为3，则弦的长为( ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 11. 某旅游景区2023年五一期间接待游客36万人次．这两年当地加大宣传力度，该景区逐渐为人所熟知，2025年五一期间接待游客49万人次．设该景区接待游客人次的年平均增长率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 一元二次方程的一般式为_______． 14. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 15. 如图，为的直径，，，则的度数为______． 16. 如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，除注明直接写出答案外．） 17. 解方程： 18. 在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 1 … y … 1 … （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 19. 已知一元二次方程． （1）当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根； （2）当时，请判别方程根的情况． 20. 如图，E是正方形中边上一点，把绕点A顺时针旋转． （1）旋转后点D与点______重合； （2）尺规作图：作出旋转后的图形，其中点E的对应点为点F（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）； （3）若，求的度数． 21. 如图，为的直径，C为弧的中点，弦于D，交于E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实 验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m）， 面积为S（单位：）． 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为 （1）直接写出y 与x，S 与 x 之间的函数解析式（不要求写x 的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S 能达到吗？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由； （3）矩形实验田的面积S 能达到吗？如果不能，请说明理由；你能求出矩形实验田的面 积S 的最大值吗？若能，求出S的最大值并求出此时的x 的值． 23. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $