数学一模模拟·必刷卷01（上海专用）学易金卷：2027年高考第一次模拟考试

■■■ ■■■■ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 23 123 23 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 1234 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 4 5 破。 6 6 5. 正确填涂 缺考标记 789 789 56789 456789 45678 6789 56789 123456789 456789 12345678 9 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分， 第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 艾南 5 个 8 10 12. 箭 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第 15~16题每题5分) 舸 13[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A]B][C][D] 16[A][B][C][D] 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6贞） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本题满分14分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) 个频率组距 0.040 a 0.016 0.008 0.004 5060708090100成绩分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(本题满分18分) 0 P 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(本题满分18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题：本题共12小题，第1~6小题每题4分，第7~12小题每题5分，共54分. 1．（热点）已知全集，集合，则___________． 2．（热点）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为__________． 3．设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为_______． 4．已知事件A和B独立，，则____________． 5．（热点）设，若.则______. 6．已知等比数列的前n项和为，且，，则______． 7．（热点）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . 8．已知，，数列是公差为1的等差数列，若的值最小，则________． 9．（热点）要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是___________． 10．已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于__________． 11．已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是__________． 12．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为________． 二、选择题：本题共4小题，每小题有且只有一个正确答案，第13、14小题每题4分，第15、16小题每题5分，共18分． 13．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 14.已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ） A. B. C. D. 15．某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 16．（新情景）定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（    ）. A．和均为真命题 B．和均为假命题 C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（14分）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 18．（14分）如图，已知平面，，为等边三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 19．（14分）某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组()．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a的值； (2)从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，其中.已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 20．（18分）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 21．（18分）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题：本题共12小题，第1~6小题每题4分，第7~12小题每题5分，共54分. 1．（热点）已知全集，集合，则________________． 【答案】 【解析】因为， 所以， 故答案为：. 2．（热点）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为__________． 【答案】2 【解析】由于复数（为虚数单位）是纯虚数，所以， 解得， 故答案为：2. 3．设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为_______． 【答案】 【解析】双曲线的渐近线为：，直线与其平行， 所以，所以离心率为： 4．已知事件A和B独立，，则____________． 【答案】 【解析】因为事件互相独立， 所以， 故答案为：. 5．（热点）设，若.则______. 【答案】4 【解析】展开式的通项公式为：，分别令，，， 则，即，解得：. 故答案为：4. 6．已知等比数列的前n项和为，且，，则______． 【答案】121 【解析】设公比为，故，解得， 所以， 故. 故答案为：121 7．（热点）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 ____________. 【答案】. 【解析】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为，所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为. 8．已知，，数列是公差为1的等差数列，若的值最小，则________． 【答案】3 【解析】∵数列是公差为1的等差数列，可设：. ∴ ∴当时，的值最小. 故答案为：3 9．（热点）要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是___________． 【答案】 【解析】先排第一节有种排法， 再在其后排语数英中除第一节外的两科目，有种不同排列, 并形成3个空排艺术、体育两门科目，有种排法， 故不同的排课方法有种方法. 故答案为：24. 10．已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于__________． 【答案】 【解析】依题意，设与的夹角为，， 因为，，所以，即， 则，所以， 因为对任意的，都有成立， 所以，即，即对于恒成立， 故，又，解得， 综上，，则的最小值为. 故答案为：. 11．已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】当时，， 因为函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点， 所以，故， 故答案为： 12．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为________． 【答案】 【解析】若P到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上， 平面，平面，故平面平面， 故到平面的距离即到的距离， 设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线， 不妨取正方体边长为，中点为，以所在的直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交， 故共有个点满足条件. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何，抛物线的轨迹方程，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中根据题意得到动点的轨迹方程是解题的关键， 二、选择题：本题共4小题，每小题有且只有一个正确答案，第13、14小题每题4分，第15、16小题每题5分，共18分． 13．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：由，则， 法二：由，则， . 故选：A． 14.已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D. 15．某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】D 【解析】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列： 、、、、、、、， 因为从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为， 一共有8个数，所以比大的数有两个，则， 对于A，因为，所以第65百分位为第6个数，即，满足题意； 对于B，因为，所以第70百分位为第6个数，即，满足题意； 对于C，因为， 所以第75百分位为第个数的平均数，即，满足题意； 对于D，因为，所以第80百分位为第7个数，即，不满足题意. 故选：D. 16．（新情景）定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（    ）. A．和均为真命题 B．和均为假命题 C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题 【答案】A 【解析】记， 易得，因此曲线关于轴，轴成轴对称，关于原点成中心对称， 从几何上讲，曲线是到两定点和的距离乘积为的点的轨迹， 由可得，因此它在轴上方和下方分别是两个函数的图象，这两个函数图象在轴上有公共点（方程的解相同）， 由得， 时，或， 所以曲线与轴无公共点，曲线是在轴两侧的两个曲线构成，是双轨道曲线， 当时，，结合对称性知，曲线是一个封闭曲线，是单轨道曲线， （实际上上述过程中只要对取一个特定值讨论即可） 命题均正确， 故选：A． 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（14分）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【解析】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 18．（14分）如图，已知平面，，为等边三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明:因为平面，，为等边三角形， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 为的中点，， ，，故共面， 平面， 平面. （2）由（1）知， 设和平面所成的角为， 因为是轴上的单位向量，所以是平面的一个法向量， 所以， 直线和平面所成角的正弦值为. 19．（14分）某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组()．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a的值； (2)从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，其中.已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】(1) (2) (3)88；19 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出. （2）求出两个小组的频率比，结合分层抽样求出两个区间内各抽取的人数，再借助组合计数问题求出概率. （3）求出剔除两个数据后的平均数，再利用方差的定义求出方差. 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）由频率分布直方图知：在两个小组内的学生人数比为， 所以抽取7名学生中，来自的分别为2人、5人， 随机选出2人，两人恰好来自不同小组的概率. （3）依题意，，， 剔除的两个为的数后余下数据的平均数为， 此时方差为. 20．（18分）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【解析】（1）由得，所以焦距，离心率 . （2）    ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：. （3）    ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点. 21．（18分）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【解析】（1）当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. （2）解法一：因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. 解法二：因为， 设， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值， 令，所以单调递减， 所以，即， 有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． （3）①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、填空题：本题共12小题，第1~6小题每题4分，第7~12小题每题5分，共54分. 1. 2. 2 3. 4. 5. 4 6. 121 7. 8. 3 9. 24 10. 11. 12. 6 二、选择题：本题共4小题，每小题有且只有一个正确答案，第13、14小题每题4分，第15、16小题每题5分，共18分． 13 14 15 16 A D D A 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（14分） 【解析】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值.（6分） （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为.（14分） 18（14分） 【解析】（1）证明:因为平面，，为等边三角形， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 为的中点，， ，，故共面， 平面， 平面.（6分） （2）由（1）知， 设和平面所成的角为， 因为是轴上的单位向量，所以是平面的一个法向量， 所以， 直线和平面所成角的正弦值为.（14分） 19. （14分） 【解析】（1）依题意，， 所以.（4分） （2）由频率分布直方图知：在两个小组内的学生人数比为， 所以抽取7名学生中，来自的分别为2人、5人， 随机选出2人，两人恰好来自不同小组的概率.（8分） （3）依题意，，， 剔除的两个为的数后余下数据的平均数为， 此时方差为.（14分） 20. （18分） 【解析】（1）由得，所以焦距，离心率 .（4分） （2）    ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：.（10分） （3）    ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点.（18分） 21. （18分） 【解析】（1）当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为.（4分） （2）解法一：因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，（7分） 如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. 解法二：因为， 设，（7分） 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值， 令，所以单调递减， 所以，即， 有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2．（10分） （3）①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以.（15分） ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，.（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年高考第一次模拟考试 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题：本题共12小题，第1~6小题每题4分，第7~12小题每题5分，共54分. 1．（热点）已知全集，集合，则___________． 2．（热点）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为__________． 3．设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为______． 4．已知事件A和B独立，，则____________． 5．（热点）设，若.则______. 6．已知等比数列的前n项和为，且，，则______． 7．（热点）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . 8．已知，，数列是公差为1的等差数列，若的值最小，则________． 9．（热点）要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是___________． 10．已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于__________． 11．已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是__________． 12．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为________． 二、选择题：本题共4小题，每小题有且只有一个正确答案，第13、14小题每题4分，第15、16小题每题5分，共18分． 13．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 14.已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ） A. B. C. D. 15．某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（    ） A．65 B．70 C．75 D．80 16．（新情景）定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（    ）. A．和均为真命题 B．和均为假命题 C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题 三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（14分）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 18．（14分）如图，已知平面，，为等边三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 19．（14分）某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组()．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a的值； (2)从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，其中.已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 20．（18分）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 21．（18分）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $