6.3.2角的比较与运算（讲义，知识点&7大题型&刷好题）数学新教材人教版七年级上册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第六章 几何图形初步 6.2角的比较与运算 课时目标 1会用度量法和叠合法比较两个角的大小，认识直角、锐角、钝角，会进行角的和、差运 算，能用一副三角尺画出15°的整数倍的角。 课标要点 2理解角平分线的意义，能用符号语言表示角平分线，能运用角平分线的定义进行角的计 算与简单说理。 3能用尺规作一个角等于已知角、作一个角的平分线，会进行角的乘、除运算（含度、 分、秒)，在作图与计算中发展推理能力和动手操作能力。 重点： 1.角的大小比较与角的和差运算。 学习重难点 2角平分线的意义、符号表示与尺规作图（作一个角等于已知角、作角的平分线）。 难点： 1.叠合法比较角的大小时的叠放与判断；由图形中角的位置关系分析并计算所求的角。 2角平分线与其他角（互余、互补、两个角平分线所成角）关系的综合计算；度、分、秒 乘除运算中的进位与化聚。 清主线 课时内容导图 1/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 度量法：量出度数再比较大小 叠合法：顶点重合、一边重合，看另一边落在哪里 角的比较 盛合后另一边在内部则角小，在外部则角大 角的大小与边的长短无关，只与张口大小有关 OC在∠AOB内部：∠AOC+∠BOC-∠AOB ∠AOC=∠AOB-∠BOC 角的和与差 角的和嗟可借助三角板拼摆理解 度分秒加减先化成洞一单位再计算 从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线 =式：∠AOC=∠BOC=h∠AOB,∠AOB=2∠AOC 角平分线 角平分线必须在角的内部 已知平分求角，先用”一半“关系再代数据 角的比较与运算 把∠AOB分成n个相等的角，共n·1条等分线 每—份为(1/n)∠AOB 角的n等分线 第k条等分线与一边的夹角为(k/m)∠AOB 常与角平分线、和差综合考查 两块三角板的角为30°、45°、60°、90 拼合或放可得到15的整数倍角 三角板中的角 求角时先标出已知角，再用和差推算 重叠部分角=两角之和-重合的角 题目未给图，射线OC可能在角内部，也可能在外部 ∠AOC=∠AOB不能直接判断OC是平分线，要看位置 高频易错点 角平分线条件常被漏写在∠AOB内部 度分秒计算忘记满60进1或借位 折要、旋转问题中，相等的角要找全，别只找一对 理新知 教材全盘梳理 知识点 1 角的大小比较 ◆1、角的比较有两种方法： 方法一：度量法，用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小 测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小 方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较 B(B') B B O(O)A(4')0(O)AA')0(O') A(A') ①若边OB在∠AOB内部，则∠AOB<∠AOB: ②若边OB与OB重合，则∠AOB=∠A'OB: 2/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③若边OB在∠AOB外部，则∠AOB>∠A'OB: 太随学随练 1.(25-26六年级下.上海期末)已知∠ABC和∠乙，移动∠就将E点与B点重合，射线EF与射线BC 重合，射线DE和射线AB置于重合边的同侧，如果射线AB在∠乙的外部，那么下列说法正确的是 () A.∠ABC>∠乙 B.∠ABC<∠g就 C.∠ABC=∠乙 D.无法判断∠ABC和∠乙的大小 2.(25-26七年级上辽宁丹东期末)已知∠1=20°24'，∠2=20.26°，∠3=20.4°，下列说法正确的 是() A.∠1=∠3>∠2 B.∠2=∠3>∠1 C.∠1<∠2<∠3 D.∠1=∠2<∠3 知识点2 角的分类 角的名称 定义 各种角之间的大小关系 直角 等于90的角 (1)锐角<直角（直角可以用Rt∠表示，画图时常在 直角的顶点处加上符号“”来表示这个角是直角)< 锐角 小于90°的角 钝角<平角<周角. (2)1周角=2平角=4直角=36； 钝角 大于直角而小于平角的角 1平角=2直角=180。： 1直角90 随学随练 3.在12：15、6：45、9：00、2：20、6：48各时刻，时针与分针所成角中，锐角、直角、钝角的个数之 比为() A.3:1:1 B.2:1:2 C.4:1:0 D.1:3:1 3/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点 角的和差 概念 表式 图示 如果一个角的度数是另 两个角的和 两个角的度数的和，那 ∠AOC是∠AOB与∠BOC的和 么这个角就叫作另两个 ,记作：∠AOC=∠AOB B 角的和 +∠BOC: 如果一个角的度数是另 两个角的度数的差，那 ∠AOB是∠AOC与∠BOC的 两个角的差 么这个角就叫作另两个 差， 角的差 记作∠AOB=∠AOC- ∠BOC: ∠BOC是∠AOC与∠AOB的 差 记作∠BOC=∠AOC-∠AOB 随学随练 4.(26-27七年级上河北石家庄期中)如图，已知∠AOC=∠BOD=80°，∠BOC=25°，则 ∠AOD的度数为() B A.150° B.146° C.140° D.135° 知识点4 角度的四则运算 ●加法： ①度与度、分与分、秒与秒分别相加： 4/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②秒逢60向分进1，分逢60向度进1. ●减法： ①度与度、分与分、秒与秒分别相减： ②从低位算起，秒相减不够向分借，分相减不够向度借，借1作60. ●乘法： ①度、分、秒分别与倍数相乘： ②秒逢60向分进1，分逢60向度进1. ●除法： ①度、分、秒分别与除数相除： ②从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化 7随学随练 5.（26-27七年级上全国课后作业)计算下列各题： (1)2330=°，13.6°= (2)52°45-32°46= (3)18.3°+26°34= (4)12°17×4= 0 知识点 角的平分线 ◆1、角的平分线： 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分 线 如图，射线OC是∠AOB的平分线， 1 所以∠AOC=∠BOC=2∠AOB,或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC. 【注意】角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线， 5/21 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆2、角的三等分线： B 如图，射线OC,OD在∠AOB的内部，如果∠AOD=∠DOC=∠COB,那么射线 OC,OD是∠AOB的三等分线.类似地，从一个角的顶点出发，把这个角分成个 相等的角的射线，叫作这个角的等分线，如四等分线、五等分线等. 随学随练 6.(2025八年级上全国.专题练习)射线0A1,OA2,OA3是∠AOB的四等分线，∠AOB=100°，则 ∠AOA2的度数为() A.25° B.50° C.75 D.100° 7.(24-25七年级上吉林四平期末)如图，OB,OC是∠AOD的两条三等分线，则下列等式不正确的是 () A A.∠AOD=3∠BOC B.∠AOD=2∠AOC C.∠AOB=∠BOC D.∠C0D=3A0C 通题型 解题能力构建 题型一角的比较 ■例1(26-27七年级上全国课后作业)如图，用同样大小的三角板比较∠CAD和∠EBF的大小，下 列判断正确的是() 6/21 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.∠CAD=∠EBF B.∠CAD<∠EBF C.∠CAD>∠EBF D.没有量角器，无法确定 解题贴士 ● 比较角的大小有三种办法：度量法、叠合法、估测法。 ● 度量法就是用量角器量出度数，度数大的角就大。 ● 叠合时把两个角的顶点和一条边重合，再看另一条边落在哪里。 ● 另一条边落在里面，说明这个角小：落在外面，说明这个角大。 ● 两条边完全重合的两个角相等，记作∠1=∠2。 ● 角的大小只看张口大小，与两条边画得长短没有关系。 ● 量角器要中心对顶点、零刻度对一边，读数看另一条边。 ● 开口方向不同的角，靠转动方向叠合，不要把位置当作大小。 ■对点练1-1(26-27七年级上全国单元复习)如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（) D A.∠AOB<∠AOC B.∠BOC>∠AOD C.∠DOB>∠BOC D.∠AOD>∠BOD ■对点练1-2（25-26七年级上全国课后作业)如图，下列角的大小比较中，正确的是（) E A.∠AOB<∠BOC B.∠BOC>∠BOD C.∠BOD<∠BOE D.∠AOC=∠BOD 7/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练1-2(25-26七年级上浙江湖州期末)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的 顶点称为格点，如图，△ABC和△就的顶点均在格点上，试比较∠BAC与∠EDF的大小关系() A.∠BAC>∠EDFB.∠BAC<∠EDFC.∠BAC=∠EDFD.无法确定 题型二三角板中角度的计算 ■例2(2026北京，中考真题)如图，三角尺的直角顶点在直线1上.若∠1=48°，则∠2的大小为 () A.30° B.42o C.45° D.48 解题贴士 ● 一副三角板的角度是固定的：30°、45°、60°、90°。 ● 先认清用的是哪一块三角板，再取它现成的度数。 ● 两块拼在一起时，把相邻的两个角度数相加。 ● 两块叠在一起时，用大角减去小角，剩下的才是要求的角。 ● 两个直角三角板拼直角，能凑出90°、135°、150°、180°。 ● 有公共角时先把公共角减掉，避免重复计算。 ● 画图时先标出每个己知度数，再把算式列在图上。 ● 拼出的角超过180时，要用360°减去它才是图形内的角。 I对点练2-1将一副含30°和45°的直角三角尺按如图所示的方式放置，若AM平分∠BAD,AN平分 ∠CAD,则∠MAN的度数是() 8/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 NM B A.5 B.15° C.22.5° D.30 1对点练2-2(2026七年级上，全国专题练习)如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°， ∠C=45°.△COD固定不动，△AOB绕着0点顺时针旋转α0°<a<180°，若△AOB绕着O点旋 转到图2的位置，若∠BOD=60°，则∠AOC的度数为() B 图1 图2 A.150° B.120° C.60° D.30° ■对点练2-3如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起. M (1)若∠EON=130°，则∠FON=: (2)求∠EON+∠MOF的度数： (3)比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由. 题型三几何图形中角度计算问题 I例3如图，三条直线相交于点0.若∠AOC=∠BOC=90°，∠1=56°，则∠2的度数为() 9/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 B A.30 B.34° C.45° D.56° 解题贴士 ● 先看图里有没有直角和平角：直角是90°，平角是180°。 ● 几个角拼成一个平角，它们的和就是180°；围成一圈是360°。 ● 相邻的两个角有公共边时，整体角等于这两个角的和。 ● 要求的角先找“由哪几个角相加或相减·得来。 ● 直角被分成几块，几块加起来正好是90°。 ● 有重叠部分时，用两个角的和减去重叠的那个角。 图上标的度数要逐个代进算式，不能漏、不能重。 ● 算完回代检查：几块角能否正好凑成直角或平角。 ■对点练3-1如图，∠AOB和∠COD都是直角，∠COB=55°，则图中不等于35°的角是() 2 D A.∠AOD B.∠1 C.∠DOB D.∠2 ■对点练3-238.(25-26六年级下.四川成都期中)如图所示，∠AOC=∠B0D,若∠AOB=100°， ∠COD=40°，则∠BOD的度数为() B A.25° B.30° C.45° D.60° ■对点练3-3（26-27七年级上全国课后作业)根据图形填空： 10/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)∠AOC= 十 (2)∠AOC-∠AOB= (3)∠COD=∠AOD- (4)∠BOC= -∠COD; (5)∠AOB+∠COD= 题型四 角度的四则运算 ■例4(24-25七年级上吉林长春.期末)下列角度的计算或换算正确的是() A.34°34+21°51=55°25 B.180°-52°31=127°19 C.18°15=18.25° D.93.2°=93°22 解题贴士 ●度、分、秒是60进制：1°=60'，1'=60”。 ●加减时把度、分、秒上下对齐，逐位相加或相减。 ● 秒满60就进1分，分满60就进1度。 ● 不够减时向前一位借1：借1度当60分，借1分当60秒。 ● 乘法先用度数乘倍数，再处理分、秒的进位。 ● 除法从度开始除，除不尽的度化成分继续除。 ● 结果按度、分、秒写完整，秒一般保留整数。 ● 计算前先把单位统一，度不能直接和分相加。 ■对点练41(2025七年级上全国.专题练习)下列计算正确的是() A.12°25+25°47=39°2 B.48°15-30°30=18°15 C.58.25°=58°15 D.42°24=42.24° ■对点练4-2（26-27七年级上全国课后作业)填空： (1)77°42+34°45= (2)108°18-56°23= (3)180°-34°54+21°33= 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练43(25-26七年级上安徽淮北阶段检测)计算： (1)85°16-18°47-35°22-26°52. (2)53°4030×2-72°5728÷2 题型五实际问题中角度计算问题 ■例5自行车尾灯采用特殊的反射棱镜，能将光线反射回去，提高夜间骑行安全.已知光的反射现象中反 射角等于入射角，其简化光路图如图所示，BO表示自行车尾灯的一个反射平面，ON为法线，且 ∠EON=∠AON,已知∠AOB=120°，∠BON=90°，则∠BOE的度数为() E 反射棱镜 A.30° B.45° C.60° D.70° 解题贴士 先读题抓关键词：钟面、方向、折叠、坡度、仰角。 ● 钟面问题记住：分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°。 ● 求两针夹角，先分别算出各自转过的角度，再相减。 ● 算出的角大于180时，用360°减一下取较小的角。 ●了 方向角以南北为基准，说“北偏东多少度“要对着图看。 ● 折叠问题里两部分角相等，可以用角平分的关系来算。 ● 仰角、俯角先画视线和水平线，把已知角标在图上。 ● 算出结果后回到情境想一想：这个角度合不合理。 ■对点练5-1(2026河北邯郸.二模)一束光从空气斜射入水中，入射光线AO和折射光线OB如图所示， 若∠1=30°，∠2=40°，则∠3的度数为() A 空气 水 B A.60° B.40° C.30° D.20° 12/21 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练5-2(25-26九年级下·河南驻马店期中)如图是集热板的示意图，集热板与太阳光线垂直时， 光能利用率最高.春分日某市正午太阳光线与水平面的夹角β为47°.若光能利用率最高，则集热板与水 平面夹角的大小为() 集热板 太阳光线 支 架 水平面 A.43° B.47o C.53° D.57 ■对点练5-3(26-27七年级上全国课后作业)根据图填空： 北 西北 东北 西 东 西南 东南 南 (1)正东和正西方向所成的角是 度； (2)正南和西南方向所成的角是 度： (3)东北和西北方向所成的角是， 度： (4)正西和东南方向所成的角是 度. 题型六角平分线的有关计算 ■例6(2026陕西西安模拟预测)如图，点O在直线AB上，OD平分∠BOC.若∠AOC=38°，则 ∠COD的度数为() C D A B A.38° B.52° C.71° D.76° 13/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 ● 角平分线把一个大角分成两个相等的角。 ● 题目出现角平分线，第一句就写“两角相等"。 ● 已知整个角求半个角，用整角的度数除以2。 ● 已知半个角求整个角，用半个角的度数乘2。 ● 两条角平分线的夹角，常常等于两个角和的一半。 ● 有公共边的角先用和、差表示，再用平分关系代入。 ● 每一步都要写清依据，不能只写一个结果。 ● 图上没说平分时，先确认它确实是角平分线。 I对点练6-1如图，O是直线AB上一点，OC为射线，若OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,则 ∠DOE的度数为 B I对点练6-2已知，在同一平面内，∠AOB=30°，射线OC在∠AOB的外部，OD平分∠AOC,OE 平分∠AOD,若∠BOD=40°，则∠COE的度数为() A.105° B.15°或105° C.30°或105° D.15°或30° ■对点练6-3如图，己知O为直线AB上一点，∠BOC=2∠COD,∠BOC+∠DOE=90°，且OF平 分∠AOE,∠BOC=28°.求∠DOF的度数. 题型七角n等分线的有关计尊 ■例77已知OC为∠AOB的三等分线，若∠AOB=150°，则∠AOC=°. 14/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 ● n等分线把一个大角平均分成n份，每份是整角的n分之一。 ● 已知整角求一份，用整角度数除以n。 ● 已知一份求整角，用一份的度数乘n。 ● 相邻两条等分线之间的夹角，正好就是一份角。 ● 求第k条等分线与一边的夹角，用一份角乘K。 ● 两条等分线中间隔m份，夹角就是一份角的m倍。 ● 等分线的条数比份数少1，数条数时别数错。 先分清是角平分线还是n等分线，两者的份数不一样。 ■对点练7-1(2025八年级上.全国专题练习)∠XOY=144°，射线0Z1,OZ2,OZ3是它的四等分 线，则∠XOZ,= ■对点练7-2)定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫作这个角的三分线， 显然，一个角的三分线有两条. 0 图① 图② (1)如图①，已知OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC>∠AOC,若∠AOB=75°，∠AOC= ； (2)如图②，己知∠AOB=90°，若OC,OD是∠AOB的两条三分线. ①求∠COD的度数； ②在①的基础上，现以O为中心，将∠COD顺时针旋转n°得到∠COD.当OA恰好是∠COD的三 分线时，求n的值。 ■对点练7-3(25-26七年级上山东济宁期末)如图1，在∠AOB内部画一条射线OC,将∠AOB分成 ∠AOC,∠COB两个角（所有角均为大于0°且小于180°的角）， 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)若射线OC是∠AOB的一条三等分线（∠AOC>∠COB),则∠AOC与∠COB的数量关系是 (2)若∠AOB=120°，射线OC分∠AOB所成的两个角中，其中一个角与另一个角的差等于40°，求 ∠AOC的度数： (3)如图2，射线OC平分∠AOB,过点O再作一条射线OD,使得OD在∠AOC内部，且 ∠AOD=2∠D0C.若∠AOD与∠COB的和比3 ∠AOB多30°，求∠AOB的度数. 刷好题 课时巩固精炼 一基础通关 1.已知∠1=37°36，∠2=37.36°，则∠1与∠2的大小关系为() A.∠1<∠2 B.∠1=∠2 C.∠1>∠2 D.无法比较 2.（25-26七年级上河南郑州期末)一把直尺和一块三角板（含30°，60°角）如图所示摆放，直尺一 边与三角板的两直角边分别交于A,D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E,F两点，且 ∠CAD=50°，那么∠BAD的大小是() A.10° B.20° C.30° D.40° 3.利用一副三角板上的角，能画出的角一定不是() A.15° B.105° C.145 D.120° 4.(25-26七年级下.北京期中)将一副常规三角尺（厚度不计)如图摆放，那么∠Q等于() 16/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.45° C.55° D.60° 5.(26-27八年级上辽宁鞍山开学考试)如图所示，已知∠COD=30°，∠AOC=∠BOD=90°，则 ∠AOB的度数是() B A.130° B.140° C.150° D.160° 6.(26-27七年级上浙江杭州开学考试)如图，已知∠AON=15°，∠BON=40°，OA是∠BOC的 平分线，OD⊥OB,则() 北 B U 公 E东 A.射线OC的方向为北偏东65° B.射线OC的方向为北偏东60 C.射线OD的方向为南偏西45° D.射线OD的方向为南偏西50° 7.如图，∠A0B=128,∠A0C-号<B0C,OMY分∠B0C,则∠AOM的度数为(). C M B A.75° B.80 C.85° D.90° 8.(2026河南安阳二模)如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，∠AOB=140度， 17/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠AOD的度数是() D A A.120 B.105° C.75o D.70° ©素养提升 9.如图所示，将一副三角板叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点O,已知∠DOB=50°，则 ∠AOC的度数是 10.(26-27七年级上全国课后作业)如图，点A在直线BC上，过A作射线AD和AE, AD=3∠CAE,AE是∠BAE的平分线，已知∠CAF=1569,则∠CA B 11.(25-26七年级.全国暑假作业)(1)32°19+16°5316= (2)180°-126°431= (3)53°25'28×5= (4)41°36÷3= 12.(25-26七年级上四川成都开学考试)小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针 的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下.小明做作业用了分钟， 13.(25-26七年级上北京海淀期末)己知∠AOB,P为该平面内一点，给出下面三个结论： 18/21 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 ①若∠AOP=2∠AOB,则射线OP为∠AOB的角平分线. ②若∠AOB=60°，作射线OM平分∠AOP,ON平分∠BOP,则∠MON的度数一定是30°. ③若∠AOP=a+30°，∠POB=2a,∠AOB=3a,则点P在∠AOB外. 上述结论中，所有正确结论的序号是（) A.① B.②③ C.② D.③ 14.(25-26七年级上江苏扬州期末)已知∠AOC=110°，过点O作射线OB、OM,使∠AOB=20°， OM是∠BOC的平分线，则∠AOM的度数为() A.35° B.45°或65 C.40° D.55°或65° 迁移创新 15.(25-26七年级上河南驻马店期末)计算： (1)90°-20°23×2： (254a2-2ab3-45a2-3ab3. 16.(26-27七年级上黑龙江佳木斯期中)已知∠AOB=90°，OC是∠AOB内部的一条射线，OD平 分∠AOC,OE平分∠BOC. (1)求∠DOE的度数： (2)若将OC绕点O在∠AOB内部任意转动，∠DOE的大小是否变化？请说明理由. 17.(25-26七年级上辽宁大连期末)已知，∠AOB=80°，OD平分∠AOC,∠BOD=3∠AOD. A D B B 图1 图2 (1)如图1，当OC在∠AOB内部时，求∠BOC的度数： 19/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，当OC在∠AOB外部时，求∠BOC的度数. 18.(25-26七年级上江西鹰潭阶段检测)把一副直角三角尺按如图方式拼在一起，其中 ∠ABC=∠ECD=90°，∠ACB=60°，∠D=45 图1 图2 (1)求图1中∠BCD的度数： (2)如图2，延长BC到点M,作∠DCM的平分线CN,求∠ACN的度数. 19.(25-26七年级下广东中山期末)如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O,OF平分 ∠BOC E (1)若∠BOD=40°，求∠AOF的度数： (2)若∠AOC,'∠AOE=1,2,求∠COF的度数. 20.将一副三角板（直角三角形ABC和直角三角形ADE,∠BAC=45°，∠DAE=30°）按如图1所示 的方式摆放，点E,A,B在同一条直线上，AM和AN分别平分∠BAE和∠CAD.然后，将三角形 ADE绕点A沿顺时针方向旋转a°(0<a<60)至图2的位置，三角形ABC保持不动. 图1 图2 (1)图1中∠MAN的度数为_； (2)在图2中，若∠DAC=75°，则a的值为_·∠MAN的度数为_. (③)在旋转过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAN的度数；如果变化，请说 20/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 明理由. 21/21 第六章 几何图形初步 6.2 角的比较与运算 课标要点 1.会用度量法和叠合法比较两个角的大小，认识直角、锐角、钝角，会进行角的和、差运算，能用一副三角尺画出15°的整数倍的角。 2.理解角平分线的意义，能用符号语言表示角平分线，能运用角平分线的定义进行角的计算与简单说理。 3.能用尺规作一个角等于已知角、作一个角的平分线，会进行角的乘、除运算（含度、分、秒），在作图与计算中发展推理能力和动手操作能力。 学习重难点 重点： 1.角的大小比较与角的和差运算。 2.角平分线的意义、符号表示与尺规作图（作一个角等于已知角、作角的平分线）。 难点： 1.叠合法比较角的大小时的叠放与判断；由图形中角的位置关系分析并计算所求的角。 2.角平分线与其他角（互余、互补、两个角平分线所成角）关系的综合计算；度、分、秒乘除运算中的进位与化聚。 知识点 角的大小比较 ◆1、角的比较有两种方法： 方法一：度量法，用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小. 方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较. ①若边OB在内部，则∠AOB ＜ ∠A'O'B'. ②若边OB与重合，则∠AOB ＝∠A'O'B'. ③若边OB在外部，则∠AOB ＞ ∠A'O'B'. 随学随练 1．（25-26六年级下·上海·期末）已知和，移动将点与点重合，射线与射线重合，射线和射线置于重合边的同侧，如果射线在的外部，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．无法判断和的大小 【答案】A 【分析】根据利用叠合法比较角的大小的方法逐项判断即可． 【详解】解：由题意，将的顶点与的顶点重合，边与重合，与在重合边同侧， 射线在的外部， . 2．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 知识点 角的分类 角的名称 定义 各种角之间的大小关系 直角 等于90°的角 （1）锐角＜ 直角（直角可以用Rt∠ 表示，画图时常在直角的顶点处加上符号“┐ ”来表示这个角是直角）< 钝角< 平角< 周角. （2）1周角=2平角=4 直角=36°; 1平角=2直角=180^∘ ； 1直角=90 . 锐角 小于90° 的角 钝角 大于直角而小于平角的角 随学随练 3．在12：15、6：45、9：00、2：20、6：48各时刻，时针与分针所成角中，锐角、直角、钝角的个数之比为（　　） A．3：1：1 B．2：1：2 C．4：1：0 D．1：3：1 【答案】C． 【分析】首先分别求得12：15、6：45、9：00、2：20、6：48各时刻，时针与分针所成角的度数，继而可求得锐角、直角、钝角的个数之比． 【详解】解：∵12：15时针与分针所成角是：82.5°， 6：45时针与分针所成角是：67.5°， 9：00时针与分针所成角是：90°， 2：20时针与分针所成角是：50°， 6：48时针与分针所成角是：84°， ∴锐角有：12：15，6：45，2：20，6：48， 直角有：9：00， 钝角没有． ∴锐角、直角、钝角的个数之比为：4：1：0． 故选：C． 【点睛】此题考查了钟面角问题．注意在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 知识点 角的和差 概念 表式 图示 两个角的和 如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和. ∠AOC是∠AOB与∠BOC的和 ，记作:∠AOC = ∠AOB +∠BOC； 两个角的差 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差. ∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差， 记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC； ∠BOC是∠AOC与∠AOB的差， 记作∠BOC =∠AOC－∠AOB . 随学随练 4．（26-27七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：， ， ． 知识点 角度的四则运算 ●加法： ①度与度、分与分、秒与秒分别相加； ②秒逢60向分进1，分逢60向度进1.. ●减法： ①度与度、分与分、秒与秒分别相减； ②从低位算起，秒相减不够向分借，分相减不够向度借，借1作60. ●乘法： ①度、分、秒分别与倍数相乘； ②秒逢60向分进1，分逢60向度进1. ●除法： ①度、分、秒分别与除数相除； ②从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化. 随学随练 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算下列各题： （1）________，________°__________′； （2）__________________′； （3）__________________′； （4）__________________′． 【答案】 【详解】解：（1），； （2）； （3）； （4）． 知识点 角的平分线 ◆1、角的平分线： 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. 如图，射线 OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC. 【注意】角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线. ◆2、角的三等分线： 如图,射线OC,OD在∠AOB的内部,如果∠AOD=∠DOC=∠COB ,那么射线OC,OD是∠AOB 的三等分线.类似地,从一个角的顶点出发，把这个角分成n个相等的角的射线，叫作这个角的n 等分线，如四等分线、五等分线等. 随学随练 6．（2025八年级上·全国·专题练习）射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵射线是的四等分线，， ∴， ∴， 故选：B． 7．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，是的两条三等分线，则下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的等分线与角平分线，根据是的三等分线，得到，即可得到答案． 【详解】解： 是的两条三等分线， ， ，故A选项等式正确，不符合题意； ，，即， ，故B选项等式不正确，符合题意； ，故C选项等式正确，但不符合题意； ， ，故D选项等式正确，但不符合题意． 故选：B． 题型一 角的比较 ▌例1 （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（     ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【答案】B 【分析】通过比较角的另一边是在三角板的内部还是外部，即可确定角的大小关系． 【详解】解：由题意得，， ∴． 解题贴士 比较角的大小有三种办法：度量法、叠合法、估测法。 度量法就是用量角器量出度数，度数大的角就大。 叠合时把两个角的顶点和一条边重合，再看另一条边落在哪里。 另一条边落在里面，说明这个角小；落在外面，说明这个角大。 两条边完全重合的两个角相等，记作∠1＝∠2。 角的大小只看张口大小，与两条边画得长短没有关系。 量角器要中心对顶点、零刻度对一边，读数看另一条边。 开口方向不同的角，靠转动方向叠合，不要把位置当作大小。 ▌对点练1-1 （26-27七年级上·全国·单元复习）如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角的包含关系来判断角的大小即可． 【详解】解：由图可得，，，，，故ACD正确，B错误． ▌对点练1-2（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握通过观察角的开口大小直观比较角的大小是解题的关键； 通过观察图形中角的开口大小，直观比较各个角的大小，从而判断选项的正确性． 【详解】解： A、与开口大小相近，无法得出； B、开口小于，所以； C、开口小于，所以，该选项正确； D、与开口大小不同，不相等． 故选：C． ▌对点练1-2（25-26七年级上·浙江湖州·期末）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得． 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． 题型二 三角板中角度的计算 ▌例2（2026·北京·中考真题）如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于， ， ， ． 解题贴士 一副三角板的角度是固定的：30°、45°、60°、90°。 先认清用的是哪一块三角板，再取它现成的度数。 两块拼在一起时，把相邻的两个角度数相加。 两块叠在一起时，用大角减去小角，剩下的才是要求的角。 两个直角三角板拼直角，能凑出90°、135°、150°、180°。 有公共角时先把公共角减掉，避免重复计算。 画图时先标出每个已知度数，再把算式列在图上。 拼出的角超过180°时，要用360°减去它才是图形内的角。 ▌对点练2-1 将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴. ▌对点练2-2 （2026七年级上·全国·专题练习）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转到图2的位置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角板的直角可知，进而根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． ▌对点练2-3如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 【答案】(1)40 (2) (3)，理由如下： ∵， ∴， ． 【分析】（1）利用角的和差求解即可； （2）由等量代换求解即可； （3）由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）略． 题型三 几何图形中角度计算问题 ▌例3如图，三条直线相交于点O．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． 解题贴士 先看图里有没有直角和平角：直角是90°，平角是180°。 几个角拼成一个平角，它们的和就是180°；围成一圈是360°。 相邻的两个角有公共边时，整体角等于这两个角的和。 要求的角先找"由哪几个角相加或相减"得来。 直角被分成几块，几块加起来正好是90°。 有重叠部分时，用两个角的和减去重叠的那个角。 图上标的度数要逐个代进算式，不能漏、不能重。 算完回代检查：几块角能否正好凑成直角或平角。 ▌对点练3-1 如图，和都是直角， ，则图中不等于的角是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和都是直角，求出各角的度数进行判断即可． 【详解】解：A. 无法判断大小，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意． ▌对点练3-2 38．（25-26六年级下·四川成都·期中）如图所示，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再结合，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． ▌对点练3-3（26-27七年级上·全国·课后作业）根据图形填空： （1）________+________； （2）________； （3）________； （4）________； （5）________－________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 题型四 角度的四则运算 ▌例4（24-25七年级上·吉林长春·期末）下列角度的计算或换算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的计算和换算，正确掌握角度的换算是解答本题的关键．运用角度的计算和换算方法逐一计算判断即可． 【详解】解:Ａ.，原式计算错误，故本选项不符合题意； Ｂ.，原式计算错误，故本选项不符合题意； C.，正确，故本选项符合题意； D.，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C 解题贴士 度、分、秒是60进制：1°＝60′，1′＝60″。 加减时把度、分、秒上下对齐，逐位相加或相减。 秒满60就进1分，分满60就进1度。 不够减时向前一位借1：借1度当60分，借1分当60秒。 乘法先用度数乘倍数，再处理分、秒的进位。 除法从度开始除，除不尽的度化成分继续除。 结果按度、分、秒写完整，秒一般保留整数。 计算前先把单位统一，度不能直接和分相加。 ▌对点练4-1 （2025七年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据度分秒的换算规则，对每个选项进行计算，判断其正确性． 【详解】 A、。因为，所以，不是，该选项错误； B、，不是，该选项错误； C、∵，∴，则，该选项正确； D、∵，∴，不是，该选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒之间的换算关系为，利用这一关系对角度进行换算，判断计算是否正确是解题的关键． ▌对点练4-2 （26-27七年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． ▌对点练4-3（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型五 实际问题中角度计算问题 ▌例5 自行车尾灯采用特殊的反射棱镜，能将光线反射回去，提高夜间骑行安全．已知光的反射现象中反射角等于入射角，其简化光路图如图所示，表示自行车尾灯的一个反射平面，为法线，且，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，再根据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，即， ∴， 解得， ∴． 解题贴士 先读题抓关键词：钟面、方向、折叠、坡度、仰角。 钟面问题记住：分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°。 求两针夹角，先分别算出各自转过的角度，再相减。 算出的角大于180°时，用360°减一下取较小的角。 方向角以南北为基准，说"北偏东多少度"要对着图看。 折叠问题里两部分角相等，可以用角平分的关系来算。 仰角、俯角先画视线和水平线，把已知角标在图上。 算出结果后回到情境想一想：这个角度合不合理。 ▌对点练5-1 （2026·河北邯郸·二模）一束光从空气斜射入水中，入射光线和折射光线如图所示，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵法线垂直于水面， ∴法线与水面夹角为， ∵，， ∴． ▌对点练5-2 （25-26九年级下·河南驻马店·期中）如图是集热板的示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某市正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 由题意得， ∵， ∴． ▌对点练5-3 （26-27七年级上·全国·课后作业）根据图填空： （1）正东和正西方向所成的角是________度； （2）正南和西南方向所成的角是________度； （3）东北和西北方向所成的角是________度； （4）正西和东南方向所成的角是________度． 【答案】 【分析】 八个方向将周角平均分为8份，每份角度为，按方位位置计算各方向所成角度即可． 【详解】 解：由方位规则可知，图中相邻方向的间隔角度为，正东、正西、正南、正北两两垂直， （1）正东与正西在同一直线上，所成角为平角，角度为； （2）正南与西南间隔1份，所成角度为； （3）东北与正北夹角为，西北与正北夹角为， 东北和西北所成角为； （4）正西与正东夹角为，东南与正东夹角为， 正西和东南所成角为． 题型六 角平分线的有关计算 ▌例6 （2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义结合角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴， ∵平分， ∴． 解题贴士 角平分线把一个大角分成两个相等的角。 题目出现角平分线，第一句就写"两角相等"。 已知整个角求半个角，用整角的度数除以2。 已知半个角求整个角，用半个角的度数乘2。 两条角平分线的夹角，常常等于两个角和的一半。 有公共边的角先用和、差表示，再用平分关系代入。 每一步都要写清依据，不能只写一个结果。 图上没说平分时，先确认它确实是角平分线。 ▌对点练6-1 如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据角的平分线，平角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． ▌对点练6-2 已知，在同一平面内，，射线在的外部，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据射线在外部的两种不同位置分类讨论，利用角平分线的定义和角的和差关系计算即可得到结果． 【详解】解：由题意，分两种情况讨论： ①如图1，当和分别在两侧时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②如图2，当和分别在两侧时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． ▌对点练6-3 如图，已知O为直线上一点，，，且平分，．求的度数． 【答案】 【分析】先求出，根据，求出，根据平角，求出，因为平分，求出，根据，即可求出． 【详解】解： ，， ， 又， ， ， ， 平分， ， ， ． 题型七 角n等分线的有关计尊 ▌例77已知为的三等分线，若，则______°． 【答案】或/100或50 【分析】本题可根据三等分线的定义来求解的度数．分射线靠近和射线靠近两种情况进行解答即可． 【详解】解：为的三等分线，， 当射线靠近时，， 当射线靠近时，， 故答案为：或． 解题贴士 n等分线把一个大角平均分成n份，每份是整角的n分之一。 已知整角求一份，用整角度数除以n。 已知一份求整角，用一份的度数乘n。 相邻两条等分线之间的夹角，正好就是一份角。 求第k条等分线与一边的夹角，用一份角乘k。 两条等分线中间隔m份，夹角就是一份角的m倍。 等分线的条数比份数少1，数条数时别数错。 先分清是角平分线还是n等分线，两者的份数不一样。 ▌对点练7-1 （2025八年级上·全国·专题练习），射线是它的四等分线，则_________． 【答案】 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故答案为：． ▌对点练7-2）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条． (1)如图①，已知是的一条三分线，且，若， 　 　； (2)如图②，已知，若，是的两条三分线． ①求的度数； ②在①的基础上，现以O为中心，将顺时针旋转得到．当恰好是的三分线时，求n的值． 【答案】(1) (2)①；②n的值为50或40． 【分析】（1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可； ②根据三分线的定义可得，由旋转得 ，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且，， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，，是的两条三分线， ∴； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得： ， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 综上所述，n的值为50或40． 【点睛】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． ▌对点练7-3 （25-26七年级上·山东济宁·期末）如图1，在内部画一条射线，将分成，两个角（所有角均为大于且小于的角）． (1)若射线是的一条三等分线（），则与的数量关系是___________： (2)若，射线分所成的两个角中，其中一个角与另一个角的差等于，求的度数； (3)如图2，射线平分，过点再作一条射线，使得在内部，且．若与的和比多，求的度数． 【答案】(1) (2)C的度数为或 (3) 【分析】此题考查了角的和差计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三等分线的定义求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别根据题意求解即可； （3）设，表示出，然后由角平分线得到，，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵射线是的一条三等分线（） ∴； （2）解：①当时，． ． ， ． ． ②当时，． ． ， ． ． 综上所述：的度数为或； （3）解：如图，设． ∵OC平分 ， 与的和比 多， 解得 ． 基础通关 1．已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查比较角的大小关系，根据角度制，将进行转化后，判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 3．利用一副三角板上的角，能画出的角一定不是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确一副三角板的所有角度，能画出的角都是这些角度的和或差，因此可画出的角均为的整数倍，据此判断各选项即可． 【详解】解：一副三角板包含的角度为，能画出的角都是上述角度的和或差， ∴可画出的角一定是的整数倍，对选项逐一判断： A. ，可以画出； B. ，可以画出； C. 不是的整数倍，不能画出； D. ，可以画出． 4．（25-26七年级下·北京·期中）将一副常规三角尺（厚度不计）如图摆放，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，， 故选：D． 5．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的度数，再进行角度求和运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 6．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 【答案】D 【分析】根据角之间的关系分别求出和的度数，即可求出射线和射线的方位角，根据求出的方位角判断正误即可． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， 射线的方向为北偏东， 故A、B选项错误； ， ， ， ， ， ， 射线的方向为南偏西， 故C选项错误，D选项正确． 7．如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的倍数关系得到，进而得到，根据角平分线的定义得到，继而得到． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 8．（2026·河南安阳·二模）如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由角平分线的定义得到，于是得到． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 素养提升 9．如图所示，将一副三角板叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点，已知，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先理解题意得，再运算出，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 则． 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，过作射线和，，是的平分线，已知，则_______． 【答案】 【分析】由可得，将、用表示，列方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 点在直线上， ， ， 是的平分线， ， ， 解得． 11．（25-26七年级·全国·暑假作业）（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 12．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下．小明做作业用了______分钟． 【答案】 或/或 【分析】先确定时针和分针每分钟转动的角度，根据开始和结束时针分针位置交换，得到两者转动的总角度和为，设未知数列方程即可求解． 【详解】解：分针每分钟转动的角度为 ， 时针每分钟转动的角度为 ， 设小明做作业用了分钟， ∵时针和分针位置交换，总时间不足1时， ∴时针转动的角度与分针转动的角度之和为一圈， 列方程得 ， 解得 ． 即小明做作业用了分钟． 13．（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知，为该平面内一点，给出下面三个结论： ①若 ，则射线为的角平分线． ②若，作射线平分，平分，则的度数一定是． ③若，，，则点在外． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① B．②③ C．② D．③ 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义、角的和差计算及点与角的位置关系判断，通过分类讨论和角的和差关系分析每个结论的正确性．对每个结论逐一分析，通过举反例或计算验证其真假． 【详解】解：①若，当点在的外部时，射线不是的角平分线，因此①错误； ②若，作射线平分，平分，分情况讨论： 如图，当射线，位于直线同一侧时，当点在内部时，； 如图，当射线，位于直线两侧时，，因此的度数不一定是，②错误； ③若，，，则． 因为，说明点不在内部，因此点在外，③正确． 综上，只有结论③正确．故选：D． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义，再运用分类讨论的思想解答即可． 【详解】解：根据题意得： 如图所示，当射线在内部时， ，， ， 是的平分线， ， ； 如图所示，当射线在外部时， ，， ， 是的平分线， ， ， 综上，或． 迁移创新 15．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算和度分秒的转换，1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60． （1）先计算乘法，再将转化为，最后计算减法； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ． 16．（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知，是内部的一条射线，平分，平分． (1)求的度数； (2)若将绕点O在内部任意转动，的大小是否变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)不变化． 因为无论在内部如何转动，始终平分， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴.即的大小不变化． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 17．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）已知，平分． (1)如图1，当在内部时，求的度数； (2)如图2，当在外部时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角的和差关系可求出的度数，再由角平分线的定义可求出的度数，最后根据角的和差关系可得答案； （2）根据角的和差关系可求出的度数，再由角平分线的定义可求出的度数，最后根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：，且，， ∴， ． 平分， ． ． （2）解：，且，， ∴， 平分， ． ． 18．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段检测）把一副直角三角尺按如图方式拼在一起，其中，，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，延长到点M，作的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角的和差运算． （1）利用角的和差关系可得答案． （2）先求解，再利用角平分线进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 19．（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 20．将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)30； (3)在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $