6.2.2线段的比较与运算（讲义，知识点&9大题型&刷好题）数学新教材人教版七年级上册

第六章 几何图形初步 6.2.2 线段的比较与运算 课标要点 1.会用度量法和叠合法比较两条线段的长短，能用圆规作一条线段等于已知线段，会画已知线段的和与差。 2.理解线段中点、三等分点等的意义，能结合图形进行线段的和差计算与简单的推理说明。 3.掌握基本事实“两点之间，线段最短”，理解两点间距离的意义，能度量并表达两点间的距离，能用它解释生活中的最短路径问题。 学习重难点 重点： 1.线段长短的比较方法，用尺规作一条线段等于已知线段。 2.线段中点、等分点的意义及线段的和差计算。 难点： 1.叠合法的规范操作与作图语言的准确表述。 2.含中点或需要分类讨论（点在线段上、点在线段延长线上）的线段计算。 知识点 线段的作法 ◆1、方法一(测量作图)：先用刻度尺量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段. ◆2、方法二(尺规作图)：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. ◆3、用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上.在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. ◆4、线段的画法：作一条线段（AB）等于已知线段（a）的作法： ①画射线AC；②在射线AC上截取AB=a. 随学随练 1．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是读懂图象信息，根据作图痕迹判断即可． 【详解】解：选项A，C，D中可以作出线段， 而选项B表示的是，不能作出线段， 故选：B． 知识点 两条线段的长度比较 ◆比较两条线段的长短 方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较； 方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较； 利用尺规作图把其中的一条的线段移到另一条线段上作比较 图1 图2 图3 ①如图1若点 A 与点 C 重合，点 B 落在C，D之间，那么 AB ＜CD. ②如图2若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D重合，那么 AB = CD. ③如图3若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB＞ CD. 随学随练 2．如图，用圆规比较两条线段的长短，正确的是（　　） A．AB＞AC B．AB＝AC C．AB＜AC D．无法确定 【答案】C． 【分析】根据题意即可得到答案． 【详解】解：如图用圆规比较两条线段的长短：AB＜AC， 故选：C． 【点睛】本题考查比较线段的长短，掌握方法是解题关键． 知识点 线段的基本事实 ◆1、线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短 . ◆2、两点之间的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 随学随练 3． 从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 【答案】B 【详解】解：从A地到B地修公路，将公路尽量修成直路的目的是缩短总路程，这样做的道理是两点之间线段最短． 知识点 线段的和差 ◆线段的和、差 线段的和、差的意义及画法 在直线上画出线段AB=a，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是 a与 b的和，记作AC= a＋b ，如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是a 与b 的差，记作AD= a－b. 随学随练 4．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，尺规作线段，根据作图结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由图和题意，得：， ∴； 故选C． 知识点 线段的中点、等分点 ◆1、线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. ◆2、等分线段 （1）把一条线段分成三条相等的线段的点，叫做线段的三等分点. 如图点M、N是线段AB三等分点,则 AM ＝MN ＝BN ＝ AB . （2）类似的，把一条线段分成四条相等的线段的点，叫做线段的四等分点. 如图点M、N、P是线段AB四等分点，则AM＝ MN ＝NP＝PB＝ AB . 随学随练 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知点，，是同一直线上的三个点，则下列条件中，能判断点是线段的中点的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抓住线段中点的两个核心要素（点在线段上、分得的两线段相等），逐一验证各条件． 【详解】解：①∵，，在同一直线上，且， ∴点C在线段上，且为线段的中点，符合条件； ②当点C在的延长线上时，可满足，但点C不在线段上，不是线段的中点，不符合条件； ③∵， ∴，且， 即点C在线段上， ∴点C是线段的中点，符合条件； ④当点C为线段上任意一点时，都满足，无法确定，不符合条件； 综上，符合条件的有2个． 6．如图，点C是线段上的一点，M是的中点，N是的中点． (1)若，，求的长度； (2)若，求的长度． 【答案】(1)4 (2)4 【分析】（1）先根据M是的中点得，再根据N是的中点得，再根据计算即可； （2）先根据M是的中点得，再根据N是的中点得，再根据计算即可． 【详解】（1）解：∵M是的中点，， ∴， ∵N是的中点，， ∴， ∴； （2）解：∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型一 尺规作图作线段 ▌例1（25-26七年级上·湖北随州·期末）如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于． 小张同学按以下步骤进行了操作： 第一步：在直线上作线段； 第二步：在线段的延长线上作线段； 第三步：在线段上作线段． 根据上述操作，下列结论：①；②；③； ④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查线段之间的运算和尺规作图，熟练掌握线段之间的运算和尺规作图是解题的关键． 根据作图的顺序，得到线段之间的和差关系，逐一计算判断即可． 【详解】解：由题可知，，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 因为，，所以，故④错误； 综上可知，选项B符合题意． 故选：B． 解题贴士 只用无刻度直尺和圆规，直尺不量长度，只用来连两点。 作线段等于已知线段 a：先作射线 AM，再在 AM 上截取 AB=a。 用圆规两脚量出 a 的长，叉口保持不变，直接挪到射线上截取。 作 a+b：在射线上先截 a，在同一方向接着截 b。 作 a-b：先截出 a，再从同一端点沿同方向截去 b，剩下的一段就是 a-b。 作 2a：在同一方向连续截取两次。 弧线痕迹要保留，不擦不补。 作图结束写"如图所示，线段 AB 即为所求"。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知线段，．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（    ） 作射线；在射线上截取；在线段上截取． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图——作线段，线段的和差，根据题意作出图形，然后通过线段的和与差进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意作图如下， ∴， 故选：． ▌对点练1-2（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）数轴上，点表示的数分别为，请利用刻度尺或圆规作图． (1)如图1，若，请在数轴上画出原点； (2)如图2，若，在数轴上画出表示数的点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点即可； （2），故点是数2和数表示的点的中点，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，即可. 【详解】（1）略 （2）略 ▌对点练1-3 （26-27七年级上·河北张家口·期中）如图，已知线段． (1)尺规作图：延长线段到．使得，延长线段到．使得（不写作法，保留作图痕迹） (2)如果，设线段的中点为，求的长． 【答案】(1)如图点即为所求 (2) 【分析】（1）根据长度相等借助尺规作图即可； （2）依题意，求出，再利用求得答案． 【详解】（1）略 （2） 因为， 所以， 所以， 又因为线段的中点为M， 所以， 所以． 题型二 线段的长度比较 ▌例1如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是（　　） A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定 【分析】根据比较线段的长短进行解答即可． 【解答】解：由图可知，A′B′＜AB； 故选：C． 【点评】本题主要考查了比较线段的长短，解题的关键是正确比较线段的长短． 解题贴士 方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较； 方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较； 利用尺规作图把其中的一条的线段移到另一条线段上作比较 ▌对点练1-1 用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据“叠合法”比较两条线段的方法进行判断即可． 【解答】解：根据用“叠合法”比较两条线段的方法以及各个选项所表达的操作过程可知， 选项C的方法是正确的， 故选：C． 【点睛】本题考查比较线段的长短，掌握“叠合法”比较两条线段的方法以及操作过程是正确判断的关键． ▌对点练1-2 借助圆规，可得图中最长的线段是（　　） A．线段AB B．线段AC C．线段AD D．线段AE 【答案】C． 【分析】用圆规量出四条线段，再进行比较即可． 【解答】解：通过用圆规比较图中的四条线段，其中最长的DA， 故选：C． 【点睛】此题考查了比较线段的长短，会用圆规度量各线段是本题的关键． ▌对点练1-3 点C为线段AB的延长线上的一点，则下列各式中成立的是（　　） A．BC＞AB B．AB＞BC C．AB＝BC D．AC＞AB 【答案】D． 【分析】画图即可得出结论． 【解答】解： 由图可知，AB与BC的大小无法确定， 因为AC＝AB+BC，所以AC＞AB， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的大小比较，关键是画出正确的图形． 题型三 线段的和差 ▌例3-1（26-27七年级上·全国·课后作业）已知线段，在直线上画线段，使，则线段的长度为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况计算线段的长度． 【详解】解：当点C在线段上时，， 当点C在线段的延长线上时，． ▌例3-2（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，、、三点在同一条直线上，则关于线段、、有下列等式成立： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【分析】观察图形确定线段间的关系即可． 【详解】解：观察图形可知：（1）； （2）； （3）． 解题贴士 点在线段内部用加法，如 B 在 AC 上，则 AC=AB+BC。 点在线段外部用减法，如 AB=AC- BC。 先判断点的位置，再决定加还是减，不要先算后判。 AB=a、BC=b：C 在 AB 上得 AC=a-b，C 在 AB 延长线上得 AC=a+b。 各段用同一字母表示，如 AC=x、CB=2x。 和差关系写成等式，不靠图形目测。 长度单位统一之后再计算。 ▌对点练3-1 如图所示，用刻度尺度量线段，可以读出线段的长度约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图中数据计算即可． 【详解】解：由图可知，的长度约为：（cm）． ▌对点练3-2 如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． ▌对点练3-3（26-27七年级上·全国·课后作业）根据所示图形填空： （1）( )； （2）( )； （3）( )； （4）( )( )； （5）( )( )． 【答案】 【分析】根据线段的和与差，结合图形求解即可． 【详解】略 题型四 两点之间线段最短 ▌例4 生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【详解】解：现象：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 解题贴士 依据只有一句：两点之间，线段最短。 折线改直、抄近路，都是它的应用。 说理题必须写出依据，不能只写结论。 比较 AB+BC 与 AC，走折线一定比走直线远。 求最短路线时，先把路径拉成一条线段。 别和"两点确定一条直线"混用，一个管最短，一个管条数。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·四川南充·期末）小蕊认为从A地到B地，第③条路径最短，理由是（     ） A．直线比曲线短 B．两点之间线段最短 C．两点之间直线最短 D．两点确定一条直线 【答案】B 【详解】解：如图，最短路径是③的理由是：两点之间线段最短． ▌对点练4-2 2025年12月6日，经过52个月的艰苦建设，天山胜利隧道顺利贯通．此前，车辆沿盘山公路翻越天山需要3.5个小时，隧道贯通后，穿越天山仅需约20分钟．请你用所学数学知识解释这一现象________． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】原有盘山公路为弯曲路线，路程更长，隧道近似为两地之间的直线路段，路程更短，结合路程速度时间的关系即可解释． 【详解】解：通行的起点和终点为两个固定点，原有盘山公路为弯曲路线，路程大于两点间的直线距离， 隧道贯通后，新路线近似为连接起点和终点的线段， 根据两点之间线段最短的性质，新路线的路程比原路线更短． 车辆行驶的平均速度相近，由时间路程速度可得，路程越短，所需行驶时间越少， 隧道贯通后穿越天山的时间远少于原来翻越天山的时间． ▌对点练4-3 在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释， 选项C利用的是“两点之间线段最短”的知识． 题型五 两点间的距离 ▌例5 三点在同一条直线上，如果线段，，那么两点的距离为（   ） A． B． C．或 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】已知三点共线，未明确点C的位置，需要分点C在线段上、点C在的延长线上两种情况讨论，分别计算的长度即可． 【详解】解：①当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴； ②当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴； 综上，A、C两点的距离为或． 解题贴士 定义：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离。 距离是一个数，必须带单位。 说"距离是线段 AB"错，说"距离是 5 cm"对。 只有线段有长度，直线、射线都谈不上距离。 两点间的距离唯一，与走哪条路无关。 求距离就是求线段长，先算出长度再作答。 ▌对点练5-1 已知点，，在一条直线上，线段，，则，两点间的距离为_____ 【答案】10或6 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 由于点A，B，C在一条直线上，但顺序不确定，需分类讨论：当点B在点A和点C之间时，；当点A在点B和点C之间时，． 【详解】解：因为点A，B，C在一条直线上，所以有两种情况： 若点B在线段上，则； 若点A在线段BC上，则． 故A，C两点间的距离为10或6． 故答案为：10或6． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·山西吕梁·期末）若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系求解即可． 【详解】解：当点C，A在点B异侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 当点C，A在点B同侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 综上，两点间的距离是或． ▌对点练5-3（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，在一条直路上有四个车站，点，，，分别表示四个车站的位置． (1)用含，的代数式表示，两站之间的距离是_____； (2)若已知，两站之间的距离是，求，两站之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，整式的加减运算，理解题意是解题关键． （1）由图可知的长度，根据求解即可； （2）由（1）可知，结合，两站之间的距离是，求出，再由图可知的长度，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵由图可知，，， ∴， ∴，两站之间的距离是； （2）解：∵由（1）可得， 又∵，两站之间的距离是， ∴，即， ∵由图可知，，， ∴． ∴，两站之间的距离为． 题型六 线段中点有关的计算 ▌例6 （25-26七年级上·广东·阶段检测）如图，点A、B、C在同一直线上，B在A、C之间，M是的中点，N是的中点，，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段中点的定义求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵M是的中点，N是的中点，，， ∴， ∴． 解题贴士 定义：M 在线段 AB 上且 AM=MB，则 M 是 AB 的中点。 结论：AM=MB=AB/2，AB=2AM。 已知 AB 求 AM 用除法，已知 AM 求 AB 用乘法。 逆用公式必须交代"点在线段上"这个前提。 设 AB=2x，分数运算就变成整数运算。 双中点结论：M、N 分别是 AB、BC 的中点，则 MN=AC/2。 中点只有一个位置，不会落在延长线上。 ▌对点练6-1（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）下列能判断点M是线段的中点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ 点在线段上任意位置均满足， ∴ 选项A无法判断是线段的中点． ∵ 点不在线段上时，也可分别满足或， ∴ 选项B、D无法判断是线段的中点． ∵ ， ∴ ，即点在线段上， 又∵ ， ∴ 是线段的中点． ∴选项C能判断是线段的中点． ▌对点练6-2 （2026七年级上·全国·专题练习）如图，点C是线段上一点，M，N分别是和的中点，，则线段的长是（     ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【答案】C 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 故选C． ▌对点练6-3 （25-26七年级上·广东·阶段检测）如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长； (3)求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由计算即可． （2）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． （3）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． 【详解】（1）解：∵点、、在同一直线上，在、之间， ∴， ∵，， ∴． （2）解：是中点，是中点， ， ， ， ． （3）解：是的中点，， ， 是中点，， ， ． 题型七 线段n等分点的有关计算 ▌例7如图，已知，点C在线段上，，点D是线段的中点，则线段的长度为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据点 是线段的中点，得出，因为，所以，则，即可作答． 【详解】解：∵点是线段 的中点，， ∴， ∵， ∴， 则． 解题贴士 n 等分点把 AB 分成 n 条相等的小线段，每份等于 AB/n。 n 等分点共有 n-1 个。 第 k 个分点到左端点的距离等于 k×AB/n。 任意两个分点间的距离，等于份数差乘以 AB/n。 二等分点就是中点，三等分点有 2 个。 先求出一份的长，其余都按份数算。 例：AB=12 三等分，每份 4，两个分点在 4 和 8 处。 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差、线段的中点、三等分点，关键是灵活利用知识点解题；分别考虑点在上的两种位置情况，利用线段中点、三等分点的性质，通过线段和差关系计算的长度． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ①当时， ∵， ∴，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，线段的长为或， 故选：C. ▌对点练7-2 （25-26七年级上·山东德州·期末）如图，线段，点C在线段上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为：_________． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故答案为：． ▌对点练7-3 （25-26七年级上·安徽铜陵·期末）如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一动点，若点M是线段的三等分点，试求线段的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差计算，解题关键是正确识别图形，理解线段之间的和差倍分关系． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先确定，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：由图可得， ∵点M是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴ 题型八 线段之间的数量关系 ▌例8 （25-26七年级上·四川巴中·期末）如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．随C的位置的变化而变化 【答案】A 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段中点的定义，结合线段的和与差，进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∵，点M为线段的中点， ∴，， ∴， ∴； 故选：A． 解题贴士 三步走：标图、设元、列等式。 AC=2BC 这类关系，用同一个字母把各段统一表示。 整体等于部分之和：C 在 AB 上，则 AB=AC+CB。 比例转设元：AC:CB=2:3，就设 2x 和 3x。 结论型问题用和差代换，把目标线段化成已知线段。 写关系式要注明点在线段上还是在延长线上。 代一组具体数值回代，检验关系是否成立。 ▌对点练8-1 （25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，点C是线段的中点，点B是线段上的点．若，，则的长为（    ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，熟练掌握线段中点的定义是解题关键．根据线段中点的定义和线段之间的数量关系，进行计算即可． 【详解】解：设，则， ， ， 即， 解得，， ，． 点C是线段的中点， ． 点B是线段上的点， ． 故选：B． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，C是线段的中点，点在线段上，是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及线段的和差，倍分关系是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及线段之间的和差关系进行计算即可； （2）根据线段中点的定义，线段的倍分关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∵， ∴； （2）由于，设,则, ∵点B是线段的中点， ∴, ∵，即， 解得， 即， ∴， ∴． ▌对点练8-3 （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，是线段的中点，是线段的中点，． (1)求线段的长； (2)若点是线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为15或25 【分析】（1）根据线段中点的性质求解即可； （2）先根据求出的值，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是线段的中点， ∴． ∵点是线段的中点， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 当点在线段上时，如图： ∴． 当点在线段上时，如图： ∴． 综上所述，线段的长为15或25． 题型九 与线段有关的动点运动问题 ▌例9 如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确． 综上可知，说法正确的是②③④． 解题贴士 先写位置式：路程等于速度乘时间，如 AP=2t。 给 t 定范围，点在线段上和在延长线上，取值范围不同。 把"距离相等""是中点""等于几倍"翻译成含 t 的方程。 动点往返要分段讨论，返回时方向变了。 两个动点各自写出位置，再用和差求两点间距离。 解出 t 后必须检验，看是否落在允许的时间范围内。 一题多种情况时先分类，再逐类求解。 ▌对点练9-1（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)或 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式求距离，根据动点运动方向和速度，用初始位置加运动路程表示动点对应的数； （2）点和相距5个单位分两种情况：在左侧、在右侧，分别根据两点距离列一元一次方程求解； （3）先根据列方程求出的值，再利用中点公式求点表示的数，注意分在左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴、两点间的距离为； ∵点从点出发，以每秒个单位长度向右运动秒，点从点出发，以每秒5个单位长度向右运动秒， ∴点表示的数是；点表示的数是． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在点左侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 则， 解得； ②当点在点右侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 即， 解得； 综上，运动时间的值为7或9． （3）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴，点表示的数是， ∴， 由得，分两种情况： ①当点在点左侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； ②当点在点右侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； 综上，此时点表示的数为或． ▌对点练9-2（25-26七年级上·山东济南·期末）新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)当为、或时，点是线段的“二倍点” (3) 点是线段的“二倍点”，理由如下 ∵ 点是线段的“二倍点”，且， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点是线段的“二倍点”． 【分析】本题考查了线段的和差关系、动点问题以及新定义“二倍点”的应用，解题的关键是根据“二倍点”的定义分类讨论线段之间的倍数关系，结合线段长度的计算方法进行求解． （1）根据中点定义及“二倍点”定义判断； （2）用表示和的长度，分三种情况讨论与的倍数关系，列方程求解； （3）先由“二倍点”及确定与的关系，再结合推导与的关系，判断点C是否为线段的“二倍点”． 【详解】（1）解：∵ 点是线段的中点， ∴ ， 满足“二倍点”定义， 故答案为：是． （2）解：由题意得：， ① 当时：， 解得； ② 当时：， 解得； ③ 当时：， 解得； ④ 当时：， 解得； 答：当为、或时，点是线段的“二倍点”． （3）略 ▌对点练9-3（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在数轴上点A表示数为，点B表示数为10，点C表示数为1． (1)线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段的三等分点表示的数为 ； (2)点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点重合且，求点M表示的数； (3)若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段的三等分点时，求运动时间． 【答案】(1)15，，0和5； (2)4或1； (3)3秒或秒或10秒． 【分析】（1）由知线段的长为15；由，知线段的中点表示的数为；列式计算可得线段的三等分点表示的数为0和5； （2）设点表示的数为，可得表示的数为，故，解得或，即点表示的数为4或1； （3）设运动时间为秒，当时，表示的数为，求出，可得或，当时，表示的数为，可得或，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解： ， 线段的长为15； ， 线段的中点表示的数为； ，， 线段的三等分点表示的数为0和5； （2）解：设点表示的数为， 将数轴沿点向右对折，点恰好与点重合， 是的中点， 表示的数为， ， ， 或， 解得或， 点表示的数为4或1； （3）解：设运动时间为秒， 根据题意，表示的数为，，点Q先向左运动时表示的数为， 由，得， 即时，点Q与P相遇， 当时，表示的数为， ， 点是线段的三等分点， 或， 解得或； 当，相遇时，，相遇点表示的数为0， 当时，表示的数为， ， 点是线段的三等分点， 或， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为3或或10； 运动时间为3秒或秒或10秒． 基础通关 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，点是线段的一个三等分点，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点是线段的一个三等分点，， ∴． 2．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知线段，，小明在射线上进行尺规作图，根据作图痕迹判断线段长表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查线段的和差，根据线段的和差求解即可． 【详解】解：根据作图可得 故选：D． 3．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义求出的长，再根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， ∵， ． 4．（25-26七年级上·河南焦作·期末）如图，是的中点，是的中点，下列式子中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离、线段中点的定义等知识点，熟练掌握线段中点的定义是本题的关键．根据两点之间的距离、线段中点的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：∵C是的中点，D是的中点， ∴， ∵， 故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故B选项错误，符合题意； ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵，， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：B． 5．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件各个线段之间的数量关系进行求解． 【详解】解：如图， ， ∵点是线段中点， ∴， ∴． 7．如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据线段的和差关系求出的长，再利用中点定义求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∵在线段上， ∴． 8．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，解题的关键是正确理清线段之间的数量关系． 根据线段中点的意义得到，再由三等分点得到，再由求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是线段的三等分点，且 ∴， ∴， 故选：C． 素养提升 9．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，小明按如下步骤进行作图： ①作射线；②在射线上依次截取；③在线段上截取；④取线段的中点F． 在所求作的图形中，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，尺规作线段等于已知线段，根据作图可知，，，，再根据中点的定义得，然后对各选项计算判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴A正确； B、∵，， ∴， ∴B正确； C、∵点F是线段的中点， ∴， ∴C正确； D、∵， ∴D不正确． 故选：D． 10．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【答案】①④ 【分析】本题考查了与中点相关的计算，线段的和差，线段n等分点的有关计算，熟练掌握与中点相关的计算是关键．设，可逐步求得，，，，即可逐步判断各个结论的正误． 【详解】解：设， ， ， 是的三等分点且， ，， ， ， 故①正确； 是线段的中点， ， ， 故②错误； 同时，，， ， 故③错误； ，， ， 故④正确； 正确结论的有①④． 故答案为：①④． 11．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）已知线段，点C是的三等分点，点M是的中点，则的长为（   ） A．或 B． 或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，点C是的三等分点，有两种情况：或．M是的中点，因此．分别计算两种情况下的长度． 【详解】解：∵，点C是的三等分点， ∴情况一：， ∵M是的中点， ∴； 情况二：， ∵M是的中点， ∴； 因此的长为或， 故选：B． 12．（25-26七年级上·河南南阳·开学考试）已知线段，直线上有一点C，且，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则_______． 【答案】7或13 【分析】根据点在直线上，位置有两种可能，需分情况讨论，结合中点性质计算的长度． 【详解】解：∵ 点是线段的中点， ∴ ； ∵ 点是线段的中点， ∴ ． 当点在线段上时， ； 当点在线段的延长线上时， ． 13．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 【答案】3或9/9或3 【分析】点D在直线上，需分两种情况讨论，分别根据线段的和差关系计算的长度. 【详解】解：∵ ，， ∴ ∵ 点是的中点， ∴ . ①当点在线段上时，. ②当点在的延长线上时，. 因此的长为或. 迁移创新 14．（25-26七年级上·云南文山·期末）如图，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)求线段的长； (2)如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中点的定义得到，,再利用线段的和差来计算求解； （2）根据已知易求出的长度，再结合中点的定义，线段的和差来进行计算求解． 【详解】（1）解：线段，点是线段的中点，点是线段的中点， ，, ． （2）解：，， ， ． ， ， ． 15．如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)3 (2)20 【分析】（1）将，，转化为 ，进而根据进行计算即可； （2）根据（1）可推出 ，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， 即， ∵， ∴． 16．（25-26七年级上·山西朔州·期末）操作与计算 小明同学在做家庭作业时，其中一道题的图被调皮的弟弟涂花了，题目如下： 如图①，点，，是数轴上的三个点，点表示数，且线段的长为，为的中点，则点表示的数是多少？ (1)请你帮小明在图②中找出点的位置；（要求：尺规作图，不写作法）； (2)点表示的数是__________； (3)若点是数轴上的一个点，且，则__________． 【答案】(1)解：如图，点即为求作的点， ； (2) (3)或 【分析】（1）以为圆心，的长为半径在点右侧画弧，与数轴的交点为点的位置； （2）根据点表示数，且线段的长为，由为的中点，可得点表示的数； （3）分点在点左侧、右侧两种情况分别求解； 【详解】（1）略 （2）解：线段的长为，为的中点， ， 点表示数， 点表示的数是； （3）解：当点在点左侧时， 点表示的数是， ； 当点在点右侧时， 点表示的数是， ． 17．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）已知，C，D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有 条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，，C，D分别为，中点，求的长． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】（1）根据两点确定一条线段，数图中共有几组端点即可； （2）运用整体思想，通过，先求出和的值，再计算即可； （3）运用中点定义，，，分别求出和，再计算即可． 【详解】（1）解：图中共有，，，，，，6条线段； （2）解：由图可知，， 又， ∴， ∴； （3）解：∵C，D分别为，中点， ∴，， ∴． 18．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 【答案】(1)24，12 (2)4或12 (3)①或；②或 【分析】（1）根据线段的和差关系以及数量关系，进行求解即可； （2）分两点重合，以及在点的两侧，两种情况进行讨论求解即可； （3）求出点到达点时，所用时间，进而求出此时的长，再分两点相遇前和相遇后，两种情况进行讨论对①②进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：当两点重合时，则：，解得； 当在点的两侧时，则，解得； 综上：经过4或12秒，点P、Q到点A的距离相等； （3）解：当点到达点时，所用时间为秒； 此时； 点停止运动时所用时间为秒； ①当相距5个单位长度时，则或 解得或； 故当或时，相距5个单位长度； ②当时，则或， 解得或； 故当或时，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 6.2.2 线段的比较与运算 课标要点 1.会用度量法和叠合法比较两条线段的长短，能用圆规作一条线段等于已知线段，会画已知线段的和与差。 2.理解线段中点、三等分点等的意义，能结合图形进行线段的和差计算与简单的推理说明。 3.掌握基本事实“两点之间，线段最短”，理解两点间距离的意义，能度量并表达两点间的距离，能用它解释生活中的最短路径问题。 学习重难点 重点： 1.线段长短的比较方法，用尺规作一条线段等于已知线段。 2.线段中点、等分点的意义及线段的和差计算。 难点： 1.叠合法的规范操作与作图语言的准确表述。 2.含中点或需要分类讨论（点在线段上、点在线段延长线上）的线段计算。 知识点 线段的作法 ◆1、方法一(测量作图)：先用刻度尺量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段. ◆2、方法二(尺规作图)：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. ◆3、用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上.在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. ◆4、线段的画法：作一条线段（AB）等于已知线段（a）的作法： ①画射线AC；②在射线AC上截取AB=a. 随学随练 1．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 知识点 两条线段的长度比较 ◆比较两条线段的长短 方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较； 方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较； 利用尺规作图把其中的一条的线段移到另一条线段上作比较 图1 图2 图3 ①如图1若点 A 与点 C 重合，点 B 落在C，D之间，那么 AB ＜CD. ②如图2若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D重合，那么 AB = CD. ③如图3若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB＞ CD. 随学随练 2．如图，用圆规比较两条线段的长短，正确的是（　　） A．AB＞AC B．AB＝AC C．AB＜AC D．无法确定 知识点 线段的基本事实 ◆1、线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短 . ◆2、两点之间的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 随学随练 3． 从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 知识点 线段的和差 ◆线段的和、差 线段的和、差的意义及画法 在直线上画出线段AB=a，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是 a与 b的和，记作AC= a＋b ，如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是a 与b 的差，记作AD= a－b. 随学随练 4．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（   ） A． B． C． D． 知识点 线段的中点、等分点 ◆1、线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. ◆2、等分线段 （1）把一条线段分成三条相等的线段的点，叫做线段的三等分点. 如图点M、N是线段AB三等分点,则 AM ＝MN ＝BN ＝ AB . （2）类似的，把一条线段分成四条相等的线段的点，叫做线段的四等分点. 如图点M、N、P是线段AB四等分点，则AM＝ MN ＝NP＝PB＝ AB . 随学随练 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知点，，是同一直线上的三个点，则下列条件中，能判断点是线段的中点的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，点C是线段上的一点，M是的中点，N是的中点． (1)若，，求的长度； (2)若，求的长度． 题型一 尺规作图作线段 ▌例1（25-26七年级上·湖北随州·期末）如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于． 小张同学按以下步骤进行了操作： 第一步：在直线上作线段； 第二步：在线段的延长线上作线段； 第三步：在线段上作线段． 根据上述操作，下列结论：①；②；③； ④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解题贴士 只用无刻度直尺和圆规，直尺不量长度，只用来连两点。 作线段等于已知线段 a：先作射线 AM，再在 AM 上截取 AB=a。 用圆规两脚量出 a 的长，叉口保持不变，直接挪到射线上截取。 作 a+b：在射线上先截 a，在同一方向接着截 b。 作 a-b：先截出 a，再从同一端点沿同方向截去 b，剩下的一段就是 a-b。 作 2a：在同一方向连续截取两次。 弧线痕迹要保留，不擦不补。 作图结束写"如图所示，线段 AB 即为所求"。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知线段，．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（    ） 作射线；在射线上截取；在线段上截取． A． B． C． D． ▌对点练1-2（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）数轴上，点表示的数分别为，请利用刻度尺或圆规作图． (1)如图1，若，请在数轴上画出原点； (2)如图2，若，在数轴上画出表示数的点． ▌对点练1-3 （26-27七年级上·河北张家口·期中）如图，已知线段． (1)尺规作图：延长线段到．使得，延长线段到．使得（不写作法，保留作图痕迹） (2)如果，设线段的中点为，求的长． 题型二 线段的长度比较 ▌例1如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是（　　） A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定 解题贴士 方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较； 方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较； 利用尺规作图把其中的一条的线段移到另一条线段上作比较 ▌对点练1-1 用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-2 借助圆规，可得图中最长的线段是（　　） A．线段AB B．线段AC C．线段AD D．线段AE ▌对点练1-3 点C为线段AB的延长线上的一点，则下列各式中成立的是（　　） A．BC＞AB B．AB＞BC C．AB＝BC D．AC＞AB 题型三 线段的和差 ▌例3-1（26-27七年级上·全国·课后作业）已知线段，在直线上画线段，使，则线段的长度为（   ） A．或 B． C． D． ▌例3-2（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，、、三点在同一条直线上，则关于线段、、有下列等式成立： （1）________； （2）________； （3）________． 解题贴士 点在线段内部用加法，如 B 在 AC 上，则 AC=AB+BC。 点在线段外部用减法，如 AB=AC- BC。 先判断点的位置，再决定加还是减，不要先算后判。 AB=a、BC=b：C 在 AB 上得 AC=a-b，C 在 AB 延长线上得 AC=a+b。 各段用同一字母表示，如 AC=x、CB=2x。 和差关系写成等式，不靠图形目测。 长度单位统一之后再计算。 ▌对点练3-1 如图所示，用刻度尺度量线段，可以读出线段的长度约为（     ） A． B． C． D． ▌对点练3-2 如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-3（26-27七年级上·全国·课后作业）根据所示图形填空： （1）( )； （2）( )； （3）( )； （4）( )( )； （5）( )( )． 题型四 两点之间线段最短 ▌例4 生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 解题贴士 依据只有一句：两点之间，线段最短。 折线改直、抄近路，都是它的应用。 说理题必须写出依据，不能只写结论。 比较 AB+BC 与 AC，走折线一定比走直线远。 求最短路线时，先把路径拉成一条线段。 别和"两点确定一条直线"混用，一个管最短，一个管条数。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·四川南充·期末）小蕊认为从A地到B地，第③条路径最短，理由是（     ） A．直线比曲线短 B．两点之间线段最短 C．两点之间直线最短 D．两点确定一条直线 ▌对点练4-2 2025年12月6日，经过52个月的艰苦建设，天山胜利隧道顺利贯通．此前，车辆沿盘山公路翻越天山需要3.5个小时，隧道贯通后，穿越天山仅需约20分钟．请你用所学数学知识解释这一现象________． ▌对点练4-3 在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 题型五 两点间的距离 ▌例5 三点在同一条直线上，如果线段，，那么两点的距离为（   ） A． B． C．或 D．以上均不正确 解题贴士 定义：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离。 距离是一个数，必须带单位。 说"距离是线段 AB"错，说"距离是 5 cm"对。 只有线段有长度，直线、射线都谈不上距离。 两点间的距离唯一，与走哪条路无关。 求距离就是求线段长，先算出长度再作答。 ▌对点练5-1 已知点，，在一条直线上，线段，，则，两点间的距离为_____ ▌对点练5-2 （25-26七年级上·山西吕梁·期末）若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． ▌对点练5-3（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，在一条直路上有四个车站，点，，，分别表示四个车站的位置． (1)用含，的代数式表示，两站之间的距离是_____； (2)若已知，两站之间的距离是，求，两站之间的距离． 题型六 线段中点有关的计算 ▌例6 （25-26七年级上·广东·阶段检测）如图，点A、B、C在同一直线上，B在A、C之间，M是的中点，N是的中点，，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 解题贴士 定义：M 在线段 AB 上且 AM=MB，则 M 是 AB 的中点。 结论：AM=MB=AB/2，AB=2AM。 已知 AB 求 AM 用除法，已知 AM 求 AB 用乘法。 逆用公式必须交代"点在线段上"这个前提。 设 AB=2x，分数运算就变成整数运算。 双中点结论：M、N 分别是 AB、BC 的中点，则 MN=AC/2。 中点只有一个位置，不会落在延长线上。 ▌对点练6-1（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）下列能判断点M是线段的中点的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练6-2 （2026七年级上·全国·专题练习）如图，点C是线段上一点，M，N分别是和的中点，，则线段的长是（     ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 ▌对点练6-3 （25-26七年级上·广东·阶段检测）如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长； (3)求线段的长． 题型七 线段n等分点的有关计算 ▌例7如图，已知，点C在线段上，，点D是线段的中点，则线段的长度为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 解题贴士 n 等分点把 AB 分成 n 条相等的小线段，每份等于 AB/n。 n 等分点共有 n-1 个。 第 k 个分点到左端点的距离等于 k×AB/n。 任意两个分点间的距离，等于份数差乘以 AB/n。 二等分点就是中点，三等分点有 2 个。 先求出一份的长，其余都按份数算。 例：AB=12 三等分，每份 4，两个分点在 4 和 8 处。 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 ▌对点练7-2 （25-26七年级上·山东德州·期末）如图，线段，点C在线段上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为：_________． ▌对点练7-3 （25-26七年级上·安徽铜陵·期末）如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一动点，若点M是线段的三等分点，试求线段的长． 题型八 线段之间的数量关系 ▌例8 （25-26七年级上·四川巴中·期末）如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．随C的位置的变化而变化 解题贴士 三步走：标图、设元、列等式。 AC=2BC 这类关系，用同一个字母把各段统一表示。 整体等于部分之和：C 在 AB 上，则 AB=AC+CB。 比例转设元：AC:CB=2:3，就设 2x 和 3x。 结论型问题用和差代换，把目标线段化成已知线段。 写关系式要注明点在线段上还是在延长线上。 代一组具体数值回代，检验关系是否成立。 ▌对点练8-1 （25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，点C是线段的中点，点B是线段上的点．若，，则的长为（    ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm ▌对点练8-2 （25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，C是线段的中点，点在线段上，是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． ▌对点练8-3 （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，是线段的中点，是线段的中点，． (1)求线段的长； (2)若点是线段上一点，且，求线段的长． 题型九 与线段有关的动点运动问题 ▌例9 如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 解题贴士 先写位置式：路程等于速度乘时间，如 AP=2t。 给 t 定范围，点在线段上和在延长线上，取值范围不同。 把"距离相等""是中点""等于几倍"翻译成含 t 的方程。 动点往返要分段讨论，返回时方向变了。 两个动点各自写出位置，再用和差求两点间距离。 解出 t 后必须检验，看是否落在允许的时间范围内。 一题多种情况时先分类，再逐类求解。 ▌对点练9-1（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． ▌对点练9-2（25-26七年级上·山东济南·期末）新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． ▌对点练9-3（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在数轴上点A表示数为，点B表示数为10，点C表示数为1． (1)线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段的三等分点表示的数为 ； (2)点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点重合且，求点M表示的数； (3)若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段的三等分点时，求运动时间． 基础通关 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，点是线段的一个三等分点，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图，已知线段，，小明在射线上进行尺规作图，根据作图痕迹判断线段长表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河南焦作·期末）如图，是的中点，是的中点，下列式子中错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 素养提升 9．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，小明按如下步骤进行作图： ①作射线；②在射线上依次截取；③在线段上截取；④取线段的中点F． 在所求作的图形中，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 11．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）已知线段，点C是的三等分点，点M是的中点，则的长为（   ） A．或 B． 或 C． D． 12．（25-26七年级上·河南南阳·开学考试）已知线段，直线上有一点C，且，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则_______． 13．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 迁移创新 14．（25-26七年级上·云南文山·期末）如图，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)求线段的长； (2)如果，求线段的长． 15．如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 16．（25-26七年级上·山西朔州·期末）操作与计算 小明同学在做家庭作业时，其中一道题的图被调皮的弟弟涂花了，题目如下： 如图①，点，，是数轴上的三个点，点表示数，且线段的长为，为的中点，则点表示的数是多少？ (1)请你帮小明在图②中找出点的位置；（要求：尺规作图，不写作法）； (2)点表示的数是__________； (3)若点是数轴上的一个点，且，则__________． 17．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）已知，C，D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有 条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，，C，D分别为，中点，求的长． 18．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $