精品解析：上海市复旦大学附属中学2026届高考模拟限时练习（一模）数学试卷

2026届复旦大学附属中学高考模拟限时练习 数学 试卷 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 抛物线的准线方程为______． 2. 的二项展开式中的系数为__________. 3. 不等式的解集为__________. 4. 某同学5次数学周测成绩为：80，84，84，86，86；这组数据的方差为__________. 5. 若不等式对于任意实数x恒成立，则a的取值范围为______． 6. 若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 7. 已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 8. 从10双相同的鞋子中随机抽取4只鞋，恰好可以作为2双的概率为__________． 9. 已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 10. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量，若构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则直线与平面的位置关系为__________. 11. 设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 12. 已知定义域为R的函数满足与恒成立，若与任意定义域为R的奇函数均有交点，则__________. 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 设函数的定义域集合为，值域集合为，则（ ） A. B. C. D. 14. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B. 垂直于同一平面的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两条直线平行 D. 平行于同一平面的两直线平行 15. 对任意正整数n，定义n的双阶乘：当n为偶数时，；当n为奇数时，，则下列四个命题中错误的是（     ） A. 2026!!的个位数字为0 B. 2025!!的个位数字为5 C. 2025!!和2024!!和2025!不可构成等比数列 D. 有不止一个正整数n可以使得n!!，(n+1)!!，(n+2)!!构成等差数列 16. 已知某个四棱柱为平行六面体，从一个顶点出发相邻的三个面的面积分别为a，b，c，则（ ） 命题①：若该四棱柱为直四棱柱，则它的体积为是直四棱柱为长方体的充要条件 命题②：若该四棱柱为斜四棱柱，则它的体积为是斜四棱柱为长方体的充要条件 A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． （1）写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； （2）记事件B为“所选取的实数a使得函数在上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 18. 如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2． （1）若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值； （2）若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形． （1）若E是PB上任意一点，四边形ABCD是菱形，，BD= 6，当面积的最小值是9时，求证：平面； （2）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．若四棱锥是阳马，PD=5，CD=4，AD=3，求：该阳马的外接球表面积； （3）若四棱锥是阳马，且，点可能为的中点，试确定点E位置使得四面体为鳖臑，并证明． 20. 定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为； 我们称椭圆的“交换椭圆”为； 我们称圆的“交换圆”为． （1）若双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，双曲线C过点，求：双曲线C的标准方程； （2）若过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，且一个球的表面积与“交换圆”面积相同，求：球的体积； （3）已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于． 21. 定义：若函数满足在上的值域为（），则称为“根域同函数”． （1）试判断是否为“根域同函数”并说明理由； （2）若“根域同函数”为偶函数，求：的值域； （3）已知奇函数对任意均满足为“根域同函数”，幂函数是“根域同函数”的充要条件为点在上，求证：当时，的图象在下方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届复旦大学附属中学高考模拟限时练习 数学 试卷 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程． 【详解】由抛物线，可得， 抛物线的准线方程为， 故答案为：． 2. 的二项展开式中的系数为__________. 【答案】60 【解析】 【详解】该二项式通项为：，令可得，，所以系数为60. 3. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【详解】当时，则有，满足题意； 当时，则，由可得，解得. 故原不等式的解集为. 4. 某同学5次数学周测成绩为：80，84，84，86，86；这组数据的方差为__________. 【答案】4.8 【解析】 【分析】先求出平均数，再利用方差的定义求出方差. 【详解】所以这组数据的平均数为， 方差为. 5. 若不等式对于任意实数x恒成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为恒成立，然后利用绝对值三角不等式求的最小值，最后解绝对值不等式即可. 【详解】不等式恒成立，即不等式恒成立， 即不等式恒成立， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，两边平方化简得，解得， 即a的取值范围为. 6. 若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，，，，，， 则，， 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意， 所以整数n的取值集合为 7. 已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 【答案】等边三角形或直角三角形 【解析】 【分析】由平面ABC可得，，，再结合可得，为等腰直角三角形，进而分为直角顶点、为直角顶点，两种情况讨论求解即可. 【详解】由平面ABC，平面ABC，可得，，， 又，则为等腰直角三角形，且， 由于与以A，B，C为顶点的三角形全等， 则为等腰直角三角形， 当为直角顶点时，， 结合勾股定理可知，则为等边三角形； 当为直角顶点时，， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以为直角三角形. 综上所述，为等边三角形或直角三角形. 8. 从10双相同的鞋子中随机抽取4只鞋，恰好可以作为2双的概率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】10双鞋子共20只，从20只中随机抽取4只，不考虑顺序，总抽法为 ， 因为是10双相同的鞋子，故恰好凑成2双，即从10双左脚的鞋中选择两双，从10双右脚的鞋中选择两双， 符合条件的抽法为， 根据古典概型可知恰好可以作为2双的概率. 9. 已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线位置关系得且，然后利用基本不等式求解即可． 【详解】原方程组无解等价于直线与直线平行， 所以且． 又，，所以（）， 即取值范围是． 10. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量，若构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则直线与平面的位置关系为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由，可得，即可得出直线l与平面的位置关系． 【详解】因为构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则， 因为，所以. 所以或. 11. 设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出角的大小，再求出角的范围，再利用正弦定理用表示c计算范围即可 【详解】因为，所以，根据余弦定理 因为是锐角三角形，，因此​，得，即 因为三个角都是锐角，所以，解得，所以 又​，，所以 因为，所以 12. 已知定义域为R的函数满足与恒成立，若与任意定义域为R的奇函数均有交点，则__________. 【答案】2026 【解析】 【详解】定义域为R的函数满足恒成立， 则有， 又恒成立，则有， 且，所以有， 函数的图象过原点时，才能与任意定义域为R的奇函数均有交点， 则有，所以. 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 设函数的定义域集合为，值域集合为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将函数化为根式，即可得到其定义域，再结合幂函数的单调性即可求出其值域，进而即可得到答案． 【详解】由，则，解得，所以， 又是幂函数，且，即在上单调递减， 当时，；当时，，所以， 所以． 14. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B. 垂直于同一平面的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两条直线平行 D. 平行于同一平面的两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】将每个选项中的命题进行变换，结合空间中线面、面面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，将该选项中的命题变换为：过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行， 变换后的命题为真命题，A选项中的命题为“可换命题”； 对于B选项，将选项中的命题变换为：垂直于同一直线的两个平面平行， 根据线面垂直的性质定理可知变换后的命题为真命题，B选项中的命题为“可换命题”； 对于C选项，将选项中的命题变换为：平行于同一个平面的两个平面平行， 根据平面平行的传递性可知变换后的命题为真命题，C选项中的命题为“可换命题”； 对于D选项，平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，D选项中的命题为假命题，D选项不满足要求. 15. 对任意正整数n，定义n的双阶乘：当n为偶数时，；当n为奇数时，，则下列四个命题中错误的是（     ） A. 2026!!的个位数字为0 B. 2025!!的个位数字为5 C. 2025!!和2024!!和2025!不可构成等比数列 D. 有不止一个正整数n可以使得n!!，(n+1)!!，(n+2)!!构成等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】利用双阶乘中的因数，判断AB选项；由双阶乘的运算和等比数列的定义判断C选项；分类讨论求解构成等差数列时的值判断D选项. 【详解】对于A，中包含因数10，所以的个位数字为0，A选项正确； 对于B，中包含因数5，且因数均为奇数，所以的个位数字为5，B选项正确； 对于C，，， 所以有， 又，， 所以和和不可构成等比数列，C选项正确； 对于D，若构成等差数列，则有， 当n为正偶数：设， 则，，， 代入等差条件，得， 即， 由和都是奇数，则也是奇数，则， 而时，，等式不成立，此时无解； 当为正奇数：设， 则，，， 代入等差条件，得， 即， 为奇数，为偶数，则为偶数， 又时，，要成立， 则中只能有这一个偶数因数，否则等式两边约去后，左边为偶数右边为奇数，不成立， 则有，此时，等式成立. 因此，只有时构成等差数列，D选项错误. 16. 已知某个四棱柱为平行六面体，从一个顶点出发相邻的三个面的面积分别为a，b，c，则（ ） 命题①：若该四棱柱为直四棱柱，则它的体积为是直四棱柱为长方体的充要条件 命题②：若该四棱柱为斜四棱柱，则它的体积为是斜四棱柱为长方体的充要条件 A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】A 【解析】 【详解】设直四棱柱的底面平行四边形的相邻两边长分别为和，两边的夹角为，侧棱长为， 则底面面积为，两个相邻的侧面面积（因为是直四棱柱，侧面是矩形）为和， 此时，同时根据柱体体积公式可得直四棱柱的体积为， 前者等于后者的充要条件为即，故命题①正确； 斜四棱柱的侧棱不垂直于底面，因此不可能是长方体，则由前面的分析可知斜四棱柱的体积不可能是， 因此这是两个假命题互为充要条件，故命题②正确. 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． （1）写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； （2）记事件B为“所选取的实数a使得函数在上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 【答案】（1）样本空间；事件对应的集合， （2）是相互独立事件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据二次函数零点情况可得事件中参数的范围，利用列举法可得解； （2）根据二次函数单调性可确定事件中参数的范围，进而可确定事件对应的集合，再结合古典概型判断事件的独立性. 【小问1详解】 由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点” 所以事件对应的集合为， 则； 【小问2详解】 是相互独立事件， 若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为，， 则事件事件同时发生对应的集合， 则. 所以事件A和事件B是相互独立事件； 18. 如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2． （1）若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值； （2）若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】（1）根据外接圆面积求出，再由正弦定理计算即可； （2）根据外接圆半径为6，得出斜边，再由圆锥的体积公式与均值定理计算即可. 【小问1详解】 设挖去的三角形的外接圆半径，面积为， 直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径，面积为， 因为外接圆半径之比为1:2，所以，故， 计算得，又因为，故，根据正弦定理得： ； 【小问2详解】 直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，斜边， 设直角边为，满足， 若绕旋转：体积； 若绕旋转：体积； 若绕旋转：斜边上的高，体积； 因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时， 即几何图形体积的最小值的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形． （1）若E是PB上任意一点，四边形ABCD是菱形，，BD= 6，当面积的最小值是9时，求证：平面； （2）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．若四棱锥是阳马，PD=5，CD=4，AD=3，求：该阳马的外接球表面积； （3）若四棱锥是阳马，且，点可能为的中点，试确定点E位置使得四面体为鳖臑，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点是的中点. 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直判定定理得出平面，再结合面积的最小值得，最后再应用线面垂直判定定理证明； （2）先补形再应用长方体外接球性质计算求解； （3）应用线面垂直判定定理得出平面，再结合几何体特征得出平面，即可证明几何体形状. 【小问1详解】 因为四边形是菱形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且，平面，所以平面； 设与相交于点，连接，又由平面，平面， 所以，； 当面积最小时，最小，则， ，，解得：； 由且，，、平面， 则平面，又平面，则； 又由，则，而， 、平面，故平面. 【小问2详解】 把四棱锥放置在长方体中， 则长方体的外接球即为四棱锥的外接球， ，，， 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该阳马的外接球的表面积为． 【小问3详解】 点是的中点， 因为，所以， 又因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 由，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以， 所以四面体为鳖臑； 20. 定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为； 我们称椭圆的“交换椭圆”为； 我们称圆的“交换圆”为． （1）若双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，双曲线C过点，求：双曲线C的标准方程； （2）若过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，且一个球的表面积与“交换圆”面积相同，求：球的体积； （3）已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，设出双曲线C的方程，代入点坐标，求出，即可得答案. （2）根据导数的几何意义，求出切线l的方程，根据题意，可得圆中，设出圆的方程，根据点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系，求出半径r的值，进而可得球的半径，代入体积公式，即可得答案. （3）求出椭圆的方程与其“交换椭圆”的方程，设，根据矩形的性质，可得对称点Q的坐标，进而可得的表达式，根据直线平行直线，求出直线PN的方程，与椭圆W联立，根据韦达定理，可得N点坐标，根据弦长公式，可得表达式，进而可得面积S的表达式，根据椭圆W的参数方程，结合三角函数的性质，即可得证. 【小问1详解】 因为双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，所以， 设双曲线C的方程为， 代入点，得， 所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 对求导可得，设切点为， 则切线的斜率，又， 所以切线l的方程为， 代入点，得，则切线l的方程为，即， 因为“交换圆”是自己本身，所以， 设圆的方程为， 因为直线l与圆相切，所以， 则“交换圆”面积为， 设球的半径为R，则，解得， 所以球的体积为 【小问3详解】 由长轴为，可得，由离心率，得， 所以， 不妨设椭圆的焦点在x轴，则方程为， 则椭圆的“交换椭圆”方程为， 所以曲线的方程为， 因为矩形关于对称，设在椭圆W上， 则在“交换椭圆”上，则， 又直线平行直线，则直线PN的斜率为1， 所以直线PN的方程为，即， 联立，得， 所以，得， 所以， 所以面积， 因为点P在椭圆W上，所以， 令，为参数，， 因为，所以，解得， 不妨取第一象限部分，则， 代入可得 ， 因为，则， 所以当时，取得最大值为. 21. 定义：若函数满足在上的值域为（），则称为“根域同函数”． （1）试判断是否为“根域同函数”并说明理由； （2）若“根域同函数”为偶函数，求：的值域； （3）已知奇函数对任意均满足为“根域同函数”，幂函数是“根域同函数”的充要条件为点在上，求证：当时，的图象在下方． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设定义验证求解即可； （2）先根据为偶函数求得，再结合题设定义可得方程在上有两个不相等的实数根，进而得到，再结合对勾函数的性质求解即可； （3）根据题设定义及奇函数的性质可求得，结合幂函数的性质求得，进而分析求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 所以为“根域同函数”. 【小问2详解】 由为偶函数，则， 即，则，即， 所以，又为“根域同函数”， 则在上的值域为，且， 而函数在上单调递增， 则方程在上有两个不相等的实数根， 即方程在上有两个不相等的实数根，设， 则，解得，又，则， 所以函数在上单调递减， 又时，，， 则函数的值域为. 【小问3详解】 因为对任意均为“根域同函数”， 所以对任意，函数在上的值域为，且， 则函数为单调函数，又为奇函数，则. 因为为幂函数，设，而为“根域同函数”的充要条件为点在上， 若点在上，则； 若为“根域同函数”， 则在上的值域为，且，， 当时，函数在上单调递增， 则在上有两个不相等的实数根， 即在上有两个不相等的实数根，即， 此时，不满足题意； 当时，函数在上单调递减， 则，则，即， 此时，满足题意，则. 设，， 因为函数在和上均为增函数， 所以函数在和上为增函数， 因为，， 则时，，即， 此时的图象在下方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $