江苏南通市启东市2026-2027学年度第一学期启东市八年级期中质量监测数学试卷

八年级期中质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1．下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是 A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是 A．1，2，3.5 B．4，5，9 C．6，8，10 D．7，11，3 3．如图，已知，，则的度数为 A．20° B．30° C．35° D．40° 4．如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是 A． B． C． D． 5．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的 A．中线 B．垂直平分线 C．高线 D．角平分线 6．下列图案中，是轴对称图形的是 A． B． C． D． 7．如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 8．在中，，若存在过点的一条直线，将分割成两个等腰三角形，则的度数不可能是 A．20° B．40° C．70° D．100° 9．在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，使点落在点处，如果时，则的度数为 A．20° B．25° C．20°或110° D．25°或115° 10．如图，线段，点是线段上一动点，以为边作等边，以为底作等腰，则的最小值为 A．2.4 B．3 C．4.8 D．6 二、填空题（本题共6小题，第11~15题每小题4分，第16小题6分，共26分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11．如图，已知，，则的度数为 ▲ ． 12．如图，已知，若，，则的值为 ▲ ． 13．如图，两车从路段的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达，两地，使得，两地到路段的距离相等，请添加一个条件 ▲ ，使得和全等（写出一个即可）． 14．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的度数为 ▲ ． 15．如图，在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为 ▲ ． 16．已知，，，点是的中点．（1）如图1，过点作的垂线经过点，则 ▲ （填“>”，“=”，“<”）；（2）如图2，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，，点在线段上，且，，则 ▲ ． 三、解答题（本题共9小题，共94分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 17．（本小题满分8分） 如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 18．（本小题满分8分） 小明为了测量建筑物墙壁的高度，采用了如图所示的方法： ①把一根足够长的竹竿的顶端对齐建筑物顶端，末端落在地面处；②把竹竿顶端沿下滑至点，使 ▲ ，此时竹竿末端落在地面处；③测得的长度，就是的高度． （1）请补全上述方法： ▲ ； （2）求证：． 19．（本小题满分10分） 如图，在中，于，于，与相交于点，且． （1）求证：； （2）若，则的度数为 ▲ ． 20．（本小题满分10分） 如图，在中． （1）利用尺规作图，在边上求作一点，使得点到的距离（的长）等于的长； （2）利用尺规作图，作出（1）中的线段． （要求：尺规作图，写出作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 21．（本小题满分10分） 在平时的学习过程中，我们不仅要知其然，更要知其所以然．等腰三角形有个重要的性质——“三线合一”． 请你完成以下两个任务． 任务一：写出这具体的三线： ▲ ， ▲ ， ▲ ； 任务二：根据图形，补全已知，写出求证，并证明“三线合一”这一性质． 已知，如图，在中，， ▲ ． 求证： ▲ ． 证明： 22．（本小题满分10分） 如图，在等边中，点，，分别是，，上的点，且，，连接，平分交于． （1）求证：； （2）若，求的长． 23．（本小题满分12分） 如图，已知． 实践操作： （1）作，使；（要求：尺规作图，点在直线的下方，保留作图痕迹，不写作法） 推理探究： （2）点是上一点，．请探究线段与有怎样的数量关系？并说明理由． 24．（本小题满分13分） 如图①，在和中，，，． （1）求证：； （2）如图②，连接并延长至点，若，求的度数； （3）如图③，在（1）和（2）的条件下，连接交于点，当时，过点作交于点，若，求证：． 25．（本小题满分13分） 已知，在中，，． （1）如图1，点，点分别是线段上两点，连接，，若，且，求的度数； （2）如图2，点，点分别是线段上两点，连接，，过点作交延长线于，连接，若，求证：； （3）如图3，为射线上一点，为射线上一点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，猜想：，，之间的数量关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $八年级期中质量监测 数学参考答案与评分标准 说明：本评分标准每题给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标 准给分. 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A D B C A C D 二、填空题（本题共6小题，第11~15题每小题4分，第16小题6分，共26分) 11.110°12.413.答案不唯一 14.45° 15.9°或51或129°16.>；42° 三、解答题（本题共9小题，共94分） 17.解：∠ANC=∠B+∠BAW, ∴.∠BAN=∠ANC-∠B=80°-50°=30° …3分 :AN是∠BAC角平分线， ∠BAC=2∠BAW=60°，…5分 在△ABC中，∠C=180°-∠B-∠BAC=70° …8分 18.(1)解：BC;… …3分 (2)证明：由题意得，∠ABC=∠EBD=90°， …4分 AC=ED 在Rt△ABC和Rt△EBD中， BC=BD …6分 ·.Rt△ABC兰Rt△EBD(HL) …7分 ∴.AB=EB. …8分 19.(1)证明：：AD⊥BC,CE⊥AB, ∴.∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°. .∠FCD+∠DFC=90°，∠BAD+∠AFE=90°，…1分 又'∠AFE=∠DFC,.∠BAD=∠FCD …2分 ∠BAD=∠FCD AD=CD 在△ABD和△CFD中， ∠ADB=∠FDC …4分 ∴.△ABD≌△CFD(ASA) …5分 :.AB=CF; 6分 (2)22.5° …10分 20.解：(1)如图，点P即为所求： …3分 作法略： 5分 (2)如图，线段PD即为所求.… …8分 作法略. …10分 21.底边上的中线，底边上的高线，顶角的平分线；…3分 答案不唯一，AD L BC. …4分 BD=DC,∠BAD=∠DAC, …5分 证明：AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90° …6分 AB=AC 在Rt△ABC和Rt△ABC中，( AD=AD …8分 ·.Rt△ABC≌Rt△ABC(HL) …9分 .BD=DC,∠BAD=∠DAC. …10分 22.(1)证明：△ABC是等边三角形， .∠A=∠B=60°， …1分 :∠DFB=∠DFE+∠BFE=∠ADF+∠A, .∠BFE=∠ADF,… …2分 ∠BFE=∠ADF ∠B=∠A 在△BFE和△ADF中， BE=AF …3分 ∴.△BFE≌△ADF(AAS) …4分 DA=BF;… …5分 (2)解：△BFE≌△ADF,.FD=FE, …6分 又：∠DFE=60°，.△DFE为等边三角形， …7分 又：GF平分∠DFE, ∴.∠FGE=90°.∠EFG=30°， …8分 .EF=2EG=4,… …10分 23.解：(1)若△ABD≌△ABC,则AC=AD,BC=BD 如图，以点A为圆心，线段AC的长为半径画弧，再以点B为圆心，线段BC的长为半径画弧，两弧交于 点D,连接AD,BD, 则△ABD即为所求. …5分 D (2)CE+AE=DB …6分 理由：：△ABD≌△ABC, .∠CBA=∠DBA,CB=DB. …7分 .AEIBD,∴.∠EAB=∠ABD, ∴.∠CBA=∠EAB 9分 ∴.EA=EB …10分 CB=CE+EB. DB=CE+AE. 。。。。。。。。。。。。 12分 24.(1)证明：在△ABE和△ACD中，∠BAC=∠EAD ·.∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC,即∠BAE=∠CAD, AB=AC ∠BAE=∠CAD 在△BAE和△CAD中，(AE=AD …1分 .△BAE≌△CAD(SAS)】 …2分 :.ZB=ZC; 3分 (2)解：AE=AD,∠AED=∠ADE, .…4分 .△BAE≌△CAD. ∠AEB=∠ADC=∠ADE+∠CDM,…5分 .∠BEM=∠CDM=30°， .∠AEB=∠AED+∠BEM,…6分 .'∠AEB+∠AED+∠BEM=180°， ∴.2∠AEB=180°， .∠AEB=90°，…7分 (3)证明：AD=BE,BE=CD,AD=CD :∠ADC=∠AEB=90°， .∠CAD=∠ACD=45°」 AB=AC.AE=AD ∠ADE=5080P-∠EAD).∠ACB=0P-∠BAC) ∴.∠ADE=∠ACB... 8分 C作PCL BC交DM于点P,如图，设AC,DF交于点O, B ∴.∠FCP=90°.∴.∠OFC=∠FPC=45° :∠AOF=∠OAD+∠ODA,∠AOF=∠OFC+∠OCF, .∠OAD=∠OFC=45°， .∠BFE=∠CPD=135°. .FC=Cp..... …9分 ∠BFE=∠CPD ∠BEF=∠CDP 在△BEF和△CDP中， BE=CD 。。。。。。。。。。。 …10分 ∴.△BEF≌△CDP(AAS) …11分 BF=Cp …12分 .BF=CF .…13分 25.(1)解：在△ABC中，AC=BC,·∠A=∠B, AC=BC ∠A=∠B 在△ADC和△BEC中， AD=BE ∴.△ADC≌△BEC(SAS) …分 ∴.∠ACD=∠BCE 2分 :∠ECD=45°.∠ACB=90°， :∠ECB=(90°-45)=22.50 …3分 (2)证明：如图2，AC=BC,∠ACB=90°，BF⊥AB, 延长FB至点G,使BG=AD,连接GC, B E D C 图2 ∴.∠A=∠ABC=45°，∠ABG=90°， ∴.∠CBG=45°，∴.∠CBG=∠A, …5分 AC=BC ∠A=∠CBG 在△ADC和△BGC中，(AD=BG ∴.△ADC≌△BGC(SAS) …6分 ∴.CD=CG.∠ACD=∠BCG, :∠ECD=45°，∴.∠ACD+∠ECB=45°， ∠BCG+∠ECB=45°， ∴.∠ECG=45°=∠ECD ∴.∠FCG=∠FCD CD=CG ∠FCD=∠FCG 在△FDC和△FGC中， CF=CF ∴△FDC≌△FGC(SAS) …7分 :.GF=DF, :.BG+BF=DF, .AD+BF=DF:…8分 (3)解：NP=CP+BM, …9分 理由：如图3，过点A作A0⊥AC交PC的延长线于Q, B N A C M 图3 :PC⊥BM,∠CAQ=∠BCM=90° ∴.∠MBC=∠PCM=∠QCA ∠MBC=∠QCA BC=AC 在△BCM和△CA0中， ∠BCM=∠CAQ .△BCM≌△CAQ(ASA) …0分 .AO=CM BM=CO. .CM=AN ..AO=AN 又∠PAW=180°-∠BAC=135°， ∠PAQ=90°+∠BAC=135° ·∠PAN=∠PAQ, PA=PA ∠PAN=∠PAQ 在△PAN和△PA犯中，AN=AQ ∴.△PAW≌△PAO(SAS) …11分 .PN=P2=PC+C0,-12分 ∴.NP=CP+MB. …13分