精品解析：重庆市第十一中学校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

重庆十一中教育集团2026-2027学年度上期九年级（上）半期考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线：的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，与位似，点是位似中心.已知，且的面积为16，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 嘉嘉在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（ ） A. 有一个内角是 B. 有一组邻边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 5. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 8. 已知二次函数图象的对称轴为直线，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（） A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤ 9. 如图，在正方形中，连接与交于点O，E为边上一点，连接交于点M，连接交于点N，且，则为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式M：，其中均为正整数，且．下列说法：①满足条件的所有整式M中没有单项式；②当时，满足条件的整式M有3个；③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有5个．其中正确的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如果，那么______． 12. 抛物线的顶点坐标为___________． 13. 四张写有不同诗句的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，背面朝上随机放在桌面，任意抽取两张，在不计顺序的情况下，恰能组成名篇名句的概率是______． 野火烧不尽 春风吹又生 大漠孤烟直 长河落日圆 14. 若、是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 15. 若三位数的各位数字均不为0，且，则称X为“祥瑞数”．对于一个“祥瑞数”X，将其首尾两位数字互换后得到一个新数Y，记．例如：满足，则，所以．最小的“祥瑞数”是______；若某个“祥瑞数”X对应的能被7整除，则符合条件的X的最大值是______． 16. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，线段与交于点，将四边形沿线段翻折，点，的对应点分别为、，且点落在线段上，且满足．则______，______． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17题、第18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出不等式组的整数解． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在右侧上方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是矩形． 20. 某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识竞赛．现从八、九年级中各随机抽取名同学的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用整数表示，共分为四个等级：等：、等：、等：、等：．其中等级为优秀，单位：分）八年级抽取的等学生人数是等学生人数的． 九年级抽取的等学生成绩为：，，，，，，，． 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，九年级抽取的等学生成绩下四分位数______，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有人，九年级有人，估计两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数是多少？ 21. 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． （3）【模型应用】 由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 22. 如图，平行四边形中，，，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿折线运动（含端点），到达点停止运动．过点作，交一边于点，并过点作垂直于直线于点．设点的运动时间为秒（），请解答下列问题： （1）直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的函数图像与一次函数的图像有两个交点时的取值范围． 23. 小明决定利用所学数学知识测量出人行横道上两根高度不一样的路灯和路灯． （1）如图1，当小明在路灯的左侧时，点处有一个水坑，小明通过水面刚好看到路灯的顶端点（视线经过水面反射），经测量，米，米，小明的视线高度米，求路灯的高度． （2）如图2，小明走到两路灯之间时，借助一根长度为米的竿子，竿子垂直立在点处，发现竿子的影子分别刚好到两路灯的底端点，点处（即此时，，共线，，，共线），求路灯的高度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于点和点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）点P是线段上方抛物线上的一动点，连，，点M、N是线段上两个动点，线段是直线上一条动线段，且，连接，，当的面积取得最大值时，求点P的坐标及此时的最小值． （3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到新的抛物线，点为点C的对应点，点E为点B与的中点，点K为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点K坐标． 25. 在中，，，点在的内部，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图1，当点在上时，延长交于点．若，求证：； （2）如图2，连接，，点恰好在上，延长交于点，点是的中点，连接，求证：； （3）如图3，连接，，，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆十一中教育集团2026-2027学年度上期九年级（上）半期考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线：的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、方程含有2个未知数，不是一元二次方程； B、方程分母含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程； C、方程只含1个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程； D、方程中未知数最高次数为1，不是一元二次方程． 2. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义，从上向下观察几何体，确定轮廓及内部可见棱的画法． 【详解】 解：从上向下观察该几何体， 该几何体的整体轮廓在水平面上的投影为长方形， 俯视图的外框为长方形， 几何体中间转折处的棱从上向下看是可见的， 长方形内部应画出一条实线， 观察各选项，C选项符合． 3. 如图所示，与位似，点是位似中心.已知，且的面积为16，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】∵与位似，点O为位似中心，且， ∴， ∵的面积为16， ∴的面积是1， 故选：A． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 4. 嘉嘉在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（ ） A. 有一个内角是 B. 有一组邻边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理． 根据平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定依次判断即可； 【详解】解：A、有一个内角是的平行四边形是矩形，故该转换条件填写正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故该转换条件填写错误，符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，对应边成比例，但是不是夹角相等，不能确定，符合题意． 选项，添加，对应边成比例，且，两边夹角也相等，确定，不符合题意． 6. 津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出高铁列车的平均速度，再根据预计乘坐高铁比自驾少用列出方程即可． 【详解】解：设自驾的平均速度为，则高铁列车的平均速度为 由题意，可列方程为． 7. 在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：a的值为； 故选：B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 8. 已知二次函数图象的对称轴为直线，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（） A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】①②需根据开口方向，对称轴及与y轴交点的有关知识来作答；③需根据图像可得当时，来作答；④根据开口向下的抛物线有最大值来作答；⑤根据当时，，作答． 【详解】解：∵抛物线开口向下，． ∵对称轴为直线， ∴，即． ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴．， ∴，故①错误． ∵， ∴． ∵， ∴，即，故②错误． ∵当时，， ∴，故③错误． 当时，函数有最大值， ∴，整理即可得；故④正确； ∵当时，，， ∴， 即．故⑤正确 综上可知，正确的是④⑤． 9. 如图，在正方形中，连接与交于点O，E为边上一点，连接交于点M，连接交于点N，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，，，，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，过点O作于点F，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 过点O作于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式M：，其中均为正整数，且．下列说法：①满足条件的所有整式M中没有单项式；②当时，满足条件的整式M有3个；③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有5个．其中正确的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】结合系数为正整数的条件枚举所有可能，利用判别式判断二次式的非负性，逐一验证三个说法. 【详解】解：①∵均为正整数， ∴，，， ∴整式至少含常数项与次项，共至少2项， ∴满足条件的所有整式中没有单项式，故①正确； ②当时，，且为正整数， 即把5拆分为4个正整数的和，仅存在一个数为2、其余为1的情况，共4种不同的分配方式，对应4个整式， 故②错误； ③二次三项式对应，则，为正整数， 要使取任意实数时恒成立，需， 枚举所有正整数解： 当时，， 时，，满足； 时，，满足； 时，，不满足； 当时，， 时，，满足； 时，，满足； 当时，， 时，，满足； 当时，，与为正整数矛盾， 综上，满足条件的多项式共个，故③正确. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据同分母分式的减法法则，将所求分式拆分 ， ∵， ∴代入计算得． 12. 抛物线的顶点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点式的顶点坐标为是解题的关键．根据二次函数的顶点式可直接得出图像的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴其图象的顶点坐标为， 故答案为：． 13. 四张写有不同诗句的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，背面朝上随机放在桌面，任意抽取两张，在不计顺序的情况下，恰能组成名篇名句的概率是______． 野火烧不尽 春风吹又生 大漠孤烟直 长河落日圆 【答案】 【解析】 【分析】把四张卡片分别记作、、、，把任意抽取两张看成不放回地先后各抽一张，用树状图列出所有等可能结果；再把先后顺序不同的同一对卡片归为一组，找出恰能组成名篇名句的组数，用符合条件的组数与所有等可能的组数之比求概率． 【详解】解：把四张卡片分别记作、、、． 上是野火烧不尽，上是春风吹又生，上是大漠孤烟直，上是长河落日圆． 把任意抽取两张看成不放回地先后各抽一张，画树状图（如图）． 树状图共有个末端，即所有等可能结果共种． 不计顺序时与是同一组，与是同一组，每组对应种结果． 故所有组合共组且等可能． 能组成名篇名句的是与、与，共组． 所以． 14. 若、是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由根与系数的关系，得 ， ∴． 15. 若三位数的各位数字均不为0，且，则称X为“祥瑞数”．对于一个“祥瑞数”X，将其首尾两位数字互换后得到一个新数Y，记．例如：满足，则，所以．最小的“祥瑞数”是______；若某个“祥瑞数”X对应的能被7整除，则符合条件的X的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“祥瑞数”的定义，找最小祥瑞数时优先让百位数字最小，结合数字和为18的条件确定其余数位；通过代数化简得到的表达式，结合整除条件确定十位数字，再优先让百位数字最大得到符合要求的最大； 【详解】解：①∵三位数为“祥瑞数”，均不为0，且， ∴要使最小，需百位数字尽可能小， ∵最小取1，此时， ∵均为1到9的整数，个位数字最大为9， ∴十位数字最小为，对应， ∴最小的“祥瑞数”为； ②∵，首尾互换得到的新数， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵能被7整除， ∴是7的倍数， ∵，， ∴， ∴需为7的倍数， ∵是1到9的整数，的取值范围是， ∴范围内满足是7的倍数的整数取值只有0，即， ∴， 此时， ∵要使最大，需百位数字尽可能大， ∵最大取9，此时，为1到9的整数，符合要求， ∴符合条件的最大为． 16. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，线段与交于点，将四边形沿线段翻折，点，的对应点分别为、，且点落在线段上，且满足．则______，______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再用定出点的位置；设、，过、分别作的垂线，用相似三角形把两条垂线段与上的线段用、表示，在两个直角三角形中用勾股定理列方程求出与；最后由得，按与之比求出，进而求． 【详解】解：在矩形中，，，． ∴． ∵． ∴． ∴． 设，由折叠可知． ∴． 过点作于点，过点作于点（如图）． ∵，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 设，由折叠可知． 在中，． ∵，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17题、第18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【答案】，整数解为0，1 【解析】 【分析】考查了一元一次不等式组的解法，分别解不等式，找出解集的公共部分即可． 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，进而写出不等式组的所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以，不等式组的解集为：， 所以，不等式组的最小整数解为0，1． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 19. 如图，在中，，D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在右侧上方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）解：作图如下， （2）证明：如图，连接， ∵，D为边上的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形. 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作图方法作，射线交的延长线于即可； （2）证明，，可得四边形是平行四边形，结合即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识竞赛．现从八、九年级中各随机抽取名同学的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用整数表示，共分为四个等级：等：、等：、等：、等：．其中等级为优秀，单位：分）八年级抽取的等学生人数是等学生人数的． 九年级抽取的等学生成绩为：，，，，，，，． 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，九年级抽取的等学生成绩下四分位数______，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级有人，九年级有人，估计两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1） ，， （2）九年级学生竞赛成绩更好，理由： ∵两个年级成绩的平均数都是分，九年级成绩的中位数分大于八年级成绩的中位数分， ∴九年级学生竞赛成绩更好； （3）260人 【解析】 【分析】（1）用九年级B等人数及其在扇形统计图中所占的百分比求出样本容量，再由八年级各等级人数之和与A、C等的人数关系确定A等、C等人数；把数据从小到大排列后定出中位数的位次，B等成绩的前一半给出下四分位数． （2）在两年级平均数相同的前提下，比较中位数、众数或优秀率，选一个能说明整体水平较高的量作答． （3）用样本中A等所占比例分别乘两个年级的总人数，再求和估计优秀总人数． 【小问1详解】 解：九年级B等有人，占抽取人数的，故． 八年级A等与C等共有（人）． A等人数是C等的，即A等占份、C等占份，共份． 每份（人），故A等人、C等人， 据此补全条形统计图（图略，见答案处图）． 九年级A等（人），B等人，C等与D等共（人）． B等个成绩从小到大为，，，，，，，． 把它们放回个成绩中，位次是第至第位，中位数是第个与第个成绩的平均数． 第个与第个成绩都是分，故． B等个成绩的前一半为，，，． 这四个数中间两个都是，故下四分位数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：八年级样本中A等有人，优秀率为． 九年级样本中A等占． 估计八年级优秀学生（人），九年级优秀学生（人）． 两个年级优秀学生共（人）． 21. 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． （3）【模型应用】 由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【答案】（1） 与的函数关系式为；当时，该充电站的收入为2000元 （2） 此时的值为20或100 （3） 符合条件的值为60． 理由如下： 设净收益为元， ， ， 该二次函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， 对称轴为直线， 当时净收益取得最大值， ， 解得． 【解析】 【分析】（1）因为收入y与充电汽车数量x成正比例关系，所以设函数关系式为，代入表格中任意一组x、y的对应值，求解比例系数k，再将代入所得函数式计算对应收入． （2）因为收支平衡时收入等于成本，所以令，将已得的y关于x的函数式和给定的w关于x的函数式联立，得到一元二次方程，求解该方程并结合x的实际意义确定符合条件的解． （3）先根据净收益=收入-成本，写出净收益关于x的二次函数表达式，因为二次函数在顶点处取得最值，所以结合已知的最值点横坐标，利用二次函数顶点横坐标公式建立关于m的方程，求解得到m的取值． 【小问1详解】  解：已知y与x成正比例关系，设（）， 代入表格中任意一组数据，比如， 得， 即． 验证其余表格数据均满足， ∴函数关系式为． 将代入， 得（元）． 【小问2详解】 解：收支平衡即收入等于成本，也就是， 代入两个函数关系式：   整理得一元二次方程：， ∴分解为， 解得，，两个解都符合实际意义． 【小问3详解】  略． 22. 如图，平行四边形中，，，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿折线运动（含端点），到达点停止运动．过点作，交一边于点，并过点作垂直于直线于点．设点的运动时间为秒（），请解答下列问题： （1）直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的函数图像与一次函数的图像有两个交点时的取值范围． 【答案】（1）当时，；当时，； （2）图象为由到、再由到的两条线段 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】（1）把动点的两段行程分开，用等腰三角形的性质与勾股定理把、化成含的式子，再分段写出关系式； （2）在给出的网格中描出两端点与最低点并依次连线，由两段式子中一次项系数的符号说出增减性； （3）把含参直线写成过定点的形式，找出它经过折线最低点与右端点的两个临界位置，由图象读出的范围并核对端点能否取到． 【小问1详解】 解：取的中点，连接，过作于（如图）． 由与为的中点，得，． 由勾股定理得． 由、知四边形为平行四边形，故，与之间的距离为． 由得，． 由得，故． 记； 当时， 当时． 点、到的距离都是． 故以为底、或为顶点的三角形面积为． 由得，同高三角形面积之比等于底边之比． 故以为底、为顶点的三角形面积为． 该面积又等于． 故． 在中，，由勾股定理得． 两边乘得． 故． ∵、、， ∴四边形为矩形， ∴，． 在与中，，，． ∴， ∴． 点在、之间，故． 于是． 当时，，故． 当时，，故． 自变量的取值范围是． 【小问2详解】 解：当时，． 当时，． 图象经过、、，依次连结即得所求图象． 当时，，随的增大而减小． 当时，，随的增大而增大． 图略（见答案处图形）（如图）． 【小问3详解】 解：，取得，故图象恒过点． 直线经过折线最低点时，，得． 此时两支的交点重合于最低点，只有一个交点． 直线经过右端点时，，得． 此时一个交点恰为右端点，两个交点都成立． 直线经过左端点时，，得． 决定范围两端的两条直线都过定点，且分别经过与（如图）． 由图象知，当或时，直线与图象至多只有一个交点． 当由增到时，两支各有一个交点． 故两个交点同时成立时． 【点睛】分段函数的关键是用等腰三角形与勾股定理求出点到的距离，再由矩形与全等把化成的两倍，把两条动线段并成一条；讨论含参直线的交点个数时，抓住它恒过的定点，用经过折线最低点与右端点这两个临界位置定界，并单独检验端点． 23. 小明决定利用所学数学知识测量出人行横道上两根高度不一样的路灯和路灯． （1）如图1，当小明在路灯的左侧时，点处有一个水坑，小明通过水面刚好看到路灯的顶端点（视线经过水面反射），经测量，米，米，小明的视线高度米，求路灯的高度． （2）如图2，小明走到两路灯之间时，借助一根长度为米的竿子，竿子垂直立在点处，发现竿子的影子分别刚好到两路灯的底端点，点处（即此时，，共线，，，共线），求路灯的高度． 【答案】（1）路灯的高度为米 （2）路灯的高度为米 【解析】 【分析】（1）证明， 根据相似三角形的性质列式计算即可； （2）证明， 得到，证明， 根据相似三角形的性质列式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴，即， 解得． 即路灯的高度为米． 【小问2详解】 解：由题意得， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 即路灯的高度为米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于点和点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）点P是线段上方抛物线上的一动点，连，，点M、N是线段上两个动点，线段是直线上一条动线段，且，连接，，当的面积取得最大值时，求点P的坐标及此时的最小值． （3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到新的抛物线，点为点C的对应点，点E为点B与的中点，点K为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点K坐标． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，过作轴的平行线交于，求解直线为，设，则，由二次函数性质可得当时，最大，可得，如图，作平行四边形，作点关于直线的对称点，连接，与交于点，则，，，，，，过作轴于，，当共线时，最小，再进一步求解即可. （3）求解抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，，，如图，在轴上取点，且，即抛物线与轴的交点为, 过作轴于，求解，作，与轴的交点为，则，此时，，，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线，与x轴交于点和点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点． ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过作轴的平行线交于， 设直线为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∴， ∵， 当时，最大， ∴， ∵且在直线的图象上，记图象与轴的交点为， ∴， ∴， ∴点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， 如图，作平行四边形，作点关于直线的对称点，连接，与交于点，则，，，，，，过作轴于， ∴即， ∴， 当共线时，最小， 同理可得：， ∵， ∴， 而， ∴， ∴此时，即， 由中点坐标可得：， ∴， ∴的最小值为. 【小问3详解】 解：∵，， 同理可得直线为， 将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到新的抛物线， 同理可得：抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线， ∴，， ∵点E为点B与的中点， ∴， 如图，在轴上取点，且，记抛物线与轴的交点为, 过作轴于， 同理可得：，，， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 作，与轴的交点为，则， 此时，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可得直线为， 令， 解得：或（舍去）， ∴， 作关于直线成轴对称的，则， ，， ∴， 同理直线为， 令， 解得：或（舍去）， ∴， 综上：或. 25. 在中，，，点在的内部，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图1，当点在上时，延长交于点．若，求证：； （2）如图2，连接，，点恰好在上，延长交于点，点是的中点，连接，求证：； （3）如图3，连接，，，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 【答案】（1）证明：∵，． ∴是等腰直角三角形，． ∵点、、在同一条直线上． ∴． 由图中位置，点在线段上，设． ∵． ∴，． ∵，． ∴，． ∵，． ∴． ∴ （2）证明：过作，交的延长线于，过作于（如图） ∵，点在线段上． ∴，． ∵，，． ∴， ∴，． ∵，，． ∴，． ∵，． ∴， ∴，． ∵，． ∴，，． ∵，，． ∴，． ∴． ∵，． ∴． ∴，． ∵． ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转得到等腰直角三角形，把角转入，再用角边角证与全等； （2）由点在线段上得，过、分别作的垂线构造三处相似，把、、都化到与上； （3）用直角三角形斜边中线定出的长，由三边关系确定最短时、、的位置，再用面积法与勾股把化成与点到的距离有关的式子． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：取的中点，连接、，过作于（如图） ∵． ∴，，、、三点共线． 由顺时针旋转的方向，点在线段上． ∴． ∵． ∴． ∵是直角三角形，为斜边的中点． ∴． ∵． ∴，． ∵． ∴． 等号成立时点、、共线，点在线段上． 此时，，． ∴． ∵． ∵． ∵． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $