精品解析：重庆市梁平区梁山集团校2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

梁山初中教育集团2026年秋八年级上册数学中期考试试卷 一．选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 地铁是城市轨道交通的一种，2025年2月22日，太原地铁1号线正式开始运营，下面分别是我国北京、太原、重庆、深圳的地铁图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三个角的角平分线的交点 3. 如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，和是的外角，和分别是和的平分线，反向延长和交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题中，不正确的是（　　 ） A. 关于某条直线对称的两个三角形全等 B. 若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线 C. 等腰三角形高、中线及角平分线重合 D. 有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 6. 同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（ ）． A. 只能是锐角三角形 B. 只能是直角三角形 C. 只能是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 7. 如图，在中，点在上，沿翻折到，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3 cm，则MD的长度为(　 　) A. 3cm B. 3cm C. 2cm D. 2cm 9. 如图，为的中线，为的中线，为的中线，…，按此规律，为的中线，若的面积为1，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，为外一点，连接，点为中点，连接并延长至点使得，连接，下列结论： ①；②；③；④与的面积相等． 其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长等于________． 12. 在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，-1）关于y轴对称，则a+b =_______． 13. 如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东方向上．在海岛的观察所A测得B在A的南偏西方向上．若轮船行驶到C处时测得，那么从C处看A，B两处的视角________． 14. 如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为______． 15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°③点D在AB的中垂线上；正确的个数是___ 个． 16. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 三．解答题（（本大题9个小题，17、18每小题8分，其余每小题10分，共86分）） 17. 已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD．AC=BE．BC=BD．求证：AB=DE． 18. 如图，在中，，，都是的高，且交于点，为的中点，若，求的长． 19. 如图，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）与关于y轴成轴对称，请你在图中画出，并写出点的坐标： ； （2）求的面积； （3）在y轴上是否存在一点P，使的面积是面积的一半，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 20. 如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． （1）尺规作图：在射线上方求作，使得，与的延长线交于点．（不用写作图步骤，保留作图痕迹） （2）在（1）问条件下，若，求证：．（填空） 证明：（2）， ①__________ （②________________）， ， ③________________， 即， 在和中， , （④________）， ⑤______________（⑥_______________）， ． 21. 在四边形ABCD中，E为BC边中点．已知：如图，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB． 求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD＝AB+CD； 22. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（要求：画出图形，写出已知、求证，并给予证明．） 23. 在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ABC是等边三角形． 24. （1）如图1，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，若，，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 25. 阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是____． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请写出图1中与的关系并证明； （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梁山初中教育集团2026年秋八年级上册数学中期考试试卷 一．选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 地铁是城市轨道交通的一种，2025年2月22日，太原地铁1号线正式开始运营，下面分别是我国北京、太原、重庆、深圳的地铁图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C、选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三个角的角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【详解】解：设猎狗蹲守的点为，满足， ∵ ， ∴ 点在边的垂直平分线上， 同理，点在边和边的垂直平分线上， ∴ 点是三条边的垂直平分线的交点． 3. 如图，已知，，若用“”判定，还需补充一个条件，可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等求解即可． 【详解】解：由题意可知，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等， 即或， 只有B选项符合. 故选：B． 4. 如图，和是的外角，和分别是和的平分线，反向延长和交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由求出，再表示出，利用角平分线得到，借助对顶角相等，得到，最后用三角形内角和求出． 【详解】解：， ， 和是的外角， ，， ， 和分别是和的平分线， ，， ， ，， ， ． 5. 下列命题中，不正确的是（　　 ） A. 关于某条直线对称的两个三角形全等 B. 若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线 C. 等腰三角形高、中线及角平分线重合 D. 有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用轴对称的性质与线段的垂直平分线的定义，等腰三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．关于某条直线对称的两个三角形可以重合，故全等，故A正确，不符合题意； B．若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线，故B正确，不符合题意； C．利用等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合，对于两腰则不符合，故C错误，符合题意； D．有一个外角是，可以求出内角的度数是，利用有一个角的等腰三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查命题与定理，解题的关键是掌握轴对称的性质与线段的垂直平分线的定义解决问题． 6. 同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（ ）． A. 只能是锐角三角形 B. 只能是直角三角形 C. 只能是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形按角分类的方法．根据图示，露出的角是一个锐角，被遮住的两个角可能有两个锐角，有一个直角或钝角，据此解答． 【详解】解：如上图中被信封遮住的可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 7. 如图，在中，点在上，沿翻折到，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，邻补角的性质，三角形内角和定理，由折叠可得，由平行线的性质可得，设，则，由邻补角性质可得，进而得，即得，最后由三角形内角和定理即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，已知P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3 cm，则MD的长度为(　 　) A. 3cm B. 3cm C. 2cm D. 2cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短、角平分线的性质求出PD，根据直角三角形的性质解答． 【详解】作PC⊥OB于C，则此时PC最小， ∵P是∠AOB的角平分线上的一点，PD⊥OA，PC⊥OB， ∴PD=PC=3，∠AOP=30°， ∴OP=2PD=6， ∵PD⊥OA，M是OP的中点， ∴DM=OP=3， 故选A． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 9. 如图，为的中线，为的中线，为的中线，…，按此规律，为的中线，若的面积为1，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，三角形的中线，找规律，根据三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分进行解答即可得；理解题意，根据三角形的中线找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵为的中线，的面积为1， ∴， ∵为的中线，， ∴， ∵为的中线，， ∴， … 按此规律，为的中线，则的面积为：， 故选：D． 10. 如图，在中，为外一点，连接，点为中点，连接并延长至点使得，连接，下列结论： ①；②；③；④与的面积相等． 其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质： 如图，延长到，使得，连接，证得，，故①正确，由，得，故③正确，令，延长交于，证明，得与不垂直，故②错误，由三角形中线平分三角形面积即可得，故④正确， 【详解】解：如图，延长到，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确， ∵， ∴，故③正确， 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与不垂直，故②错误， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 故选：C． 二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长等于________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分两种情况讨论：当腰长为3时及当腰长为7时，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、7，由于，不满足三角形三边关系，舍去； 当腰长为7时，三边分别为7、7、3，由于，满足三角形三边关系，周长为； 故答案为：17． 12. 在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，-1）关于y轴对称，则a+b =_______． 【答案】-4 【解析】 【分析】首先根据M，N两点关于y轴对称求出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】∵点M（a，b）与点N（3，-1）关于y轴对称， ∴ ， ， 故答案为：-4． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握关于y轴对称的点的特点是解题的关键． 13. 如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东方向上．在海岛的观察所A测得B在A的南偏西方向上．若轮船行驶到C处时测得，那么从C处看A，B两处的视角________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，根据方向角的定义可得，，，然后求出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：如图，由题意得，，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方向角的定义，平行线的性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是根据方向角的定义得出各角的度数． 14. 如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°③点D在AB的中垂线上；正确的个数是___ 个． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：根据角平分线的作法可知①正确，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°可得∠CAB=60°，由①得，∠CAD=∠BAD=∠CAB=30°，所以∠ADC=∠BAD+∠B=60°；又因∠BAD=∠B=30°，所以AD=BD，根据线段垂直平分线的性质可得点D在AB的中垂线上，即本题的结论正确的有3个． 考点：角平分线的作法；线段垂直平分线的性质；直角三角形的两锐角互余． 16. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了小球碰撞正方形边时的对称问题、点的坐标的规律．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2026除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：∵弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角， ∴小球第1次碰到正方形的边时的点为， 小球第2次碰到正方形的边时的点为， 小球第3次碰到正方形的边时的点为， 小球第4次碰到正方形的边时的点为， 小球第5次碰到正方形的边时的点为， 小球第6次碰到正方形的边时的点为，   如此重复， ∴小球每6次碰撞是一个循环组， ∵， ∴的坐标与相同， ∴的坐标为． 故答案为：． 三．解答题（（本大题9个小题，17、18每小题8分，其余每小题10分，共86分）） 17. 已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD．AC=BE．BC=BD．求证：AB=DE． 【答案】 证明：∵AC∥BD， ∴∠ACB＝∠DBC， ∵AC＝BE，BC＝BD， ∴△ABC≌△EDB， ∴AB＝DE． 【解析】 【分析】由AC、BD平行，可知∠ACB＝∠DBC，再根据已知条件，即可得到△ABC≌△EDB，即得结论AB＝DE． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，涉及到平行线的性质知识点，比较简单． 18. 如图，在中，，，都是的高，且交于点，为的中点，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据，是的高，，可得，，由求出进而得到,再根据含角的直角三角形的性质求出，进而得到． 【详解】解：，都是的高， ，， ，， ， ，， ， ， 为的中点， ， ， ． 19. 如图，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）与关于y轴成轴对称，请你在图中画出，并写出点的坐标： ； （2）求的面积； （3）在y轴上是否存在一点P，使的面积是面积的一半，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形等知识点， （1）根据轴对称的性质作图即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）设，分两种情况讨论计算即可得解； 熟练掌握轴对称变换和利用网格求三角形面积的方法是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图； 【小问3详解】 存在，理由如下， 设， ∵P为y轴上的一点，使的面积是面积的一半， ∴， ∴或， ∴或． 20. 如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． （1）尺规作图：在射线上方求作，使得，与的延长线交于点．（不用写作图步骤，保留作图痕迹） （2）在（1）问条件下，若，求证：．（填空） 证明：（2）， ①__________ （②________________）， ， ③________________， 即， 在和中， , （④________）， ⑤______________（⑥_______________）， ． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）①；②两直线平行，同位角相等；③；④；⑤；⑥全等三角形对应角相等 【解析】 【分析】（1）使用尺规作一个角等于已知角； （2）根据平行线的性质、线段和差转化、判定三角形全等、全等三角形的性质、平行线的判定等知识点进行填空得到完整证明过程． 【小问1详解】 解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于两点，再以点为圆心，相同长度为半径画弧，交于一点，以上的这个交点为圆心，截取前述步骤与两个交点的间距为半径画弧，与以点为圆心画出的弧在上方交于一点，连接点与该交点并延长，交的延长线于点，得到的即为所求，保留所有作图痕迹即可． 【小问2详解】 略 21. 在四边形ABCD中，E为BC边中点．已知：如图，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB． 求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD＝AB+CD； 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据AE平分∠BAD，可以得到∠BAE=∠FAE．然后根据SAS即可得到△ABE≌AFE； （2）根据（1）中的结论，可以得到EB=EF，∠AEB=∠AEF，再根据∠AED=90°，可以得到∠DEC=∠DEF，然后根据点E为BC的中点，即可得到EC=EF，再根据SAS即可得到△ECD≌△EFD，从而可以得到DF=DC，然后即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠FAE， 在△ABE和△AFE中， ， ∴△ABE≌△AFE（SAS）； （2）证明：由（1）知，△ABE≌△AFE， ∴EB＝EF，∠AEB＝∠AEF， ∵∠BEC＝180°，∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°，∠AEF+∠DEF＝90°， ∴∠DEC＝∠DEF， ∵点E为BC的中点， ∴EB＝EC， ∴EF＝EC， 在△ECD和△EFD中， ， ∴△ECD≌△EFD（SAS）， ∴DC＝DF， ∵AD＝AF+DF，AB＝AF， ∴AD＝AB+CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（要求：画出图形，写出已知、求证，并给予证明．） 【答案】已知：如图，在中，是边上的中线，， 求证：是直角三角形， 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】根据是边上的中线且得出，，由等边对等角和三角形的内角和得出，进而得出． 【详解】略 23. 在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ABC是等边三角形． 【答案】 （1）证明： , （2）证明：由（1）得： 【解析】 【分析】只要证明 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的判定：等角对等边，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. 24. （1）如图1，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，若，，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果） 【答案】 （1），理由如下： 如图1，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）或或 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，，即可得出结论； （2）先证明，得出，，即可得出结论； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等可知：，而，的长由，的位置决定，故需要对，的位置分三种情况讨论：当E在上，D在上时，即时；当E在上，D在上时，即时；当E到达A，D在上时，即时；分别根据建立一元一次方程，解方程即可求出t的值． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）分三种情况： 当E在上，D在上时，即时， ，， ，， ， 以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ， ， 解得：； 当E在上，D在上时，即时， 此时D与E重合， ，， ， ， 解得：； 当E到达A，D在上时，即时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，三角形的内角和定理，列代数式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并在动点问题中运用分类讨论思想是解题的关键． 25. 阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是____． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）请写出图1中与的关系并证明； （3）思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵是边上的中线 ∴ ∴ （3） ，理由如下： 延长到Q使得，连接，延长交于点 ∵是边上的中线 ∴ 【解析】 【分析】（1）由且即可求解； （2）证可推出即可求解； （3）延长到Q使得，连接，延长交于点，证、即可求解． 【小问1详解】 解：∵且 ∴ 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的常见模型：倍长中线模型．熟记相关几何模型和结论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $