数学一模模拟·一轮巩固卷02（江苏专用）学易金卷：2027年高考第一次模拟考试

2027年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，， 所以. 2．样本数据5，5，6，7，7，8，9，10的第75百分位数为（    ） A．9 B．8.5 C．8 D．7.5 【答案】B 【解析】因为样本数据个数为8，，6为整数， 所以第75百分位数为第6个数与第7个数的平均数，即. 3．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以. 4．已知等差数列满足，且，则（   ） A．15 B．10 C．2 D．-3 【答案】A 【解析】设公差为，由，则，得，. 故选：A. 5．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】已知双曲线的渐近线方程为，且，所以，得. ，所以双曲线的离心率为. 故选B 6．已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为， 若，则，可得，解得或， 又因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 7．已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，这是该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底面分别相切于点，则, 因为与分别为的平分线， 因此，从而， 故，所以，又因为，所以，故， 故圆台的高为，故圆台的体积为. 8．对于非空集合，记，集合A中整数的个数为s，则（    ） A．当l确定时，s唯一确定 B．s和l具有函数关系 C．s和l具有函数关系 D．s和l不具有函数关系 【答案】D 【解析】选项A：取，构造两个符合条件的闭区间：区间， 区间内整数为0、1，故； 区间，区间内整数为1，故， 可见确定时，的取值不唯一，因此A错误； 分析选项B：由上述例子，同一对应和两个不同值， 不满足“任意对应唯一”的函数要求， 因此与不构成的函数关系，B错误； 分析选项C：取，构造两个符合条件的闭区间：区间， 区间内整数为0、1，故，此时； 区间，区间内整数为1、2，故，此时， 可见确定时，的取值不唯一，不满足“任意对应唯一”的函数要求， 因此与不构成的函数关系，C错误； 综上，与之间无论以哪一个为自变量，均不满足函数的定义， 因此两者不具有函数关系，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且是奇函数，则（    ） A． B．在区间上的最大值为-3 C． D．在区间上的最大值为 【答案】AD 【解析】因为函数的最小正周期为 ，所以， ，因为将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以，因为是奇函数， 所以，因为 ，所以， 即，故选项A正确，C错误， 所以，当 时， ， 所以的最大值为：，因此选项D正确，B错误. 故选：AD 10．已知过原点的一条直线与函数的图象交于两点，分别过点作轴的平行线与函数的的图象交于两点，则（    ） A．点和原点在同一条直线上 B．点和原点在同一条直线上 C．当平行于轴时，则点的横坐标为 D．当平行于轴时，则点的纵坐标为 【答案】BC 【解析】设，且，且，不妨设， 则由题意得. 选项A，由题意知，三点共线，轴， 且在函数的图象上，而在函数的图象上， 可知点不在直线上，即A项错误； 选项B，由三点共线可知，， 则由对数运算性质得， 则有， 所以，即三点共线，故B项正确； 选项C，当平行于轴时，则， 化简得， 则，代入，得， 化简得，又，解得， 代入得，点的纵坐标， 故C项正确，D项错误. 故选：BC. 11．已知正四面体的棱长为，平面内的点满足．设点到侧棱，，的距离分别为，，．则（    ） A．平面 B．该正四面体外接球的表面积为 C．满足的点有且仅有个 D． 【答案】BCD 【解析】设为的中心.由正四面体的性质，平面. ，. 以为原点，方向为轴正方向，在平面内建立轴，方向为轴正方向， 则，，，. 设，则，即. 对于A，，而平面，故不垂直于平面.故A错误； 对于B，由对称性，外接球球心在直线上.设， 则，，所以，解得. 所以，则该正四面体外接球的表面积为，故B正确； 对于C，由，，， 则，. 由得，则. 又，所以. 所以，联立，得或，故C正确； 对于D，， 因为， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________. 【答案】135 【解析】因为二项式的展开式中，各项的系数之和为512，所以令，得，解得.又因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为. 故答案为：135. 13．已知函数，若曲线在点处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】因为，所以， 且，， 所以在点处的切线方程为：，即. 问题转化为方程，即无解. 设，，则， 由；由， 所以在上单调递减，在上单调递增. 且， 所以， 所以. 14．已知正八面体的棱长为1．设点到的各顶点的距离相等，直线经过的一个顶点及点．将绕着旋转得到几何体，则与重合部分的体积为___________． 【答案】 【解析】设正八面体的中心为原点，旋转轴为轴， 设中心到顶点的距离为，相邻两顶点如与之间的距离就是棱长1，故， 六个顶点为、、，于是， 对满足的任意高度，记， 则在该高度上的截面为，是一个对角线落在坐标轴上的正方形，对角线长为. 把截面内的点绕轴旋转，得、，令其满足，即， 利用恒等式，化简得，这是一个边平行于坐标轴的正方形，边长为. 两个截面正方形的中心重合，半对角线都等于（旋转后正方形的半对角线为），即二者同外接圆、边长相等、相对旋转45°. 截面 不等式 形状 关键尺寸 的截面 对角线在坐标轴上的正方形 对角线，半对角线 Ω ′ 的截面 边平行于坐标轴的正方形 边长，半对角线 公共部分为正八边形，利用四个象限对称，只算第一象限再乘4，第一象限内的约束为， 即从边长为的正方形中截去一个等腰直角三角形， 小正方形面积为，截去三角形的直角边长为，截去三角形面积：， 于是第一象限的公共面积为，整个截面上的公共面积为， 关于是二次函数，且在处取最大值，这说明公共几何体是由处截面作底面、顶点在的上下两个四棱锥拼成， 底面面积（时），， 每个棱锥的高，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在三角形ABC中，． (1)求； (2)，，求AB的长及三角形ABC面积． 【解析】（1）因为，则， 故，得，即， 结合，得. （2）由，，得. 由正弦定理得，即，解得， 所以，解得，则. 又， 由正弦定理得，解得. 所以三角形的面积为 . 16．（15分） 一个不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出2个球（不放回），若这2个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出1个球，摸球结束；若这2个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量表示摸出的红球数． (1)求先摸出的2个球的颜色不同的概率； (2)求的分布列及数学期望． 【解析】（1）记事件为先摸出的两个球颜色不同，则． （2）的所有可能取值为0，1，2， 时，前两个均为白球，第三个仍为白球，故， 时，前两个颜色不同，或前两个均为白球，第三个为红球，两种情况互斥， 故， 时，前两个均为红球，第三个只能为白球，故， 因此的分布列为 0 1 2 ． 17．（15分） 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线与交于点（异于点），与轴交于点． (1)若直线的斜率为2，求； (2)若点满足，且的面积为1，求直线的方程． 【解析】（1）由点在抛物线上，则，解得， 所以抛物线方程， 又因为直线的斜率为2，所以的方程为， 联立方程，解得或，则， 所以. （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为：，所以， 联立，可得， 则，即， 且，而，则， 因为，所以， 即，所以， 则， 即；或此方程无解； 解得（舍去）或， 所以直线的方程为． 18．（17分） 如图，四边形是边长为2的正方形，四边形是梯形，，，是上的点，且，平面平面． (1)证明：，，，四点共面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为四边形是正方形，所以， 又因为，，， 所以四边形是正方形，所以，所以， 所以，，，四点共面 （2）（i）因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为，所以平面，同理可得平面， 因为平面，平面，所以，， 所以和都是直角三角形，所以的中点就是球心， 以为坐标原点，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以点到平面的距离为. （ii）当三点共线时，球面上点到点的距离最小， 因为，所以球的半径， 分别取中点， 则， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 由（i）知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（17分） 设函数的定义域为，，若存在集合的真子集，使得，则称函数具有性质，且为的一个“代表集”． (1)判断函数，和，是否具有性质（无需说明理由）．若具有性质，直接写出它的一个“代表集”； (2)设，函数的定义域，且．若函数具有性质，求实数的取值范围； (3)设函数的定义域，是定义在上的严格减函数且，集合．若，证明：函数具有性质，且对的任意“代表集”，都有． 【解析】（1）函数，不具有性质，理由如下： 因为，对任意恒成立， 所以在上是严格递增函数，且， 因此，对任意，都有， 若存在集合的真子集，则， 则函数不具有性质； 函数，具有性质，是它的一个“代表集”，理由如下： 因为， 取集合的真子集，则， 满足题目的定义，因此具有性质，是它的一个“代表集”. （2）函数的定义域，且要使具有性质，则为非单调函数， 当第一段内部不单调时：需满足，解得； 当两段之间有相同函数值时因为时，； 需满足，存在，使得； 当时，在上单调递减，值域为，需与有交集，即，解得； 当时，在上单调递增，值域为，需与有交集，即，可知无解； 综上，实数的取值范围为； （3）记，则集合， 由是定义在上的严格减函数且， 当时，；当时，； 故等价于下列两种情形之一， 情形一：且，即且，解得，也就是. 情形二：且，即且，等价于，由于，所以情形二无解， 所以. 由及区间包含关系得 结合题设条件，可知集合与是同一个集合. 于是对任意，有 这一等价关系是双向的：的大小顺序与的大小顺序完全一致， 由基本不等式得，当且仅当，即等号成立， 另一方面，对任意有 又因为在上严格递增，故在上递减、在上递增， 于是是在上的最小值，且是唯一取到该最小值的点；是最大值， 所以当时，必有， 事实上，由立得， 若，则把点对代入等价关系，由应当得到，这与矛盾，故， 特别地，对任意都有，从而，即是在上唯一取到的最小值， 取，它是定义域的真子集， 对任意：若，取；若，取，此时，仍有，无论哪种情形，都有且， 由等价关系的双向性，时与同时成立， 故，这说明中的每个函数值都能在上取到，即， 因此是的一个“代表集”，函数具有性质， 假设存在的“代表集”，满足， 则对任意都有，由，于是 另一方面，，故； 又因为是“代表集”，应有， 所以必须属于，矛盾， 故假设不成立，即对的任意“代表集”，都有. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 口 3[AJ[B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) B M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2027年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B A B A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．135 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）因为，则， 故，得，即， 结合，得.（6分） （2）由，，得. 由正弦定理得，即，解得， 所以，解得，则. 又， 由正弦定理得，解得. 所以三角形的面积为 .（13分） 16．【解析】（1）记事件为先摸出的两个球颜色不同，则．（6分） （2）的所有可能取值为0，1，2， 时，前两个均为白球，第三个仍为白球，故， 时，前两个颜色不同，或前两个均为白球，第三个为红球，两种情况互斥， 故，（10分） 时，前两个均为红球，第三个只能为白球，故， 因此的分布列为 0 1 2 ．（15分） 17．【解析】（1）由点在抛物线上，则，解得， 所以抛物线方程， 又因为直线的斜率为2，所以的方程为， 联立方程，解得或，则， 所以.（5分） （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为：，所以， 联立，可得，（8分） 则，即， 且，而，则， 因为，所以， 即，所以， 则，（13分） 即；或此方程无解； 解得（舍去）或， 所以直线的方程为．（15分） 18．【解析】（1）因为四边形是正方形，所以， 又因为，，， 所以四边形是正方形，所以，所以， 所以，，，四点共面 （4分） （2）（i）因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为，所以平面，同理可得平面， 因为平面，平面，所以，， 所以和都是直角三角形，所以的中点就是球心， 以为坐标原点，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以点到平面的距离为.（10分） （ii）当三点共线时，球面上点到点的距离最小， 因为，所以球的半径， 分别取中点， 则， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 由（i）知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.（17分） 19．【解析】（1）函数，不具有性质，理由如下： 因为，对任意恒成立， 所以在上是严格递增函数，且， 因此，对任意，都有， 若存在集合的真子集，则， 则函数不具有性质； 函数，具有性质，是它的一个“代表集”，理由如下： 因为， 取集合的真子集，则， 满足题目的定义，因此具有性质，是它的一个“代表集”.（4分） （2）函数的定义域，且要使具有性质，则为非单调函数， 当第一段内部不单调时：需满足，解得； 当两段之间有相同函数值时因为时，； 需满足，存在，使得； 当时，在上单调递减，值域为，需与有交集，即，解得； 当时，在上单调递增，值域为，需与有交集，即，可知无解； 综上，实数的取值范围为；（8分） （3）记，则集合， 由是定义在上的严格减函数且， 当时，；当时，； 故等价于下列两种情形之一， 情形一：且，即且，解得，也就是. 情形二：且，即且，等价于，由于，所以情形二无解， 所以. 由及区间包含关系得 结合题设条件，可知集合与是同一个集合. 于是对任意，有 这一等价关系是双向的：的大小顺序与的大小顺序完全一致， 由基本不等式得，当且仅当，即等号成立， 另一方面，对任意有 又因为在上严格递增，故在上递减、在上递增， 于是是在上的最小值，且是唯一取到该最小值的点；是最大值， 所以当时，必有， 事实上，由立得， 若，则把点对代入等价关系，由应当得到，这与矛盾，故， 特别地，对任意都有，从而，即是在上唯一取到的最小值， 取，它是定义域的真子集， 对任意：若，取；若，取，此时，仍有，无论哪种情形，都有且， 由等价关系的双向性，时与同时成立， 故，这说明中的每个函数值都能在上取到，即， 因此是的一个“代表集”，函数具有性质， 假设存在的“代表集”，满足， 则对任意都有，由，于是 另一方面，，故； 又因为是“代表集”，应有， 所以必须属于，矛盾， 故假设不成立，即对的任意“代表集”，都有.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2027年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．样本数据5，5，6，7，7，8，9，10的第75百分位数为（    ） A．9 B．8.5 C．8 D．7.5 3．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知等差数列满足，且，则（   ） A．15 B．10 C．2 D．-3 5．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 6．已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 8．对于非空集合，记，集合A中整数的个数为s，则（    ） A．当l确定时，s唯一确定 B．s和l具有函数关系 C．s和l具有函数关系 D．s和l不具有函数关系 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且是奇函数，则（    ） A． B．在区间上的最大值为-3 C． D．在区间上的最大值为 10．已知过原点的一条直线与函数的图象交于两点，分别过点作轴的平行线与函数的的图象交于两点，则（    ） A．点和原点在同一条直线上 B．点和原点在同一条直线上 C．当平行于轴时，则点的横坐标为 D．当平行于轴时，则点的纵坐标为 11．已知正四面体的棱长为，平面内的点满足．设点到侧棱，，的距离分别为，，．则（    ） A．平面 B．该正四面体外接球的表面积为 C．满足的点有且仅有个 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________. 13．已知函数，若曲线在点处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为______． 14．已知正八面体的棱长为1．设点到的各顶点的距离相等，直线经过的一个顶点及点．将绕着旋转得到几何体，则与重合部分的体积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在三角形ABC中，． (1)求； (2)，，求AB的长及三角形ABC面积． 16．（15分） 一个不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出2个球（不放回），若这2个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出1个球，摸球结束；若这2个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量表示摸出的红球数． (1)求先摸出的2个球的颜色不同的概率； (2)求的分布列及数学期望． 17．（15分） 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线与交于点（异于点），与轴交于点． (1)若直线的斜率为2，求； (2)若点满足，且的面积为1，求直线的方程． 18．（17分） 如图，四边形是边长为2的正方形，四边形是梯形，，，是上的点，且，平面平面． (1)证明：，，，四点共面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分） 设函数的定义域为，，若存在集合的真子集，使得，则称函数具有性质，且为的一个“代表集”． (1)判断函数，和，是否具有性质（无需说明理由）．若具有性质，直接写出它的一个“代表集”； (2)设，函数的定义域，且．若函数具有性质，求实数的取值范围； (3)设函数的定义域，是定义在上的严格减函数且，集合．若，证明：函数具有性质，且对的任意“代表集”，都有． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．样本数据5，5，6，7，7，8，9，10的第75百分位数为（    ） A．9 B．8.5 C．8 D．7.5 3．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知等差数列满足，且，则（   ） A．15 B．10 C．2 D．-3 5．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 6．已知向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 8．对于非空集合，记，集合A中整数的个数为s，则（    ） A．当l确定时，s唯一确定 B．s和l具有函数关系 C．s和l具有函数关系 D．s和l不具有函数关系 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且是奇函数，则（    ） A． B．在区间上的最大值为-3 C． D．在区间上的最大值为 10．已知过原点的一条直线与函数的图象交于两点，分别过点作轴的平行线与函数的的图象交于两点，则（    ） A．点和原点在同一条直线上 B．点和原点在同一条直线上 C．当平行于轴时，则点的横坐标为 D．当平行于轴时，则点的纵坐标为 11．已知正四面体的棱长为，平面内的点满足．设点到侧棱，，的距离分别为，，．则（    ） A．平面 B．该正四面体外接球的表面积为 C．满足的点有且仅有个 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________. 13．已知函数，若曲线在点处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为______． 14．已知正八面体的棱长为1．设点到的各顶点的距离相等，直线经过的一个顶点及点．将绕着旋转得到几何体，则与重合部分的体积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在三角形ABC中，． (1)求； (2)，，求AB的长及三角形ABC面积． 16．（15分） 一个不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出2个球（不放回），若这2个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出1个球，摸球结束；若这2个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量表示摸出的红球数． (1)求先摸出的2个球的颜色不同的概率； (2)求的分布列及数学期望． 17．（15分） 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线与交于点（异于点），与轴交于点． (1)若直线的斜率为2，求； (2)若点满足，且的面积为1，求直线的方程． 18．（17分） 如图，四边形是边长为2的正方形，四边形是梯形，，，是上的点，且，平面平面． (1)证明：，，，四点共面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分） 设函数的定义域为，，若存在集合的真子集，使得，则称函数具有性质，且为的一个“代表集”． (1)判断函数，和，是否具有性质（无需说明理由）．若具有性质，直接写出它的一个“代表集”； (2)设，函数的定义域，且．若函数具有性质，求实数的取值范围； (3)设函数的定义域，是定义在上的严格减函数且，集合．若，证明：函数具有性质，且对的任意“代表集”，都有． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $