期末复习专题12 余角和补角（3知识点+5大题型+思维导图+过关检测）2025-2026学年人教版七年级数学上册期末备考（知识梳理+题型讲）

该初中数学讲义通过思维导图系统构建余角和补角的知识体系，梳理了余角补角的定义、性质及易错点，用推导过程和对比呈现“互余互补与位置无关”等核心要点，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于5大题型分层设计，如“方程思想应用”题型（典例：补角是余角3倍求角度）培养模型意识，“同角余角相等”题型强化推理意识，配套过关检测题助力分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供实用支持。

期末复习专题12 余角和补角 （3知识点+5大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 求一个角的余角】 2 【题型2 求一个角的补角】 3 【题型3 与余角、补交有关的计算】 5 【题型4 同（等）角的余（补）角相等】 7 【题型5 余角和补角中方程思想的应用】 9 【知识点1 余角的定义与性质】 定义：如果两个角的和等于90 ∘（直角），就说这两个角互为余角，简称 “互余”。 例：若∠1+∠2=90 ∘，则∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。 性质：同角（或等角）的余角相等。 推导： ① 同角的余角相等：若∠1+∠2=90 ∘，∠1+∠3=90∘，则∠2=∠3； ② 等角的余角相等：若∠1+∠2=90 ∘，∠3+∠4=90∘，且∠1=∠3，则∠2=∠4。 【知识点2 补角的定义与性质】 定义：如果两个角的和等于180∘（平角），就说这两个角互为补角，简称 “互补”。 例：若∠A+∠B=180∘，则∠A与∠B互为补角。 性质：同角（或等角）的补角相等。 推导： ① 同角的补角相等：若∠1+∠2=180∘，∠1+∠3=180∘，则∠2=∠3； ② 等角的补角相等：若∠1+∠2=180∘，∠3+∠4=180∘，且∠1=∠3 ，则∠2=∠4。 【知识点3 余角、补角的易错点】 互余、互补是两个角之间的数量关系，与角的位置无关； 一个角的余角（或补角）可以有多个，但它们的度数相等； 锐角才有余角（因为锐角<90∘），锐角、直角、钝角都有补角； 若∠α为锐角，则它的余角为90∘ −∠α，补角为180∘ −∠α；同一个锐角的补角比余角大90∘。 解题技巧总结： 1. 求余角、补角直接套用公式：余角 =90°-已知角，补角 =180° -已知角； 2. 遇到 “倍数”“比例” 类问题，设未知数建立方程求解，是最常用的方法； 3. 证明角相等时，优先考虑余角 / 补角的性质，找准 “同角” 或 “等角” 是关键；判断题要紧扣定义，注意 “两个角”“数量关系”“与位置无关” 这几个核心点。 特别说明： (1) 互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2) 一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°． 【题型1 求一个角的余角】 【典例】．已知和互余，若，则（ ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．若，则的余角为 ． 【跟随训练2】．已知与互余，且，则 【跟随训练3】．计算的余角= ． 【题型2 求一个角的补角】 【典例】．若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．若的度数为，则的补角的度数为（   ） A．1 B．1 C．6 D．6 【跟随训练2】．如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（　　） A． B． C． D． 【跟随训练3】．如图是我国古代民间艺术“木偶戏”示意图，当手握两线的夹角为时，木偶人的两条胳膊在同一条直线上，则此时的补角为（   ） A． B． C． D．或 【题型3 与余角、补交有关的计算】 【典例】．如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．如图，点O在直线上，与互补，且，，分别为，的平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．已知与互为补角，与互为余角，比的大，则的度数是（） A． B． C． D． 【跟随训练3】．如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 同（等）角的余（补）角相等】 【典例】．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，可以推导出，最合理的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【跟随训练1】．若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【跟随训练2】．如图，是直线上一点，，则图中互余的角、互补的角分别有（   ） A．3对、3对 B．4对、7对 C．4对、4对 D．4对、5对 【跟随训练3】．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 【题型5 余角和补角中方程思想的应用】 【典例】．已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．已知一个角的余角比这个角的3倍多． (1)求这个角的度数； (2)这个角的补角为_______度． 【跟随训练2】．一个角的余角比它的补角的还少，则这个角的度数为 °． 【跟随训练3】．已知与互为余角，且的比大，求的补角． 1．一个锐角的余角加上，就等于（   ） A．这个锐角的两倍 B．这个锐角的余角 C．这个锐角的补角 D．这个锐角加上 2．在一节综合实践课上，老师与同学们以“三角尺中的数学”为问题背景展开探究，某位同学将一副三角尺按不同方式摆放，其中与一定互余的是（   ） A． B． C． D． 3．如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．角平分线的定义 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等 5．若一个角的补角比它的余角的3倍大，则这个角的度数是（　　） A． B． C． D． 6．给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如图，A、O、B三点在同一直线上，，，则图中互余的角共有 (  ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 8．下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．已知一个角的余角为则这个角的补角是 ． 11．已知与互为余角，若，则等于 ． 12．如图所示，，，则的度数是 ． 13．如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 14．根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 15．如图，为直线上一点，，是的平分线，设，． (1)若，求的度数； (2)求和的数量关系． 16．如图，O为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，．求的度数． 17．如图1，将两块直角三角板与的直角顶点O重合在一起，其中直角边在内部． (1)如图2，若，则________，________； (2)若． ①直接写出和的数量关系________． ②当时，求α的度数． 18．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 19．已知点O在直线上，在直线的同侧，作射线平分．（注：不重合） (1)的位置如图1所示． ①若，，补全求的度数的过程； 解：∵， ∴ ＝ ． ∵平分， ∴ ， ∴ ． ②已知条件Ⅰ：；条件Ⅱ：．请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)已知（），如图2所示．若和互为余角，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 20．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题12 余角和补角 （3知识点+5大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 求一个角的余角】 2 【题型2 求一个角的补角】 3 【题型3 与余角、补交有关的计算】 5 【题型4 同（等）角的余（补）角相等】 7 【题型5 余角和补角中方程思想的应用】 9 【知识点1 余角的定义与性质】 定义：如果两个角的和等于90 ∘（直角），就说这两个角互为余角，简称 “互余”。 例：若∠1+∠2=90 ∘，则∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。 性质：同角（或等角）的余角相等。 推导： ① 同角的余角相等：若∠1+∠2=90 ∘，∠1+∠3=90∘，则∠2=∠3； ② 等角的余角相等：若∠1+∠2=90 ∘，∠3+∠4=90∘，且∠1=∠3，则∠2=∠4。 【知识点2 补角的定义与性质】 定义：如果两个角的和等于180∘（平角），就说这两个角互为补角，简称 “互补”。 例：若∠A+∠B=180∘，则∠A与∠B互为补角。 性质：同角（或等角）的补角相等。 推导： ① 同角的补角相等：若∠1+∠2=180∘，∠1+∠3=180∘，则∠2=∠3； ② 等角的补角相等：若∠1+∠2=180∘，∠3+∠4=180∘，且∠1=∠3 ，则∠2=∠4。 【知识点3 余角、补角的易错点】 互余、互补是两个角之间的数量关系，与角的位置无关； 一个角的余角（或补角）可以有多个，但它们的度数相等； 锐角才有余角（因为锐角<90∘），锐角、直角、钝角都有补角； 若∠α为锐角，则它的余角为90∘ −∠α，补角为180∘ −∠α；同一个锐角的补角比余角大90∘。 解题技巧总结： 1. 求余角、补角直接套用公式：余角 =90°-已知角，补角 =180° -已知角； 2. 遇到 “倍数”“比例” 类问题，设未知数建立方程求解，是最常用的方法； 3. 证明角相等时，优先考虑余角 / 补角的性质，找准 “同角” 或 “等角” 是关键；判断题要紧扣定义，注意 “两个角”“数量关系”“与位置无关” 这几个核心点。 特别说明： (1) 互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2) 一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°． 【题型1 求一个角的余角】 【典例】．已知和互余，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵和互余， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【跟随训练1】．若，则的余角为 ． 【答案】 【分析】根据余角的定义，两个角之和为90°，因此∠α的余角等于90°减去∠α的度数，解答即可． 本题考查了余角的计算，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故， 故答案为：． 【跟随训练2】．已知与互余，且，则 【答案】 【分析】本题主要考查了余角的性质．利用余角的性质，互为余角的两角之和为，通过角度减法运算求解即可． 【详解】解：∵与互余， ∴， 又∵， ∴ 故答案为：． 【跟随训练3】．计算的余角= ． 【答案】 【分析】本题考查余角的定义，根据余角的定义，两角之和为，因此用减去给定角度即可得到余角，并将结果转换为度即可． 【详解】解：， 其中， 所以． 故答案为：． 【题型2 求一个角的补角】 【典例】．若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查补角的概念，根据补角的定义，两个角的和等于，因此的补角为减去即可． 【详解】解：∵，且补角之和为， ∴的补角． 故选：D． 【跟随训练1】．若的度数为，则的补角的度数为（   ） A．1 B．1 C．6 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，熟练掌握补角的定义，是解题的关键．根据补角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角的度数，即可求出补角． 【详解】解：∵， ∴的补角． 故选：A． 【跟随训练2】．如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角、补角、角的单位换算等知识点，理解余角、补角的定义是解题的关键． 根据余角定义求出这个角的度数，再根据补角定义求出补角，并将小数度数转换为度分形式． 【详解】解：设这个角为， ∵余角为， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 【跟随训练3】．如图是我国古代民间艺术“木偶戏”示意图，当手握两线的夹角为时，木偶人的两条胳膊在同一条直线上，则此时的补角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查补角，解答的关键是明确互补的两角之和为．利用补角的定义进行求解即可． 【详解】解：， 的补角为：． 故选：C． 【题型3 与余角、补交有关的计算】 【典例】．如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【跟随训练1】．如图，点O在直线上，与互补，且，，分别为，的平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义、补角的定义、一元一次方程的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，利用角的和差得出，进而得到，再根据补角的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，分别为，的平分线， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 【跟随训练2】．已知与互为补角，与互为余角，比的大，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关补角和余角的计算，根据补角和余角的定义以及给出的角度关系，首先求解，再求的度数即可． 【详解】解：∵与互为补角， ∴①， ∵与互为余角， ∴②， ∵比的大， ∴， ∴， 将代入①，可得， 解得， 将代入②，可得， 解得． 故选：C． 【跟随训练3】．如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了补角和余角的定义．根据互补角定义，，余角定义为．逐一验证每个式子是否等于． 【详解】解：和互补， ， 的余角为． ①，直接是余角，正确． ②，是余角，正确． ③，不一定等于，错误． ④，是余角，正确． ∴正确的有3个． 故选：C． 【题型4 同（等）角的余（补）角相等】 【典例】．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，可以推导出，最合理的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的知识，根据“同角的余角相等”，即可获得答案． 【详解】解：由题意得， 所以， 所以（同角的余角相等）． 故选A． 【跟随训练1】．若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了同角的补角相等，根据同角的补角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【跟随训练2】．如图，是直线上一点，，则图中互余的角、互补的角分别有（   ） A．3对、3对 B．4对、7对 C．4对、4对 D．4对、5对 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角的判断，掌握根据角的和为找互余的角，和为找互补的角是解题的关键； 先根据已知的直角条件，找出互余的角，即和为的角对；再找出互补的角，即和为的角对，然后统计对数． 【详解】解：已知， ∴，，，， ∴，， 由此可知： 互余的角有：与，与，与，与，共对； 互补的角有：与，与，与，与，与，与，与，共对 故选：B． 【跟随训练3】．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查的是角的和差运算，与余角补角相关的计算； （1）①由可得； ②求解，结合，利用可得答案； （2）由，，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②，， ， 由（1）知， ． （2）解：当为任意锐角时，， 理由如下：，， ． 【题型5 余角和补角中方程思想的应用】 【典例】．已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查补角和余角的概念，通过建立方程求解角度．设这个角为，根据补角和余角的定义，补角为，余角为，再根据补角等于余角的倍列方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为，则其补角为，余角为， 又补角等于余角的倍， ， ． 因此，这个角的度数是． 故选：B． 【跟随训练1】．已知一个角的余角比这个角的3倍多． (1)求这个角的度数； (2)这个角的补角为_______度． 【答案】(1)这个角的度数为 (2)160 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用及余角、补角的有关计算，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程， （1）设这个角为，则这个角的余角为，根据题意列方程并解方程即可解决； （2）根据补角定义计算即可． 【详解】（1）解：设这个角为，则这个角的余角为， 由题意，得， 解得， 即这个角的度数为． （2）解：这个角的补角为． 【跟随训练2】．一个角的余角比它的补角的还少，则这个角的度数为 °． 【答案】75 【分析】本题考查了余角和补角的计算，设这个角为α，则它的余角为，补角为，根据题意，余角比补角的还少，列出方程求解． 【详解】解：设这个角为α，则余角为，补角为， 根据题意，得：， 解得， 故答案为：75． 【跟随训练3】．已知与互为余角，且的比大，求的补角． 【答案】的补角为 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． 根据余角的概念和题意列出一元一次方程，解方程求出的值，根据补角的概念计算即可． 【详解】解：由题意得， 可得方程， 解得， ， 即的补角为． 1．一个锐角的余角加上，就等于（   ） A．这个锐角的两倍 B．这个锐角的余角 C．这个锐角的补角 D．这个锐角加上 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差，余、补角的定义． 设锐角为，计算其余角加的结果，与补角对比即可． 【详解】解：设锐角为， 则余角为， ∴余角加为， ∵锐角为的补角为， ∴等于补角． 故选：C． 2．在一节综合实践课上，老师与同学们以“三角尺中的数学”为问题背景展开探究，某位同学将一副三角尺按不同方式摆放，其中与一定互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角，补角及平角的定义．根据余角定义，平角的定义和三角板的度数对各选项分析判断，即可解题． 【详解】解：如图： A、由图知，，即与不互余，不符合题意； B、由图知，，与互余，符合题意； C、由图知，，即与不互余，不符合题意； D、由图知，，即与互补，不符合题意； 故选：B． 3．如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，根据余角定义求出这个角的度数，再根据补角定义求出补角． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数是， ∴这个角的补角度数是． 故选：C． 4．如图，，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．角平分线的定义 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握“同角的余角相等”是解题的关键． 先根据直角的定义得出和、和的数量关系，再利用余角的性质判断与的关系． 【详解】解：∵，都是直角， ∴， ∴，， ∴和都是的余角， ∴（同角的余角相等）． 故选：A． 5．若一个角的补角比它的余角的3倍大，则这个角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查补角与余角，一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设这个角为x度，根据补角比余角的3倍大列出方程求解． 【详解】解：设这个角为， ∴这个角的补角为，余角为， 根据题意得 ， 解得， ∴这个角的度数是． 故选B． 6．给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角，根据两个角的度数和为90度，两个角互为余角，两个角的度数和为180度时，两个角互为补角，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则，即互余；故①说法正确； 两个角的度数和为180度时，两个角互为补角；故②说法错误； 若，，则；故③说法正确； 若的余角为，则，故它的补角为；故④说法正确； 故选D． 7．如图，A、O、B三点在同一直线上，，，则图中互余的角共有 (  ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查余角． 根据余角的定义，互余的角和为． 【详解】解：∵，， ∴，， 故选：C． 8．下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角的概念及计算．根据余角（和为）和补角（和为）的定义，直接计算或推导即可判断各结论的正确性． 【详解】①若∵，则的余角为，该选项不正确； ②若，则的补角为，正确； ③若与互余， ∴； ∵与互补， ∴； ∴，代入得：， ∴，正确． 故选：B． 9．如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查读角、余角和补角的定义、角的计算等，掌握相关知识是是解题的关键．根据等式的性质可判断①，根据补角的定义求出，从而得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据余角的定义和性质可判断③． 【详解】解：①， ， ，故正确； ②由题意可得：， ， ，即， ， ，即射线经过刻度线160，故错误； ③如图： ，， ， 和互为余角， 射线经过刻度线90， ， 和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角，故正确； 正确的有①③， 故选：C． 10．已知一个角的余角为则这个角的补角是 ． 【答案】118.25 【分析】本题考查角度的计算以及补角的概念，将角度进行转换，根据余角求出这个角，再求其补角． 【详解】设这个角为， 则余角为， ∴， 补角为． 故答案为：． 11．已知与互为余角，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角． 根据余角的定义，与互为余角，则，因此． 【详解】解：∵与互为余角，， ∴ 故答案为． 12．如图所示，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角的和差，互为余角的性质，数形结合是解题的关键．根据同角的余角相等即可求解 ． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 13．如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键． 由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 14．根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用，解题关键是掌握余角和补角的定义． （1）设这个角为x，由题意，列出方程，即可求解； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）设这个角为x，由题意得， ， 解得， 即这个角是， 故答案为：； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意列方程，得： ， 解得， 则它的余角为，补角为． 故答案为：；． 15．如图，为直线上一点，，是的平分线，设，． (1)若，求的度数； (2)求和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的相关概念及应用： （1）先求出，再求出，最后根据即可求出； （2）根据已知条件即可列出等量关系，化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ∵， ； （2）解：由题意可知， 即， ， ， 即． 16．如图，O为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，．求的度数． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了余角的定义，角平分线的定义，几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等角的余角相等得出，即可得出结果； （2）先求出，从而可得，再由平角的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ∵O为直线上一点，且， ∴，． ∵， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 17．如图1，将两块直角三角板与的直角顶点O重合在一起，其中直角边在内部． (1)如图2，若，则________，________； (2)若． ①直接写出和的数量关系________． ②当时，求α的度数． 【答案】(1)70 ，110 (2)①；② 【分析】本题考查了角的和差计算，互余的定义，熟练掌握角的和差计算及互余的定义是解题的关键． （1）根据互余的定义及角的和差计算即可； （2）①根据（1）的步骤逐一计算，可得，，两式相加即得答案；②根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ． 故答案为：70 ，110． （2）解：①，， ， ， ， ． 故答案为：． ②当时， ， 解得． 18．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的差余角有，，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，等角的余角相等，理解差余角的定义是解题的关键． （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，建立方程即可求解； （2）①由可得，，根据角平分线的定义得到，进而得出，即可得出结论；②根据差余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②的差余角有，，理由如下： ∵， ∴是的差余角， 由①得，， ∴， ∴是的差余角， ∴综上所述，的差余角有，． 19．已知点O在直线上，在直线的同侧，作射线平分．（注：不重合） (1)的位置如图1所示． ①若，，补全求的度数的过程； 解：∵， ∴ ＝ ． ∵平分， ∴ ， ∴ ． ②已知条件Ⅰ：；条件Ⅱ：．请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)已知（），如图2所示．若和互为余角，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；130；；65；；15；②，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算、角平分线、余角等知识，确定各角度之间的关系是解题关键． （1）①首先根据平角的定理，可确定，结合角平分的定义可知，进而可通过求得； ②选条件Ⅰ：易得，然后结合即可证明结论；选条件Ⅱ：首先由角平分线的定义可得，结合，推出，进而可知，即可证明结论； （2）分当在左侧时和当在右侧时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：；130；；65；；15； ②选条件Ⅰ，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴； 选条件Ⅱ，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：的度数为或． 分两种情况讨论： 如图，当在右侧时， ∵和互为余角，（）， ∴， ∴， ∴． 如图，当在左侧时， ∵和互为余角，（）， ∴，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 20．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则 ； (2)如图2．已知，将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点O顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据角的和差关系即可得解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）是的内余角， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：由旋转得：，， 所以，， 因为是的内余角， 所以， 所以， 解得； （3）解：当在内部时，如图1， 则，， 所以，， 若是的内余角时，则， 所以，无解； 当在射线下方时，如图2， 则，， 若是的内余角，则， 所以， 解得（秒）； 当在上方时，如图3， 则，， 若是的内余角，则， 所以，解得（秒）； 当在内部时，如图4， 则，，， 所以， 若是的内余角，则， 所以，无解； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $