精品解析：江苏省南通市如皋市2026-2027学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题

2026-2027学年度高三年级第一学期教学质量调研（一） 数学试题 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式解得，则， 不等式解得，则， 所以. 2. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，则. ，，，解得； ，则. 3. 已知，，其中．若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，则有， 由，有，即，故， 得，又，所以. 4. 某5个数据的样本平均数为8，方差为6．现增加一个数据8，则这6个数的方差为（ ）． A. 2 B. 5 C. 6 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算公式代入计算即可． 【详解】因为5个数据的样本平均数为8，则这5个数据总和为40，增加数据8之后，总和为48， 故6个数的平均数为8； 设这5个数为，则方差为， 增加一个数之后，方差变为． 5. 已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出正切函数及正弦函数的对称中心，根据题意求解即可. 【详解】正切函数的对称中心为，. 正弦函数的对称中心为，. 因为正切函数与函数对称中心完全相同，所以. 6. 在正四棱柱中，为一条侧棱，集合，则中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】通过建系赋值计算向量数量积进而即得. 【详解】设底面正方形边长为，侧棱长为，如图以为原点建立空间直角坐标系， 则，. 是上底面四个顶点，四个向量： ， ， ， ， 四个数量积的值全部相等，根据集合元素互异性，集合只有1个元素. 7. 已知，且，则的最小值为（ ）． A. 2 B. 4 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【详解】，； ，，. ； 当且仅当时，得，即，时等号成立； 的最小值为8. 8. 已知函数，过点作曲线的两条切线，切点为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数结合题意可得是关于的方程的两个根，根据结合韦达定理利用向量数量积的关系建立方程计算即可求解. 【详解】由题意设切点为，则， 因为， 则，化简可得， 则是关于的方程的两个根， 所以， 因为，所以，即 化简可得， 将代入化简可得，解得或， 因为，所以. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件，满足，，，则（ ）． A. 事件A与B对立 B. C. 事件A与B相互独立 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】由得， 又，即， 所以， 又，所以，解得， ，所以B正确； 对于A选项，因为，所以事件不互斥， 且，所以事件A与B不对立，A错误； 对于C选项，，， ，所以事件A与B不相互独立，C错误； 对于D选项，，D正确. 10. 已知，若，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】求，分析的单调性，求出的最值，从而得到函数与的大致图象．对于A，由数形结合即可判断；对于B，根据，再由数形结合即可判断；对于C，构造，求，分析的单调性得到，从而得到，进而根据基本不等式即可判断；对于D，先令，，构造，求，分析的单调性，再构造，求，分析的单调性得到，进而得到即可判断． 【详解】由，，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以；当时，；当时，． 又，所以函数与的大致图象如下： 对于A，由，且，即函数与有两个不同的交点， 由数形结合，所以，故A正确； 对于B，由，且，由数形结合，所以，故B正确； 对于C，设，， 则， 又，则，，则，即在上单调递增， 所以，即，， 又数形结合知，即， 又，即， 由，，且在上单调递减，所以，即， 所以，（由，即等号取不到），所以成立，故C正确； 对于D，由数形结合知，令，，则，且，， 又，即， 令，，则，且， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 令，， 则， 又，则是开口向下，且对称轴为的二次函数，所以，即， 所以，则在单调递增，即，即，， 又，则，又，则， 由，，且在上单调递减，则，即，即，故D错误． 11. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（ ）． A. B. C. b的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题可通过对已知等式变形结合余弦定理求出角，再利用正弦定理、锐角三角形的内角约束推导各选项相关结论，逐一验证选项正误. 【详解】将已知等式变形为， 由余弦定理， 又因是锐角三角形，，故A正确； 由正弦定理，可得 ,故B正确； 依题意，可得 ,解得. 由正弦定理得， 因可得，则 ,故C错误； 由正弦定理得， 即 则， 由，得，因此，则，故D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是两个单位向量，，，若，则，的夹角为________________________． 【答案】 【解析】 【详解】由，即，所以， 即，即， 又，是两个单位向量，则， 设，的夹角为，， 则，解得， 所以，的夹角为． 13. 在四棱锥中，底面为正方形，面面，且，则异面直线与所成角的余弦值为________________________． 【答案】 【解析】 【详解】取的中点，连结，由于，所以； 又面面，面面且面，所以面. 取中点，连结，则 所以以为原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，建立空间直角坐标系， 则 所以； 设异面直线与所成角为， 则. 14. 若，，则实数的最大值为________________________． 【答案】3 【解析】 【分析】讨论函数恒成立时，即函数的最小值大于0时，的取值范围，得到实数的最大值． 【详解】因为时，，则， 令，则，； 令，由，可知，令， 则，故在上单调递减， 又因为在上单调递减，故在上单调递增， 则； 当时，即时，恒成立，则在上单调递增， 则，即，可得， 故满足题意； 当时，即时，恒成立， 则在上必然存在，使得 当时，，单调递减，此时，不合题意，故舍去； 综上满足题意，故实数的最大值为3． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，求的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理以及余弦定理化简即可. （2）利用余弦定理和基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 由，根据正弦定理，得 ． 根据余弦定理，得．所以． 因为，所以． 【小问2详解】 由，根据余弦定理，得， 所以，当且仅当时取等号． 所以，所以． 所以的最大值为． 16. 已知为坐标原点，，． （1）求证：； （2）若为的重心，其中，，，，求的面积． 【答案】（1）因为，，所以，． 设，的夹角为，则， 可得． 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）已知三点坐标，则可以求出三边长度及对应向量，由向量数量积公式可以求出夹角余弦值，从而算出正弦值，利用面积公式计算即可证明； （2）结合（1），取的中点，结合三角形重心特点计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，因为为的重心， 所以，所以． 因为，，， 所以，所以， 所以，解得 ． 所以，所以， 同理，所以． 17. 如图，在正三棱柱中，为线段上一点． （1）若为线段的中点，证明：平面； （2）若，为线段上一点，且． （i）是否存在点，使得平面．若存在，求；若不存在，请说明理由； （ii）在（i）的条件下，求二面角的正切值． 【答案】（1）连结交于点，连结． 因为为正三棱柱， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为为线段的中点， 所以． 在中，，， 所以． 因为平面，平面， 所以平面 （2）（i）存在，；（ii）． 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线性质得，再结合线面平行的判定定理证明即可； （2）（i）根据三角形性质结合线面平行的判定定理即可求解；（ii）方法一：根据二面角的定义作出二面角的平面角，根据边角关系计算求解；方法二：建立空间直角坐标系，根据面面角空间向量法计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）存在点，当时，平面 在平行四边形中，，， 所以． 在中，， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （ii）方法一：在中，分别过，作，垂直于，垂足分别为，．在平行四边形中，过作垂直于，垂足为，连结． 在正中，，， ，， 所以，，． 因为为正三棱柱， 所以平面． 因为平面， 所以． 因为，平面，平面，， 所以平面． 因为平面， 所以． 因为，平面，平面，， 所以平面． 因为平面， 所以， 所以为二面角的平面角． 在矩形中，． 在中，． 所以二面角的正切值为． 方法二：在中，过作交于．在平行四边形中，过作交于． 在正三棱柱中， 因为平面，平面， 所以，． 因为， 所以，． 故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，． 因为平面即平面， 所以平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为． 设二面角的平面角为， 则， 所以， 所以． 二面角的正切值为． 18. 强基计划为基础学科招生改革试点，用于选拔有志于服务国家重大战略需求、综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．某高校参加强基计划选拔需依次参加笔试和面试，笔试环节包含数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目，且每门考试科目是否通过相互独立，全部通过才可参加面试；面试每10人分为一组，每组选拔通过2人． （1）若学生甲已通过全部笔试科目，求甲面试选拔通过的概率； （2）已知学生甲通过数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目的概率分别为，，，其中，．记学生甲在笔试环节中通过的科目数为X． （i）若，当为何值时，甲通过笔试的概率最大； （ii）若，，求． 【答案】（1） （2）（i）当时，甲通过笔试的概率最大；（ii）. 【解析】 【分析】（1）10人选2人，为古典概型，甲被选中的概率就是入选人数除以总人数. （2）（i）甲通过笔试需要三门全部通过，概率为，已知，利用均值不等式可得出，转化为只含的函数，利用导数求出定义域内函数最大值，此时的取值即为所求. （ii）已知，，通过的科目数为X，X可以取0，1，2，3，求出，，，，则由即可求解. 【小问1详解】 （1）记“甲面试选拔通过”为事件A，则． 所以甲面试选拔通过的概率为． 【小问2详解】 （i）因为， 所以，当且仅当时取等号． 令， 则． 令，，则． 列表： + 0 − 单调递增 极大值 单调递减 在的函数值大于0，此时为增函数， 在的函数值小于0，此时为减函数， 时，为极值点，也是最大值点，所以当时，甲通过笔试的概率最大. （ii）记学生甲未通过数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目的概率分别为，，， X可能值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以： ， 所以． 19. 已知，曲线在点处切线的倾斜角为． （1）若， （i）求； （ii）当时，证明：； （2）当时，，求整数的最小值． 【答案】（1）（i） （ii）若，则， 当时，． 当时，令， 则． 设，则，， 根据零点存在定理，． 当 时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以，所以当时，单调递增． 因为，所以当时，． （2）3 【解析】 【分析】（1）（i）求导，根据导数的几何意义及斜率与倾斜角的关系计算求解；（ii）求导，当时，，当时，令，求导，根据隐零点计算可得，进而计算可证； （2）由题意可得在区间上恒成立，方法一：由结合（1）（ii）计算可解；方法二：分离参数，根据导数与单调性的关系计算求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以． （i）若，则． 因为， 所以． （ii）略 【小问2详解】 方法一：当时，，所以， 即． 当时，， 所以．因为为整数，所以． 由（ii）得，时，． 所以整数的最小值为3． 方法二：当时，恒成立． 所以． 令， 因为，令 ， 所以在上单调递减． 因为， ， 所以存在使，即． 所以在上单调递增，上单调递减． 所以当时，取得最大值， ． 所以． 所以整数a的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三年级第一学期教学质量调研（一） 数学试题 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知，，其中．若，则（ ）． A. B. C. D. 4. 某5个数据的样本平均数为8，方差为6．现增加一个数据8，则这6个数的方差为（ ）． A. 2 B. 5 C. 6 D. 30 5. 已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 在正四棱柱中，为一条侧棱，集合，则中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，且，则的最小值为（ ）． A. 2 B. 4 C. 8 D. 8. 已知函数，过点作曲线的两条切线，切点为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件，满足，，，则（ ）． A. 事件A与B对立 B. C. 事件A与B相互独立 D. 10. 已知，若，且，则（ ）． A. B. C. D. 11. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（ ）． A. B. C. b的取值范围为 D. 的取值范围为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是两个单位向量，，，若，则，的夹角为________________________． 13. 在四棱锥中，底面为正方形，面面，且，则异面直线与所成角的余弦值为________________________． 14. 若，，则实数的最大值为________________________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，求的最大值． 16. 已知为坐标原点，，． （1）求证：； （2）若为的重心，其中，，，，求的面积． 17. 如图，在正三棱柱中，为线段上一点． （1）若为线段的中点，证明：平面； （2）若，为线段上一点，且． （i）是否存在点，使得平面．若存在，求；若不存在，请说明理由； （ii）在（i）的条件下，求二面角的正切值． 18. 强基计划为基础学科招生改革试点，用于选拔有志于服务国家重大战略需求、综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．某高校参加强基计划选拔需依次参加笔试和面试，笔试环节包含数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目，且每门考试科目是否通过相互独立，全部通过才可参加面试；面试每10人分为一组，每组选拔通过2人． （1）若学生甲已通过全部笔试科目，求甲面试选拔通过的概率； （2）已知学生甲通过数理探究、阅读表达和信息技术三门考试科目的概率分别为，，，其中，．记学生甲在笔试环节中通过的科目数为X． （i）若，当为何值时，甲通过笔试的概率最大； （ii）若，，求． 19. 已知，曲线在点处切线的倾斜角为． （1）若， （i）求； （ii）当时，证明：； （2）当时，，求整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $