精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区亿利东方学校等 2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年亿利东方学校九年级数学期中考试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 习近平总书记在陕西考察时强调“人不负青山，青山定不负人”，总书记的讲话饱含着对人与自然和谐共生的深刻思考．以下是绿色包装、节水、低碳、回收四个标志，其中是中心对称图形的为（ ） A.   B. C. D.     2. 关于二次函数，下列说法正确的是 A. 函数图象的开口向下 B. 该函数的最大值是5 C. 函数图象的顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 3. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过 B. 图象位于二、四象限 C. 随的增大而增大 D. 若，则 5. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知某电路的电流与电阻的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当电流为时，该电路电阻为 B. 当电流为时，该电路电压为 C. 当电阻为时，该电路电流为 D. 该电路的电流随着电阻的增大而减小 8. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题 9. 如图，P是反比例函数的图像上一点，过点P作轴于点B，点A在y轴上，的面积为2，则k的值为________． 10. 已知二次函数（）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … … y … 3 … 则关于x的一元二次方程的根是_____． 11. 已知函数（，均为常数）的图象都经过点，当时，x的取值范围是___________． 12. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得，点B的对应点D落在边上．连接，连接并延长交于点F，则的长为______． 三、解答题 13. （1）按要求解方程：（因式分解法）； （2）用配方法说明：代数式的值总大于0． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上． （1）请按下列要求画图： ①将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； ②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2； （2）若（1）所得的△A1B1C1与△A2B2C2，关于点P成中心对称，直接写出对称中心P点的坐标． 15. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 16. 泥塑，俗称“彩塑”，是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术形式．某泥塑作坊主营泥塑制作与销售业务，请根据以下素材，完成任务． 素材1 该作坊9月份制作泥塑1000件，同年11月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元／件，销售数据显示，当泥塑售价为40元／件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊9月份到11月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应上涨多少元？ 任务3 若该作坊希望获得最大月销售利润，此时泥塑的售价应定为多少元／件？最大月销售利润是多少元？ 17. 如图，点是正方形内一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得到，连接；若，，， （1）求证：是直角三角形； （2）求的长； （3）求正方形的边长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，两点（点在左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求经过、两点的直线解析式； （3）若点为直线上方拋物线上的一个动点：根据你的经验，请判断的面积是否有最大值？如果有最大值，求出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年亿利东方学校九年级数学期中考试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 习近平总书记在陕西考察时强调“人不负青山，青山定不负人”，总书记的讲话饱含着对人与自然和谐共生的深刻思考．以下是绿色包装、节水、低碳、回收四个标志，其中是中心对称图形的为（ ） A.   B. C. D.     【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形的关键是找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，据此对选项依次判断即可． 【详解】A、中心对称图形，选项符合题意； B、不是中心对称图形，选项不符合题意； C、轴对称图形，选项不符合题意； D、不是中心对称图形，选项不符合题意； 故选：A． 2. 关于二次函数，下列说法正确的是 A. 函数图象的开口向下 B. 该函数的最大值是5 C. 函数图象的顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及其性质，包括开口方向、顶点坐标、最值以及增减性，根据二次函数性质判断即可． 【详解】解：A、，则开口向上，故本选项不符合题意； B、开口向上，函数有最小值5，无最大值，故本选项不符合题意； C、二次函数顶点坐标为，故本选项符合题意； D、对称轴为 ，开口向上，当时，y随x增大而增大，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵由旋转可知， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 4. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过 B. 图象位于二、四象限 C. 随的增大而增大 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，当时，图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，但整体上并非单调递增；点是否在图象上可通过验证． 【详解】解：A．当 时，，且 ， ∴ 点 在图象上，故A正确，不符合题意； B．∵ 反比例函数 ，， ∴ 图象位于第二、四象限，故B正确，不符合题意； C．虽然在每个象限内随的增大而增大，但由于图象分两个象限，整体上随的增大而增大不正确，故C错误，符合题意； D．当时，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 在中， ， 故选：B. 6. 若，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴以，为根的一元二次方程是， 故选：A． 7. 已知某电路的电流与电阻的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当电流为时，该电路电阻为 B. 当电流为时，该电路电压为 C. 当电阻为时，该电路电流为 D. 该电路的电流随着电阻的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，由欧姆定律可知，则可求出，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由欧姆定律可知， 把代入中得：， ∴， ∴， ∴该电路的电流随着电阻的增大而减小，故D说法正确，不符合题意； 当时，，解得，故A说法正确，不符合题意； 电路中的电压恒为，故B说法错误，符合题意； 当时，，故C说法正确，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案． 【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位上涨时，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题 9. 如图，P是反比例函数的图像上一点，过点P作轴于点B，点A在y轴上，的面积为2，则k的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，掌握与矩形或三角形的面积之间的关系是解题的关键． 连接，则轴，则，即可求解． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∴轴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第一象限， ∴， ∴， 故答案为：4． 10. 已知二次函数（）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … … y … 3 … 则关于x的一元二次方程的根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】从表格看，函数的对称轴为，根据函数的对称性，当时和时，y均为，即可求解． 【详解】解：从表格看，当和时,二次函数的值都是， ∴二次函数（）的对称轴为直线， 根据函数的对称性，当和时，y均为． 故一元二次方程的根或．　 11. 已知函数（，均为常数）的图象都经过点，当时，x的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】将已知交点代入两个函数解析式求出对应参数，联立解析式得到两函数的所有交点，然后结合函数图象求解即可． 【详解】解：∵两个函数图象都经过点 ∴将代入，得，解得； 将代入，得，解得 ∴两个函数的解析式分别为，． 解方程组得，， ∴两个函数的交点为和． 函数，的图象为 由图可得，当时，x的取值范围是或． 12. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得，点B的对应点D落在边上．连接，连接并延长交于点F，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出，由旋转得出，，，求出，证明即可求出结论． 【详解】解：在中，，，， ， ∵将绕点A逆时针旋转得， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 13. （1）按要求解方程：（因式分解法）； （2）用配方法说明：代数式的值总大于0． 【答案】（1），； （2） 解∶ ， ， 故无论x取何实数，代数式的值总大于0． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，配方法的应用； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据配方法将代数式化为，根据非负数的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，， ，． （2）略 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上． （1）请按下列要求画图： ①将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； ②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2； （2）若（1）所得的△A1B1C1与△A2B2C2，关于点P成中心对称，直接写出对称中心P点的坐标． 【答案】 （1）△A1B1C1如图所示． （2）△A2B2C2如图所示． （3）（2.5，0.5）． 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． （3）根据中心对称的规律即可求得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）△A1B1C1与△A2B2C2，关于点P成中心对称，点P的坐标是（2.5，0.5）． 【点睛】本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】 （1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 16. 泥塑，俗称“彩塑”，是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术形式．某泥塑作坊主营泥塑制作与销售业务，请根据以下素材，完成任务． 素材1 该作坊9月份制作泥塑1000件，同年11月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元／件，销售数据显示，当泥塑售价为40元／件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊9月份到11月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应上涨多少元？ 任务3 若该作坊希望获得最大月销售利润，此时泥塑的售价应定为多少元／件？最大月销售利润是多少元？ 【答案】任务1：9月份到11月份的月平均增长率为；任务2：该泥塑的售价应上涨10元；任务3：当售价定为55元时，月销售利润最大为6250元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的实际应用，读懂题意，准确列出相应方程与函数是解决问题的关键 任务1：设9月份到11月份的月平均增长率为，由一元二次方程平均增长率问题的解法列方程求解即可得到答案； 任务2：设该泥塑的售价应上涨元，根据等量关系建立一元二次方程求解即可得到答案； 任务3：设月销售利润为元，售价上涨了元，得到二次函数，由二次函数图象与性质分析求出最大利润即可得到答案． 【详解】解：任务1：设9月份到11月份的月平均增长率为， 由题意得， 解得：（负值，舍去）， 答：9月份到11月份的月平均增长率为； 任务2：设该泥塑的售价应上涨元， 由题意得， 解得：， 要尽可能让顾客得到实惠，即价格上涨越低越好， ， 答：该泥塑的售价应上涨10元； 任务3：设月销售利润为元，售价上涨了元， 由题意得： ， 由，知抛物线开口向下，对称轴为, 当时， 有最大值，最大为； 即当售价定为（元）时，月销售利润最大为元． 17. 如图，点是正方形内一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得到，连接；若，，， （1）求证：是直角三角形； （2）求的长； （3）求正方形的边长． 【答案】（1） 绕点顺时针旋转得到， ，，，． 为等腰直角三角形． ，． ． 是直角三角形； （2） （3）正方形的边长为 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定； （1）根据旋转的性质可得，，，进而可得为等腰直角三角形，得出，即可得证； （2）根据勾股定理，即可求解； （3）过点作交的延长线于，可得是等腰直角三角形，勾股定理求得，即可求得，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，根据勾股定理，得 ． 【小问3详解】 过点作交的延长线于． ， ． 是等腰直角三角形． ． ． 在中，根据勾股定理，得． 正方形的边长为 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，两点（点在左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求经过、两点的直线解析式； （3）若点为直线上方拋物线上的一个动点：根据你的经验，请判断的面积是否有最大值？如果有最大值，求出此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）有最大值；此时点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数解析式的求法，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将，代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，求得点的坐标，进而待定系数法求一次函数解析式，即可求解； （3）过点作轴垂线，垂足为，交于点，设，则，求得，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质求得面积的最大值，进而求得点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，有， 解得：， 点在点左侧， 点的坐标为． 设过，两点的直线解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为． 【小问3详解】 解：有最大值； 如图，过点作轴垂线，垂足为，交于点， 设，则 又：点在上方 当时，最大， 的纵坐标为：， 此时点的坐标为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $